施丹桂

（浙江省杭州市勝藍(lán)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 浙江杭州 310004）

對(duì)比分析 把握本質(zhì)
——《雞兔同籠》教學(xué)實(shí)踐與思考

施丹桂

（浙江省杭州市勝藍(lán)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 浙江杭州 310004）

雞兔同籠是實(shí)驗(yàn)版教材六年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，而2013版新教材則把其改編在了四年級(jí)下冊(cè)，其與實(shí)驗(yàn)教材相比有較大的差別，教學(xué)目標(biāo)中更注重解題策略多樣性的教學(xué)，教學(xué)過(guò)程中更關(guān)注列表法和假設(shè)法的落實(shí)，這些改變給我們?cè)诮虒W(xué)中帶來(lái)了新的困惑。本文針對(duì)這一教學(xué)內(nèi)容，反復(fù)比較兩版教材和教參，從理念引領(lǐng)、內(nèi)容編排、教學(xué)方法等角度進(jìn)行分析，并提出一些相應(yīng)的教學(xué)策略。

雞兔同籠 假設(shè)思想 數(shù)形結(jié)合 教學(xué)策略

一、背景

對(duì)于兩版教材，筆者進(jìn)行了以下比較：

對(duì)比一：

新版教材教學(xué)目標(biāo)的描述更詳細(xì)：在方法上注重列表法和假設(shè)法；在能力上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力的雙管齊下。而實(shí)驗(yàn)教材的教學(xué)目標(biāo)描述較為籠統(tǒng)：在方法教學(xué)上更關(guān)注方程法；在能力要求上較重視數(shù)學(xué)思維能力，略忽視實(shí)際應(yīng)用能力。

對(duì)比二：

新版教材在內(nèi)容編排上展示了列表法和假設(shè)法這兩種解法；而實(shí)驗(yàn)教材則還要求學(xué)生掌握方程法。

基于這兩版教材的比較，筆者產(chǎn)生了一些困惑：新版教材面對(duì)的是四年級(jí)的孩子，只需教學(xué)列表法和假設(shè)法，那么在這兩種方法的教學(xué)力度上我們?nèi)绾畏峙?？我們?cè)趺磶椭⒆又庇^的理解抽象的假設(shè)法？假設(shè)法的教學(xué)起點(diǎn)在哪？列表法和假設(shè)法之間有聯(lián)系嗎？……帶著這些困惑，筆者開(kāi)始了這一內(nèi)容的研究。

二、分析

基于對(duì)新舊教材的對(duì)比研讀，針對(duì)這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)，筆者著重分析以下兩個(gè)方面的問(wèn)題：

1.列表法和假設(shè)法的教學(xué)力度如何分配，是兩種孤立的方法嗎？

2013版教師用書(shū)中指出：有序的列表可使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)逐一調(diào)整變化的過(guò)程，為后面探究假設(shè)法奠定了基礎(chǔ)。其實(shí)列表法是假設(shè)雞（或兔）的只數(shù)一個(gè)一個(gè)或幾個(gè)幾個(gè)的進(jìn)行推理，假設(shè)法是全部假設(shè)為雞（或兔）來(lái)推理，從思維層面上講，兩者都蘊(yùn)含了“假設(shè)”的數(shù)學(xué)思維，并不是兩種孤立的方法，我們可以說(shuō)列表法是假設(shè)法的鋪墊，假設(shè)法是對(duì)列表法的提煉。我們可以這樣分析：如果夯實(shí)了列表法的教學(xué)，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表格進(jìn)行分析，假設(shè)法是否就水到渠成了？再者2013版教師用書(shū)中也明確指出：應(yīng)明確列表的方法不只有教材呈現(xiàn)的一種方式。教材中所呈現(xiàn)的是列表法中較簡(jiǎn)單的一種。因此，教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生先經(jīng)歷這樣的“逐一”列表方法，然后再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)交流探討發(fā)現(xiàn)列表的方法不是唯一的，列表的數(shù)據(jù)既可以逐一列出，也可以跳躍列舉，還可以取中列舉。綜上兩點(diǎn)，筆者覺(jué)得對(duì)于列表法我們不能輕視，應(yīng)加大教學(xué)力度，讓學(xué)生在體驗(yàn)多樣列表的基礎(chǔ)上感知列表的本質(zhì)，為假設(shè)法做鋪墊。

