魏瑞雪,余國(guó)勝，熊昕

(江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056)

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一類帶擾動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問題

魏瑞雪,余國(guó)勝，熊昕

(江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056)

討論帶擾動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問題，此模型保費(fèi)收入過程是復(fù)合Poisson-Geometric過程，兩類理賠計(jì)數(shù)過程分別為獨(dú)立的復(fù)合Poisson-Geometric過程和廣義Erlang(n)計(jì)數(shù)過程，得到此模型的第一預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)所滿足的積分-微分方程.

風(fēng)險(xiǎn)模型；第一預(yù)警區(qū)；條件矩母函數(shù)；積分-微分方程；Laplace變換

0 引言

研究保險(xiǎn)精算風(fēng)險(xiǎn)理論中的預(yù)警區(qū)問題可以為保險(xiǎn)公司決策者提供一個(gè)早期風(fēng)險(xiǎn)警示.于金酉等[1]討論了常利率復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型中的預(yù)警區(qū)問題.崔巍等[2]研究了一類推廣的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問題.文獻(xiàn)[3]中充分應(yīng)用盈余過程的強(qiáng)馬氏性，討論了一類復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的第一個(gè)預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù).文獻(xiàn)[4]中對(duì)于一類常利率復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的第一預(yù)警區(qū)問題進(jìn)行了研究，得到第一預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)所滿足的積分——微分方程，在指數(shù)理賠的特殊情況下給出精確解.趙明清等[5]在復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，引入利率因素，研究了常利率復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問題.文獻(xiàn)[6]中得到了多險(xiǎn)種多復(fù)合Poisson-Geometric常利率風(fēng)險(xiǎn)模型第一預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)所滿足的積分-微分方程.近年來(lái)，帶擾動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)模型正越來(lái)越受到人們的關(guān)注.Chiu等[7]考慮了帶擾動(dòng)的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型.文獻(xiàn)[8]中考慮帶擾動(dòng)的兩類理賠風(fēng)險(xiǎn)模型的罰金折扣函數(shù)，兩類理賠來(lái)到的計(jì)數(shù)過程分別為獨(dú)立的Poisson過程和廣義Erlang(n)過程.文劉震[9]等在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，研究了帶擾動(dòng)相關(guān)理賠下的風(fēng)險(xiǎn)模型的罰金折現(xiàn)函數(shù).本文中在帶擾動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)模型下討論預(yù)警區(qū)問題.這里我們對(duì)模型作進(jìn)一步假設(shè)如下：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)及引理

為此先介紹Poisson-Geometric過程的定義如下:

定義1.1[10]設(shè)λ>0,0≤ρ<1,稱{N(t);t≥0}為參數(shù)λ,ρ復(fù)合Poisson-Geometric過程，如果滿足：

i)N(0)=0;

ii) {N(t);t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量;

注1.1 由定義1.1，當(dāng)ρ=0時(shí)，復(fù)合Poisson-Geometric過程就是Poisson過程.因此，復(fù)合Poisson-Geometric過程是Poisson過程的一種推廣.

P{Ni(t)=0}=e-λit=1-λit+o(t),

2 Φ(-z,0,r)所滿足的積分-微分方程

定理2.1 記

(2)

(3)

定理2.1的證明 在充分小的時(shí)間(T,T+dt]內(nèi)考察風(fēng)險(xiǎn)模型，記

對(duì)j=1,2,…,n-1,則由全期望公式及引理1.1有

由泰勒展開式及Ito公式得

(1-λ1dt)(1-λ3dt)λjdte-rdtE[Φj+1(H(T+dt),0,r)]+o(dt).

對(duì)上式整理并令dt→0,化簡(jiǎn)得

(4)

對(duì)起始狀態(tài)為n,有

(5)

對(duì)上式整理化簡(jiǎn)得

(6)

對(duì)上式整理并令dt→0,化簡(jiǎn)得

(7)

注2.1σ=0,n=0,ρ1=0,ρ3=0,λ3=0,則(2)式為文獻(xiàn)[1]中的(2.1)式.

注2.2δ=0,σ=0,c=0,n=0,ρ3=0,則(2)式為文獻(xiàn)[2]中的(3.1)式.

注2.3δ=0,σ=0,n=0,ρ3=0,λ3=0,則(2)式為文獻(xiàn)[3]中的(3)式.

注2.4σ=0,c=0,n=0,ρ3=0,λ3=0,則(2)式為文獻(xiàn)[4]中的定理1.

