徐 新 生， 程 顯 賀， 徐 成 輝， 周 震 寰

( 1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024 )

?

含弱界面結(jié)構(gòu)斷裂分析中辛方法

徐 新 生*1,2， 程 顯 賀1,2， 徐 成 輝1,2， 周 震 寰1,2

( 1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024 )

基于哈密頓體系，提出了一種分析含弱界面彈性材料斷裂問題的辛方法．通過引入對偶變量，建立基本問題的哈密頓體系．在該體系下，問題的解可被辛本征解的級數(shù)形式所表示．利用辛本征解之間的辛共軛正交關(guān)系，以及裂紋面條件、弱界面條件和結(jié)構(gòu)外邊界條件，可確定辛本征解級數(shù)的待定系數(shù)，從而得到問題的解．這樣，可以獲得Ⅰ型和Ⅱ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子解析表達(dá)式．?dāng)?shù)值結(jié)果揭示了各種邊界條件對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，同時(shí)也表明該方法對復(fù)雜的混合邊界條件問題更有效．

哈密頓體系；辛方法；應(yīng)力強(qiáng)度因子；弱界面

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，層狀復(fù)合材料以其優(yōu)良的力學(xué)性能被廣泛應(yīng)用于土木、機(jī)械、航空航天以及電子工程領(lǐng)域中．該類材料通常由一種或多種材料通過黏合等方式構(gòu)成，在使用中易產(chǎn)生界面裂紋，從而影響結(jié)構(gòu)的整體性能以及壽命．目前，針對層狀復(fù)合材料界面斷裂的研究多集中于強(qiáng)連接界面情況，即假定材料界面位移和應(yīng)力連續(xù)．然而，由于制造技術(shù)等原因，各層材料間界面往往達(dá)不到強(qiáng)連接的黏結(jié)強(qiáng)度．此外，對某些復(fù)合材料結(jié)構(gòu)層裂的修復(fù)也不能作為強(qiáng)連接問題．因此，考慮具有弱連接界面的斷裂問題具有重要的實(shí)際意義．

目前對弱界面問題研究中多采用彈簧模型[1-5]，即界面上的應(yīng)力連續(xù)、位移間斷，并且應(yīng)力與間斷位移間存在比例關(guān)系．Zhong等[1]和Li等[3]使用傅里葉變換及奇異積分方程分析了垂直于弱連接界面的Ⅰ型深埋裂紋問題和平行于弱連接界面的Ⅲ型裂紋問題．Chen等[2]采用狀態(tài)空間法給出了簡支狀態(tài)下弱連接壓電層合板自由振動(dòng)的精確解．Wang等[6]利用邊界元法討論了具有弱連接界面的Ⅲ型裂紋問題．薛雁等[7]研究了具有弱連接界面的壓電夾層結(jié)構(gòu)在反平面變形情況下的端部效應(yīng)．從上述文獻(xiàn)可以看出，現(xiàn)有關(guān)于弱連接界面斷裂問題的文獻(xiàn)非常有限，針對裂紋修復(fù)問題甚至尚未提及．因此，對該類界面裂紋及其修復(fù)效果的評估研究是必要的．

Zhong針對彈性力學(xué)問題首次提出哈密頓體系下的辛方法[8]，突破傳統(tǒng)拉格朗日求解體系的限制，將問題在哈密頓體系下進(jìn)行研究，并形成比較完整的求解方法．后來此方法被推廣到許多其他研究方向[9-11]．本文將哈密頓體系辛方法拓廣到弱界面斷裂問題中，在哈密頓體系下，利用對偶變量構(gòu)造基本控制方程，將問題歸結(jié)為本征值和本征解問題，直接得到界面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，以評估含裂紋結(jié)構(gòu)的安全性．

1 基本問題

(1)

其中k1(r)與k2(r)分別為連接界面的法向與切向界面參數(shù)．裂紋面(θ=±π)處的邊界條件為[1-5]

(2)

其中k3(r)與k4(r)分別為裂紋面的法向與切向界面參數(shù)．這里需要特別指出，k1(r)=k2(r)=∞表示界面強(qiáng)連接情況；k3(r)=k4(r)=0表示自由裂紋面情況，即裂紋未做修復(fù)處理情況，k3(r)=k4(r)≠0表示裂紋面被黏結(jié)修復(fù)，等效為弱連接．

圖1 含邊裂紋區(qū)域

外邊界條件可歸結(jié)為位移條件和應(yīng)力條件，它們分別可以表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

其中?r≡?/?r，?θ≡?/?θ．

2 問題的哈密頓體系描述

為了導(dǎo)入哈密頓體系，引入廣義坐標(biāo)ξ=lnr，記?ξ≡r?r．將ξ模擬為“時(shí)間”，并定義

f.