2.怎么突破假設(shè)法教學(xué)的“抽象”難點(diǎn)，它的教學(xué)起點(diǎn)在哪？

課程標(biāo)準(zhǔn)指出“要在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力”，而用假設(shè)法解題的過(guò)程其實(shí)就是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的過(guò)程。“假設(shè)法”抽象的特點(diǎn)是學(xué)生理解的最大障礙，易造成“生搬硬套”現(xiàn)象：只會(huì)死記硬背的套用，而不能理解為什么假設(shè)是雞（兔），先求出的卻是兔（雞）。因此我們首先要找到假設(shè)法的起點(diǎn)——列表法。所以在教學(xué)中首先要夯實(shí)列表法的教學(xué)，為假設(shè)法的理解積累推理經(jīng)驗(yàn)；其次采用數(shù)形結(jié)合的方式，為抽象的理解呈現(xiàn)形象的視覺(jué)。

三、對(duì)策

基于以上的分析，筆者進(jìn)行了課堂教學(xué)實(shí)踐。

【書(shū)本例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？】

對(duì)策一：因“材”而施教，定合理目標(biāo)，行有效教學(xué)。

美國(guó)心理、教育學(xué)家布盧母說(shuō)“有效教學(xué)始于知道希望達(dá)到的目標(biāo)是什么?！边@句話(huà)闡述了教學(xué)目標(biāo)的重要地位。既然新教材在教學(xué)理念、內(nèi)容編排、方法選擇……這些方面都進(jìn)行了改革，那么我們也要因“材”施教，定恰當(dāng)目標(biāo)，行有效教學(xué)。據(jù)教材的情況，此內(nèi)容應(yīng)分兩課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。第一課時(shí)應(yīng)著力于列表法的教學(xué)；第二課時(shí)進(jìn)行假設(shè)法的教學(xué)和模型的建立與內(nèi)化。因此制定的教學(xué)目標(biāo)如下：

第一課時(shí)

1.了解“雞兔同籠”問(wèn)題，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。

2.嘗試用列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。理解“逐一列表”、“取中列表”和“跳躍列表”，掌握用“列表法”解決問(wèn)題的策略。

3.在學(xué)習(xí)“列表法”的過(guò)程中，經(jīng)歷數(shù)據(jù)調(diào)整的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生有序思考，為“假設(shè)法”的探究奠定基礎(chǔ)。

4.用“列表法”解決生活中的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生有序思考和遷移類(lèi)推能力，為模型的建立奠定基礎(chǔ)。

第二課時(shí)

1.嘗試用“假設(shè)法”解決“雞兔同籠”問(wèn)題，了解兩種方法之間的關(guān)聯(lián)性，體驗(yàn)“假設(shè)法”是“列表法”的提煉。

2.經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的過(guò)程，讓學(xué)生在“形象圖”與“抽象式”的對(duì)應(yīng)過(guò)程中，理解“假設(shè)法”的實(shí)質(zhì)，能用此法解決生活中的“雞兔同籠”問(wèn)題。

3.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，滲透“假設(shè)”的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

4.建立“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，在解決問(wèn)題的過(guò)程中內(nèi)化模型。

對(duì)策二：多樣列表，積累理解假設(shè)法的邏輯推理經(jīng)驗(yàn)。

“列表法”是“假設(shè)法”的認(rèn)知起點(diǎn)，是學(xué)生進(jìn)行有序思考的開(kāi)端。因此在教學(xué)的過(guò)程中我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究多種列表法，體驗(yàn)有序思考的過(guò)程，積累邏輯推理經(jīng)驗(yàn)，為 “假設(shè)法”的學(xué)習(xí)預(yù)熱。因此筆者對(duì)此進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)：