注2.5σ=0,c=0,ρ3=0,n=0,則(2)式為文獻(xiàn)[5]中的(2)式.

3 Φj(-z,0,r)的Laplace變換

fρ1(x)是參數(shù)為α1=(1-ρ1)β1的指數(shù)分布的概率密度.同樣道理可得fρ3(z)是參數(shù)為α3=(1-ρ3)β3的指數(shù)分布的概率密度.假設(shè){Yi;i≥1}服從參數(shù)為α2的指數(shù)分布.則定理2.1為

(8)

(9)

將(8)式兩邊關(guān)于z求導(dǎo)，并將(8)式兩邊同乘-α1與之相加整理可得

(10)

將(9)式兩邊關(guān)于z求導(dǎo)，并將(9)式兩邊同乘-α1與之相加整理可得

(11)

對(duì)(11)式兩邊關(guān)于z求導(dǎo)，并將(11)式兩邊同乘-α2與之相加整理可得

λ3(α1+α3)(α2+α3)e-α3z=0

(12)

(13)

(14)

令

其余aij(s)=0.再令A(yù)(s)=(aij(s))n×n,γ(s)=(γ1(s),γ2(s),…,γn(s))T,b(s)=(b1(s),b2(s),…,bn(s))T,T表示轉(zhuǎn)置.由(13)～(14)式可得

A(s)γ(s)=b(s)

(15)

下面舉一個(gè)例子：若假設(shè){Xi;i≥1},{Yi;i≥1},{Zi;i≥1}均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布.例如：取

此時(shí)

由(15)式可得

其中

[1] 于金酉,胡亦鈞,韋曉.常利率復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型中的預(yù)警區(qū)問題[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2010，30A(1): 1-17.

[2] 崔巍,余旌胡.一類推廣的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型下預(yù)警區(qū)問題的研究[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2012，32A(1): 27-40.

[3] 鐘朝艷. 復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2012,29(2):83-86.

[4] 鐘朝艷.一類常利率復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問題[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,39(3): 36-40.

[5] 趙明清，尚鵬，李田.一類推廣的常利率復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2015,32(1):1-5.

[6] 賀小麗，余國(guó)勝.多險(xiǎn)種多復(fù)合Poisson-Geometric常利率風(fēng)險(xiǎn)模型預(yù)警區(qū)問題[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,38(1):18-24.

[7] Chiu S N，Yin C C.The time of ruin，the surplus prior to ruin and the deficit at ruin for the classical risk process perturbed by diffusion[J]. Insurance: Mathematics and Economics，2003,33:59-66.

[8] 趙永霞，王春偉. 帶擾動(dòng)的兩類索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的罰金折扣函數(shù)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯:2010,25(3):263-272.

[9] 劉文震，王傳玉. 帶擾動(dòng)的兩類相關(guān)索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的折現(xiàn)罰金函數(shù)[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013,43(6):444-454.

[10] 毛澤春，劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險(xiǎn)模型及破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,28(3):419-428.

(責(zé)任編輯 趙燕)

The analysis of the duration of negative surplus for a perturbed risk model

WEI Ruixue,YU Guosheng，XIONG Xin

(School of Mathematics and Computer Science,Jianghan University，Wuhan 430056，China)

We discussed the duration of negative surplus for a perturbed risk model.It was assumed that the income of insurance premiums was a compound Poisson-Geometric process and the corresponding claim computation processes were either independent compound Poisson-Geometric process or generalized Erlang(n) process.The integral-differential equations of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus had been obtained.Then the explicit expression about the Laplace transforms of the conditional moment generating function for the first duration of negative surplus is obtained when the premium and the claims are exponential distributions.Finally we gived an example to illustrate our results.

risk model; first duration of negative surplus;conditional moment generating function; integral-differential equation; Laplace transform

2016-04-27

武漢市教育局2015年市屬高校教學(xué)研究項(xiàng)目(2015057)資助

魏瑞雪(1996-)，女,本科生；余國(guó)勝,通信作者，講師,E-mail:guosyujianghanun@126.com

1000-2375(2016)06-0488-07

O211

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.06.004

當(dāng)保單的價(jià)格，兩類理賠額分布密度均服從指數(shù)分布的條件時(shí)，給出此模型的第一預(yù)警區(qū)的一個(gè)條件矩母函數(shù)的Laplace變換的表達(dá)式，并給出實(shí)例以說明所得結(jié)果.