(7)

L(i)，利用哈密頓變分原理可以得到哈密頓對偶方程：

(8)

哈密頓體系下材料連接界面(θ=0)處的邊界條件如下[4]：

(9)

其中sθ=rσθ，k1與k2分別為連接界面的法向與切向界面參數(shù)．裂紋面(θ=±π)處的邊界條件如下[4]：

(10)

這里k3與k4分別為裂紋面的法向與切向界面參數(shù)．

3 辛本征解和辛共軛正交關(guān)系

不考慮體力，哈密頓方程式(8)可改寫為

(11)

采用廣義分離變量法

Ψ(i)(ξ,θ)=ψ(i)(θ)eμξ

(12)

則有

(13)

由文獻(xiàn)[8]可知本征解形式如下：

(14)

可見本征解(14)中含有8個(gè)未知數(shù)，由方程(9)可得

(15)

其中

將式(14)代入裂紋面條件(10)，可得

(16)

其中

由式(15)和(16)可得

Kφ(1)=0

(17)

(18)

當(dāng)區(qū)域Ω1與區(qū)域Ω2材料相同時(shí)，即E=E1=E2，υ=υ1=υ2時(shí)，上式可化簡為

[-4Eμcos(μπ)(k1+k3)+sin(μπ)×

(E2μ2-16k1k3)][-4Eμcos(μπ)(k2+k4)+

sin(μπ)(E2μ2-16k2k4)]μ2sin2(μπ)=0

(19)

式(14)的本征值可以利用上式確定．

若μm是式(13)本征值，則-μm亦是其本征值．故本征值可分成以下兩組：

(20)

則本征解滿足辛共軛正交關(guān)系：

(21)

4 數(shù)值方法

由于β-類本征解在r=0處位移奇異，該類解為非物理解，只需考慮α-類本征解．通解Ψc可以寫為

(22)

這里dj為待定系數(shù)．在r=a處的邊界條件為

(23)

利用通解(22)，邊界條件(23)可以改寫為

(24)

利用式(24)和辛共軛正交關(guān)系(21)有

(25)

其中

至此，通解的待定系數(shù)dj可以由式(25)的線性代數(shù)方程組確定．

5 數(shù)值結(jié)果分析

數(shù)值模擬中主要考慮以下兩種情況．

情況1： k1≠0，k2≠0，k3=0，k4=0，即裂紋面自由，材料界面弱連接．

情況2： k1≠0，k2≠0，k3≠0，k4≠0，即裂紋面弱連接，材料界面弱連接．

5.1 弱連接界面的奇異性分析

首先，討論裂紋面自由，材料界面弱連接的情況1的奇異性問題．裂紋尖端的奇異性可以通過-1

(26)

其中KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子．

表1 不同界面參數(shù)下的奇異性

5.2 弱連接界面在集中荷載作用下的問題

考慮所討論的問題為圓形區(qū)域，如圖2所示．有一對集中力作用在邊界上，界面和裂紋面條件如情況1．PⅠ為作用在外邊界±θ0處的對稱單位集中力，PⅡ?yàn)樽饔迷诹鸭y面上B、C點(diǎn)處的反對稱單位集中力．

圖2 弱連接界面圓盤受Ⅰ/Ⅱ型集中力作用情況

圖3給出了受PⅠ單獨(dú)作用(θ0=180°)產(chǎn)生的Ⅰ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子隨本征解項(xiàng)數(shù)的收斂性曲線．從圖中可以看到，當(dāng)本征解項(xiàng)數(shù)超過18項(xiàng)之后，界面強(qiáng)連接情況(k1=k2=∞)對應(yīng)的KⅠ穩(wěn)定收斂于理論值，說明本文方法的可靠性；界面弱連接(k1=k2=5/5)情況對應(yīng)的廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ收斂值略低于強(qiáng)連接情況，這與物理現(xiàn)象一致．由此可見，該方法的收斂性較好．以下算例的計(jì)算均取26項(xiàng)辛本征解．

圖3 收斂性與本征解項(xiàng)數(shù)的關(guān)系

圖4給出對稱荷載PⅠ作用位置θ0及界面參數(shù)k1=k2對Ⅰ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的影響曲線．從圖中可看出，KⅠ隨θ0增大而增大．這種現(xiàn)象是由于荷載作用位置與裂紋尖端在裂紋面的投影距離增大所致．KⅠ隨界面參數(shù)k1=k2增大而增大，即界面連接越牢固對應(yīng)的KⅠ越大．且當(dāng)k1=k2=∞時(shí)，當(dāng)前解與理論解[12]非常吻合．