【教學(xué)片斷1】

一、教學(xué)列表法

1.逐一列表，有序思考

籠子里有雞和兔共8只，請(qǐng)你猜猜雞和兔可能各有幾只？

生：雞1只，兔7只。

生：雞2只，兔6只。

師：還有嗎？那誰(shuí)能按順序不遺漏不重復(fù)地說(shuō)一說(shuō)？

生：雞1只，兔7只；雞2只，兔6只……

師：如果用列表的形式來(lái)表達(dá)你們的猜測(cè)，那就更清晰了。（課件展示表格）

師：除了這七種，我們還得考慮 “雞0只，兔8只”或 “雞8只，兔0只”這兩種情況。（在表格中添上“雞0只，兔8只”和“雞8只，兔0只”）

師：你們看，表格有序的、不重復(fù)、不遺漏地羅列了我們的想法?？墒堑降资菐字煌脦字浑u能確定嗎？

生：不確定

師：如果再增加一個(gè)條件：“從下面數(shù)，共有22只腳”，現(xiàn)在你知道有幾只雞幾只兔嗎？請(qǐng)你像剛才那樣列表解決。

1.學(xué)生獨(dú)立列表解決

2.展示學(xué)生作品

師：仔細(xì)觀察，在列舉的過(guò)程中，腳總數(shù)的變化有什么特點(diǎn)？

生：從左往右看，每次減少2只腳。

師：腳總數(shù)怎么會(huì)2個(gè)2個(gè)的減少呢？

生：因?yàn)殡u在增加，兔在減少。

生：因?yàn)槊看坞u都增加了1只，兔都減少了1只。

師：是呀，從左往右，每次都把1只兔變成1只雞，就少了2只腳。

師：如果腳要減少8只，要將幾只兔換成雞？怎樣算的？腳要增加8只呢？

2.跳躍列表，感知假設(shè)

師：如果雞和兔的數(shù)量較大，這樣試起來(lái)就麻煩了！能不能跳著列表呢？請(qǐng)你們嘗試一下。

生1：當(dāng)雞有8只兔有0只時(shí)，腳有16只，比26只少好多只腳，我就想：假設(shè)雞5只兔3只，腳就有22只，還比26只少4只。那么還有2只兔被看成了雞，所以我再假設(shè)3只雞5只兔，腳就是26只了。

生2：我的更簡(jiǎn)單。當(dāng)雞有8只兔有0只時(shí)，腳有16只，比26只少10只腳。那1只兔看成雞要少2只腳，要少10只腳，說(shuō)明有5只兔被看成雞，就從8只雞中拿出5只變成兔，這樣就有3只雞，5只兔，腳剛好26只。

師：誰(shuí)聽(tīng)明白了？

師：好方法！逐一列舉再依次計(jì)算確實(shí)麻煩，跳著列舉和計(jì)算，能更快地找到答案。

3.取中列表，深化理解

師：剛才還有同學(xué)是這樣列表的，誰(shuí)能看懂？

生：他把雞和兔各看成4只，腳有24只，比26只少了2只腳，說(shuō)明雞被多看了1只，這樣就要從4只雞中拿出1只變成兔，那兔就是5只，雞就是3只。

師：誰(shuí)聽(tīng)懂了？

師：同學(xué)們真能干。原來(lái)用列舉的方法解決雞兔同籠問(wèn)題時(shí)，我們可以一一列舉，也可以取中列舉，還可以跳躍著列舉。

在這一教學(xué)過(guò)程中，從三種列舉法入手，讓學(xué)生深刻理解了列舉的實(shí)質(zhì)，為假設(shè)法的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

對(duì)策三：數(shù)與形呼應(yīng)，搭建形象與抽象的橋梁。

新課標(biāo)指出：要在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。而“假設(shè)法”的學(xué)習(xí)過(guò)程，是學(xué)生邏輯思維能力有效提升的過(guò)程?！俺橄蟆笔亲钃蠈W(xué)生掌握假設(shè)法的最大障礙。因此在教學(xué)中，我們要設(shè)計(jì)相應(yīng)的情景，讓學(xué)生理解“為什么要假設(shè)？”、“假設(shè)法是怎么來(lái)的？”、“怎么假設(shè)？”、“怎么理解推理過(guò)程？”，帶著這些目標(biāo)，筆者設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)：

