何朕， 王廣雄

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于廣義系統(tǒng)觀測器的電池荷電狀態(tài)估計

何朕， 王廣雄

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

提出了一種新的電池荷電狀態(tài)(SOC)的估計方法。電池的開路電壓(OCV)與SOC之間是一種分段線性的關系，為了避開這類非線性問題，觀測器設計時的通行做法是將輸出電壓的方程式對時間進行求導。文中分析表明這種對電壓方程求導的做法是不正確的。指出可以將分段線性關系看做是廣義系統(tǒng)中的一種線性約束，從而提出用廣義系統(tǒng)觀點來處理電池的這個分段線性約束，并且設計了廣義系統(tǒng)觀測器。仿真結果表明所提出的觀測器的有效性。

廣義系統(tǒng); 觀測器; 電池; 荷電狀態(tài)

0 引 言

使用汽油的汽車其剩余油量是很容易測得的。如果是電動汽車，電池的剩余容量則是從荷電狀態(tài)(state of charge,，SOC)信息得到的。SOC是電池內部的化學狀態(tài)，無法用電的信號來測量，所以要通過電池端口的電壓，電流等物理量的測量進行估計。如果是純電動車，則主要是放電問題，SOC的估計問題相對簡單一些，不過如果是混合電動車，則電池存在重復充放電過程，如果估計不準，有可能使估計誤差累積起來，造成電池過充或可能全部耗盡，造成不可逆的損壞，所以SOC的精確估計對駕駛員和電池的能量管理系統(tǒng)來說都是極為重要的。

電池有多種模型，不過從估計的角度來說，一般都是采用電池的電路模型。電路模型中常用電壓源來表示電池。電壓源所表示的是開路電壓(open-circuit voltage，OCV)，開路電壓voc與電池的荷電狀態(tài)SOC直接有關，是一種近似分段線性的關系，所以一般都是從voc來估計SOC。

文獻[1]中是用一個很大電容上的電壓來代表voc的，不過現在大多數的工作都是用電壓源來表示voc的。早期的工作[2]是將voc當作電路中的一個參數與其他參數合在一起來進行估計的。Plett根據電流與荷電量之間的積分關系提出了一個SOC的狀態(tài)方程[3]。Plett用多個參數來逼近voc與SOC的非線性特性并采用擴展Kalman濾波來估計SOC狀態(tài)，但Plett只采用僅有一個狀態(tài)(即SOC)的電路，也就是電池加內阻的內阻模型[2]。由于沒有考慮到電容，故內阻模型不是一種動態(tài)的模型[2]。Kim基于積分關系的SOC的狀態(tài)方程，按分段線性化的概念來處理一般的包含有電容的電路模型，并采用滑模觀測器來估計SOC狀態(tài)[4]。Kim的主要思路是一個分段線性化的方程可以按線性的概念來對時間求導。這個處理SOC非線性方程的做法方便了觀測器的設計，所以得到了一系列文章的響應，例如文獻[5-6]。分段線性系統(tǒng)采用求導的做法對某一工作點的分析是可以的，但是用在全行程的估計卻是存在問題的。另外，基于Kalman濾波的一些方法理論上也是可以用來估計電池SOC的，不過本文的重點是要說明當前采用觀測器設計時的求導做法存在一個概念上的問題，故本文采用觀測器來進行估計。本文將分析用求導方法的SOC狀態(tài)估計所存在的問題，并提出用廣義系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器來估計SOC。

1 電池的建模

電池的RC電路模型有數種類型，不過都大同小異。由于本文的對比對象是文獻[4]，所以采用文獻[4]的電路模型(圖1)作為研究對象。該電路模型由電壓源voc(z)和相應的電阻電容構成。非線性電壓源voc(z)是一個用開路電壓來表示的與電池SOC有關的電壓。這里z代表SOC。Cp是代表極化效應的電容，vt是可以觀察的終端電壓，I為充放電電流。Rb為傳導電阻，Rp為擴散電阻，Rt為端電阻，Ib和Ip為兩支路電流。

SOC定義為電池剩余容量與額定容量的比值。設充放電起始狀態(tài)為SOC0，那么當前的狀態(tài)SOC為

圖1 電池模型

(1)

式中CN為電池的額定容量，公式中的電流放電為正，充電為負。ηi為電池的庫倫效率(Coulombic efficiency)，放電時ηi=1，充電時ηi1。

設用變量z(t)來表示電池的SOC，Plett將式(1)改寫成[3]

(2)

根據式(2)可寫得SOC的z的微分方程為

(3)

根據圖1的電流方向，故式(3)的右項取(+)號，又下面的算例中主要針對放電情況，故ηi取為1。

根據圖1可寫得端電壓vt的電壓方程為

vt=IRt+IpRp+vp，

(4)

vt=IRt+IbRb+voc(z)。

(5)

從式(4)、式(5)可寫得

IpRp=IbRb+voc(z)-vp。

(6)

又從式(3)可得

(7)

從式(6)、式(7)得

(8)

將式(8)代入式(3)，得

(9)

類似的推導，從式(7)、式(8)、式(9)可得

(10)

從式(5)和(8)可得

(11)

除了上面這三個方程式外，還有一個開路電壓voc與SOC的非線性關系voc(z)。這個關系可近似為一個線性關系[3-5]，更確切說是一個分段線性的關系。

voc(z)=k1z+k2。

(12)

