文 曉,孫玉泉

(北京航空航天大學(xué))

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連續(xù)可微向量場的龐加萊截面映射*

文 曉,孫玉泉

(北京航空航天大學(xué))

龐加萊截面映射是常微分方程定性理論與微分動力系統(tǒng)中的一個重要概念,它可以將一個連續(xù)可微向量場的問題轉(zhuǎn)化為一個可微映射的問題來研究. 該文對龐加萊截面映射的存在性給出了一種新的證明方法, 通過該方法可以關(guān)于龐加萊截面映射的定義域大小給出一種一致性的刻畫.

C1向量場；龐加萊截面；龐加萊截面映射;隱函數(shù)定理

1 可微向量場的龐加萊截面映射

龐加萊截面映射是使用定性方法研究常微分方程以及微分動力系統(tǒng)中的一個重要工具，來源于19世紀(jì)龐加萊關(guān)于天體力學(xué)的一系列工作.在常微分方程的漸進(jìn)穩(wěn)定性研究以及微分動力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，同時也廣泛應(yīng)用于各種自然科學(xué)研究以及工程問題當(dāng)中.在該文中，介紹一種更廣義的截面映射,并重點關(guān)注龐加萊截面映射定義域的大小.

設(shè)G是n維歐式空間Rn中的一個開區(qū)域, X:G→Rn是G上定義的一個C1向量場，則由微分方程解的存在唯一性定理[2],自治微分方程

(1)

滿足初始條件x(t0)=x0的解是存在且唯一的.記這個解為x=φ(t)=φ(t;t0,x0)，為討論起來簡便，這里不妨設(shè)每個解都可以延拓到t∈(-∞,+∞).把t看成參數(shù)，則φ(t;t0,x0)確定了G中的一條曲線，一般將它稱為方程(1)的一條軌線. 特別地，如果記φt(x0)=φ(t;0,x0),則由解對初值的可微依賴性，{φt}中的每一個φt都是G到G的一個微分同胚，并滿足條件[3]：

(a) φ0=Id; (b)φt+s=φt°φs.

這時{φt}一般稱之為一個流或一個連續(xù)(時間)動力系統(tǒng).

設(shè)x是向量場X的一個常點，即滿足X(x)=0的點，則在x點處可以取一個n-1維的超平面Nx，使得X(x)是Nx的法向量. 記Nx(r)={y∈Nx:|y-x|0，使得當(dāng)y∈Nx(r)時，X(y)不平行于Nx. 此時稱Nx(r)為向量場X或流φt在x處的龐加萊截面. 給定時間T>0, 由隱函數(shù)定理可以證明, 對于任意一個常點x∈G, 記z=φT(x), 則存在r>0, 使得對任意的y∈Nx(r), 都存在唯一確定的時刻τ, 使得φτ(y)∈Nz[1,3]. 則此時可以通過Px,T(y)=φτ(y)給出一個從Nx(r)到Nz的映射Px,T. 將它稱之為龐加萊截面映射.

不難注意到，龐加萊截面上不能含有向量場X的奇點(即滿足X(x)=0的點). 對于龐加萊截面映射Px,T，當(dāng)x靠近奇點的時候，其定義域會變得很小. 那么龐加萊截面映射的定義域到底能做到多大，是否與向量場在該點的長度有聯(lián)系？這個問題在經(jīng)典的微分方程定性理論以及微分動力系統(tǒng)的教材(如文獻(xiàn)[1,3,6])中都沒有給出回答. 在該文中，將對這一問題進(jìn)行討論，給出如下結(jié)論.

定理1 關(guān)于方程(1),如果在凸區(qū)域G上X(x)的導(dǎo)數(shù)有界，即存在一個常數(shù)K>0，使得‖DX(x)‖0,存在一個常數(shù)η，使得任取x∈G，龐加萊截面映射Px,T在球Nx(η|X(x)|)上有定義.

在常規(guī)的龐加萊截面映射存在性的證明中, 使用的是一般形式的隱函數(shù)定理，這時可以得到當(dāng)y離x足夠近的時候截面映射的存在性, 一般不能得到龐加萊截面映射的定義域的大小信息. 因此這里需要進(jìn)行更細(xì)致的觀察，回顧一般隱函數(shù)定理的證明，當(dāng)采用壓縮映射原理來證明隱函數(shù)定理時，根據(jù)壓縮映射定理成立的條件，往往能得到定義域大小的信息. 因此，在文中將采用壓縮映射定理進(jìn)行討論.