圖4 自由裂紋面Ⅰ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖5給出反對稱荷載PⅡ作用下Ⅱ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ的變化情況．KⅡ隨界面參數(shù)k1=k2增加而增大，當(dāng)k1=k2=2.5時(shí)，KⅡ?yàn)?.971 8．另外可知，當(dāng)k1=k2=∞時(shí)，KⅡ達(dá)到最大值2.068 7，可見k1=k2>2.5后KⅡ的變化不大．說明這種情況可以被近似視為強(qiáng)連接問題．

圖5 自由裂紋面Ⅱ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子

5.3 弱連接裂紋面受集中荷載作用問題

考慮圖2所示的情況2．圖6與7分別給出弱界面參數(shù)k1、k2、k3與k4對KⅠ及KⅡ的影響曲線．圖6表明自由裂紋面(k3=k4=0)情況下，集中力作用位置越遠(yuǎn)離裂紋尖端KⅠ越大；而裂紋

圖6 不同弱界面條件下Ⅰ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖7 不同弱界面條件下Ⅱ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子

修復(fù)后(k3=k4≠0)，KⅠ的變化趨勢與自由裂紋面情況完全相反，且θ=0的連接界面參數(shù)k1與k2越大KⅠ也越大．這種現(xiàn)象說明，裂紋修復(fù)(弱連接)有利于實(shí)現(xiàn)止裂效果．圖7表明反對稱荷載作用下，KⅡ隨弱界面參數(shù)k3與k4增大而減小，說明裂紋面連接越牢固，KⅡ就越?。姚?0的界面參數(shù)k1與k2越大KⅡ也越大．該規(guī)律與物理現(xiàn)象一致．

5.4 弱連接界面的混合邊界條件問題

最后，考慮情況1界面和裂紋且外邊界為混合邊界條件，如圖8所示．不妨取

圖9給出不同弱界面參數(shù)k1與k2和不同角度θ0對KⅠ的影響曲線．從圖中觀察到，當(dāng)θ0=0°時(shí)，KⅠ達(dá)到極大值；當(dāng)θ0>0°后，KⅠ急劇下降．圖10給出KⅡ隨角度θ0的變化曲線．該圖表明，當(dāng)θ0=-45°時(shí)，KⅡ達(dá)到極大值；且在θ0=[-90°，90°]，界面參數(shù)k1與k2越大，KⅡ的絕對值亦越大．

圖8 弱連接界面圓盤受混合邊界條件作用

圖9 混合邊界條件下Ⅰ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖10 混合邊界條件下Ⅱ型廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子

6 結(jié) 語

本文將辛方法應(yīng)用于具有弱界面的斷裂分析中．在哈密頓體系下，可直接得到界面裂紋的應(yīng)力場、位移場及廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式．?dāng)?shù)值結(jié)果表明，辛方法可以有效求解弱界面斷裂問題，方法具有良好的收斂性，尤其對復(fù)雜邊界條件同樣有效．裂紋面為自由表面時(shí)，相同外邊界條件作用下，材料界面參數(shù)越大，相應(yīng)的廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子越大．然而，該廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子不會(huì)高于強(qiáng)連接界面問題的廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子；反之，裂紋面亦為弱連接時(shí)，相應(yīng)的廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子較之裂紋面為自由表面情況小得多，說明裂紋經(jīng)過修復(fù)之后，可以承載更大的荷載．

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A symplectic method for fracture analysis of structure with weak interface

XU Xin-sheng*1,2, CHENG Xian-he1,2, XU Cheng-hui1,2, ZHOU Zhen-huan1,2

( 1.Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology,Dalian 116024, China )

Based on Hamiltonian system, a symplectic method for analyzing the fracture problem of weak interface between two elastic media is presented. By introducing the dual variables, the Hamiltonian system is constructed, then the solution of the problem can be represented by series form of the symplectic eigensolutions. By means of the symplectic adjoint orthogonal relationship between symplectic eigensolutions, together with crack surface conditions, weak interfacial conditions and external boundary conditions of structure, the undetermined coefficients of the symplectic series can be determined. Therefore, the solution is obtained. In this way, the generalized stress intensity factors of Mode Ⅰ and Mode Ⅱ are expressed analytically. The numerical results reveal the influence of various boundary conditions on the stress intensity factors, and also show that the method is more effective for complex mixed boundary conditions.

Hamiltonian system; symplectic method; stress intensity factor; weak interface

1000-8608(2016)02-0111-07

2015-07-14；

2016-01-10．

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372070，11302042)；“九七三”國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014CB046803)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DUT14LK41，DUT14RC(4)39).

徐新生*(1957-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:xsxu@dlut.edu.cn.

TP273

A

10.7511/dllgxb201602001