式(12)也可用圖表示如圖2所示。

圖2 voc與z的關系圖

式(9) ～ (12)就是電池的數學模型，文獻[4]給出的模型中各參數為：電池的額定容量

CN=5.0 Ah=5×3 600=18 000 A·sec，

Cp=200 F，Rt=0.001 Ω，Rb=Rp=0.003 Ω，

k1=1.2，k2=3。

將這些參數代入后，系統(tǒng)的方程式為

2 現有觀測器設計中的問題

有了數學模型，現在的任務是要設計觀測器來給出SOC的狀態(tài)估計。電池數學模型中有兩個狀態(tài)變量，z和vp，但是SOC的狀態(tài)z是內部變量，與voc存在一個分段線性的關系式。為了解決這個分段線性的非線性系統(tǒng)的設計問題，Kim提出了一個對時間求導數的辦法[4]，因為分段線性特性求導后，導數之間存在著線性關系。

具體做法是對式(12)求導，并將式(9)代入，得

(14)

文獻[4]再對vt的式(11)求導，并認為電流I的變化率很小而給予忽略(注：這一點實屬勉強)，得

將式(10)、式(14)代入上式，再根據式(11)進行整理，得

(15)

這里要說明的是，這些公式與文獻[4]中的式子略有不同，故一并列出以供參考。

將各具體參數代入式(14)式(15)后，得系統(tǒng)的方程式為

(16)

(17)

式中

這樣，用求導數的辦法得到了一組系統(tǒng)的線性方程，觀測器的設計問題也就迎刃而解了。文獻[4]在考慮了其他非線性不確定因素后決定采用滑模觀測器的設計問題。本文則認為這個基本的系統(tǒng)方程式(17)本身就存在著問題，所以下面采用常規(guī)的觀測器來進行討論。

根據式(17)，取觀測器方程為

(18)

這個觀測器是很容易設計的，設求得的觀測器增益為

(19)

下面來對觀測器進行仿真。圖3就是進行仿真研究的框圖，圖中虛線以上部分就是帶有非線性特性的真實系統(tǒng)的數學模型[式(13)]，是個二階系統(tǒng)。虛線以下部分則是按求導方式推導得出的觀測器方程式(18)。由于人為的求導運算，使這個觀測器成為一個三階系統(tǒng)。上下兩部分的階次都不相同，可見用求導觀點設計的觀測器與實際系統(tǒng)并不匹配，所以從理論上來說，觀測器的誤差是否收斂都是成問題的，可是文獻[4]并沒有意識到這個問題。

圖3 系統(tǒng)與觀測器的仿真框圖

現在來進一步分析具體的仿真效果。這里采用文獻[4]中的實驗條件，即用一串恒值電流來放電，放電電流5A，放電180秒，然后停止放電靜止3 600秒，即每次減少5%的SOC的量。電池開始時是滿充到4.2V，圖4是前幾個脈沖放電下的仿真結果，圖中給出了電池端電壓、電壓的估計值和估計誤差。圖中還列出了SOC的真實值(圖3上半部系統(tǒng)的z(t))，SOC的估計值和估計誤差。

圖4 觀測器式(18)的仿真結果

3 廣義系統(tǒng)觀測器的設計

文獻[4]之所以采用求導方法來設計觀測器，是為了克服分段線性系統(tǒng)在觀測器設計上的困難。其實分段線性可以看做是變量之間的一種代數約束，所以這里的問題完全可以用廣義系統(tǒng)的概念來處理。具體來說，式(13)就是一個廣義系統(tǒng)的方程組。該廣義系統(tǒng)有三個變量：z和vp是兩個狀態(tài)變量，voc是一個代數變量，最后一個是輸出方程。

(20)

y=0.5x2+0.5x3+0.002 5I。

(21)

或可寫成矩陣形式為

(22)

y=Cx+Du。

(23)

式中

由此可見，電池SOC的估計問題實質上是一個廣義系統(tǒng)的觀測器設計問題。而與式(22)式(23)對應的這類廣義系統(tǒng)觀測器的一般形式為[7]

(24)

圖5 廣義系統(tǒng)觀測器的仿真結果

4 結 論

電池荷電狀態(tài)的估計是一個分段線性系統(tǒng)的估計問題。為了避開分段線性問題，當前通行的做法是加一求導過程。本文分析指出這種求導后得出的觀測器，在理論上并無充分依據，而且還有估計誤差，進而提出用廣義系統(tǒng)觀測器來估計SOC。本方法簡單實用，且能保證估計的精度。

當然SOC的估計問題中有時還會加進一些對電路模型中其他參數的估計，例如[2, 8]。但是估計問題中對系統(tǒng)模型的認識是首要的，只要認識到這是一個廣義系統(tǒng)問題，剩下的就只是具體的設計方法了。這也是本文想傳達的一個思想。

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(編輯：劉素菊)

Descriptor system observer-based state-of-charge estimation for batteries

HE Zhen, WANG Guang-xiong

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

A new method for battery state-of-charge (SOC) estimation was proposed. To avoid the difficulties in treating the piecewise linear relationship between the open-circuit voltage (OCV) of the battery and the SOC, the popular approach for the observer design is to take the time derivative of the equation of the output voltage. It shows that the design of the observer by taking the time derivative of the voltage equation is incorrect. It is pointed out that the piecewise linear relationship can be considered as a linear constraint of a descriptor system. So the descriptor system approach was proposed to cope with this piecewise linear constraint. And the descriptor system observer was then designed. Simulation shows the effectiveness of the proposed method.

descriptor system; observer; battery; state of charge

2015-06-10

國家自然科學基金(61174203,60374027);國家自然科學基金重點項目(61034001)

何 朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向為控制系統(tǒng)設計、魯棒控制及H∞控制等；

王廣雄(1933—)，男，教授，研究方向為控制系統(tǒng)設計、魯棒控制及H∞控制等。

何 朕

10.15938/j.emc.2016.01.014

TP 273

A

1007-449X(2016)01-0094-05