2 定理1的證明

首先對龐加萊截面的大小進(jìn)行刻畫. 有如下的引理成立：

引理1 關(guān)于方程(1),如果在凸區(qū)域G上X(x)的導(dǎo)數(shù)有界，即存在一個常數(shù)K>0，使得‖DX(x)‖

證明 易見X(y)不平行于Nx等價于〈X(y),X(x)〉≠0(其中〈·,·〉表示向量的內(nèi)積). 因此只需尋找η1，使得任取常點x∈G,以及任取y∈Nx(η1|X(x)|),就有〈X(y),X(x)〉>0成立.本

首先注意到，只需

|X(y)-X(x)|2<|X(x)|2

就會有〈X(y),X(x)〉>0.這是因為若

|X(y)-X(x)|2=|X(y)|2-2〈X(y),X(x)〉+|X(x)|2<|X(x)|2

成立，則有

|X(y)|2-2〈X(y),X(x)〉 <0

故〈X(y),X(x)〉>0.

由于‖DX(x)‖

|X(x)-X(y)|=|DX(ξ)(x-y)|≤

K|x-y|

成立. 取η1=1/(2K), 則當(dāng)|x-y|<

η1|X(x)|時，

|X(x)-X(y)|≤K|x-y|≤Kη1|X(x)|=(1/2)·|X(x)|<|X(x)|

因此當(dāng)y∈Nx(η1|X(x)|)時,|X(y)-X(x)|2<|X(x)|2,從而就有X(y)不平行于Nx. 引理1證畢.

回顧龐加萊截面映射的定義, 為證明定理1, 只需找到常數(shù)η<η1, 使得當(dāng)|x-y|<

η|X(x)|時, 存在時間τ=τ(y), 使得φτ(y)(y)∈Nz. 易見φτ(y)(y)∈Nz等價于向量φτ(y)(y)-z垂直于向量X(z)，即

〈φτ(y)(y)-z,X(z)〉=0.

構(gòu)造函數(shù)F(t,y)=〈φt(y)-z,X(z)〉. 由z=φT(x)可見F(T,x)=0. 又通過簡單的計算可知

(2)

證明 假設(shè)引理的結(jié)論不正確，存在

下面回到定理1的證明, 由于‖DX(x)‖

|φT(y)-z|≤eKT|y-x|≤

有

ρ(G(φ0),φ0)=max|G(φ0)(y)-T|=max|-|X(z)|-2F(T,y)|=max|X(z)|-2×

3 結(jié)束語

由定理1可見，如果考慮的是一個有界閉區(qū)域上連續(xù)可微的向量場，雖然龐加萊截面映射的定義域做不到一致的尺寸，但至少可以找到一個一致常數(shù)η, 使得龐加萊截面映射在半徑為η|X(x)|的圓盤內(nèi)有定義. 特別地，將這個結(jié)論應(yīng)用到緊致無邊流形上的連續(xù)可微向量場時，導(dǎo)數(shù)有界是天生成立的，因此必然存在類似的一致常數(shù)η. 在廖山濤先生使用典范方程組研究含奇點流的工作中[4-5]，蘊(yùn)含了這里的結(jié)論. 但由于廖山濤先生在論文中采用的工具是典范方程組理論，而不是西方學(xué)者所常用的流盒(又稱管狀鄰域)的辦法[6]，因此相應(yīng)的結(jié)論不被外界所熟知. 筆者的結(jié)論對龐加萊截面映射的定義域給了一個明確的大小，特別是在靠近奇點的時候，雖然知道龐加萊截面映射的定義域非常小，但是它大小的階可以做到向量場同階.可以預(yù)計這些結(jié)論在對含奇點流的研究中能起到一定的作用.

[1] Hirsch M, Smale S, Devaney R. 微分方程、動力系統(tǒng)與混沌導(dǎo)論:第2版[M]. 甘少波譯. 北京：人民郵電出版社, 2008.1-336.

[2] 丁同仁,李承治. 常微分方程教程[M]. 北京：高等教育出版社, 2004.1-384.

[3] 張錦炎,馮貝葉. 常微分方程幾何理論與分支問題[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2005.1-431.

[4] 廖山濤. 典范方程組[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報, 1974, 17(2): 100-109.

[5] 廖山濤. 常微系統(tǒng)的某些一致性質(zhì)及一個周期軌道存在定理的推廣[J]. 北京大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 1985(2), 1-19.

[6] Palis J, Melo W D. Geometric Theory of Dynamical Systems: An Introduction[M]. New York: Springer, 1982.1-198.

(責(zé)任編輯：于達(dá))

Poincaré Section Map for C1Vector Fields

Wen Xiao, Sun Yuquan

(Beihang University)

In the article, a description of Poincaré section map for LipschitzC1vector fields on is given. The size of definition domain of the Poincaré section map will be uniform in some sense. It is a deep application of Implicit Function Theorem.

C1Vector Fields; Poincaré Section; Poincaré Section Map; Implicit Function Theorem

2016-03-22

*國家自然科學(xué)基金(11301018)；北京航空航天大學(xué)教學(xué)改革基金資助

O175

A

1000-5617(2016)02-0012-04