【教學(xué)片斷2】

二、學(xué)習(xí)假設(shè)法

師：在上節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了三種列舉法，其中有同學(xué)是這樣列舉的：

[當(dāng)雞有8只兔有0只時(shí)，腳有16只，比26只少10只腳。因?yàn)?只兔看成雞要少2只腳，如果少10只腳，那就有5只兔看成了雞，就要從8只雞中拿出5只變成兔，這樣就有3只雞，5只兔，腳剛好26只。

現(xiàn)在你能用算式表示這樣的思路嗎？

（一）假設(shè)全是雞

2×8=16（只）

兔：（26－16）÷（4-2）=5（只）

雞：8－5=3（只）

生：我假設(shè)全是雞，有16只腳，比26只少10只腳，然后一只雞比一只兔少2只腳，共少了10只腳，一共少了5只兔子，那么雞的只數(shù)就是8－5=3只。

師：聽(tīng)懂他的解釋了嗎？誰(shuí)能再來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

師：也就是說(shuō)假設(shè)全是雞，出現(xiàn)了什么情況？

生：會(huì)少10只腳。

師：怎么就會(huì)少10只腳？

生：因?yàn)橛幸恍┩帽豢闯闪穗u。

生：因?yàn)橐恢煌每闯呻u要少2只腳。

師：是呀，每一只兔看成雞，就會(huì)少2只腳，就是少了1個(gè)2，10里面有5個(gè)2，少了5個(gè)2，所以兔子有5只。

T：我們可以結(jié)合圖來(lái)表達(dá)這個(gè)過(guò)程。

如果我們假設(shè)全是雞，就只有16只腳。

和26只腳相比，少了10只腳。因?yàn)槊堪岩恢煌每闯梢恢浑u就要少2只腳

現(xiàn)在我們就把少的10只腳補(bǔ)上去。一次補(bǔ)幾只腳？這樣我們一共需要補(bǔ)——，所以兔共有——（同一張幻燈片中依次出示5個(gè)2）。

（二）假設(shè)全是兔

4×8=32（只）

雞：（32－26）÷（4-2）=3（只）

兔：8－3=5（只）

師：能看懂嗎？

師：是這個(gè)意思嗎？

師：這樣就——

生：多了6只腳。

師：是因?yàn)椤?/p>

生：有些雞被看成了兔子。

師繼續(xù)出示相應(yīng)的幻燈片，讓學(xué)生在腦海中進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。

（三）比較深化，理解本質(zhì)

師：同樣是假設(shè)，為什么一個(gè)先求出的是雞，另一個(gè)先求出的卻是兔呢？

生：假設(shè)全是兔，雞的腳被多看，所以先求出的是雞；假設(shè)全是雞，兔的腳被少看，那么先求出來(lái)的就是兔。

在次教學(xué)中，以列表法作為起點(diǎn)，再用“數(shù)形”結(jié)合的方式輔助理解，突破了假設(shè)法“抽象”的難點(diǎn)，讓學(xué)生深刻理解了假設(shè)法的實(shí)質(zhì)。

對(duì)策四：學(xué)以致用，在應(yīng)用中建立并深化模型。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：要從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。是指我們要幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，從“一個(gè)”推廣到“一類(lèi)”，再?gòu)摹耙活?lèi)”中提取模型，總結(jié)規(guī)律和方法，最后應(yīng)用到實(shí)際。因此在掌握了方法后我們還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，深化模型。

【教學(xué)片斷3】

三、建立模型，運(yùn)用深化

（一）建立模型

課件出示題：有若干只龜鶴頭共8個(gè)，腿共26只。龜鶴各多少只？

師：接下來(lái)請(qǐng)你們獨(dú)立解決，并想想和剛才的問(wèn)題有什么共同點(diǎn)。

生獨(dú)立解決再反饋。

生：其實(shí)他們是一樣的，龜和兔都有4只腳，鶴和雞都有2只腳，動(dòng)物不同，方法相同。

師：是啊，這里的雞不僅僅是雞，兔也不只是兔，像這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上叫雞兔同籠問(wèn)題。那么在我們的生活中，也有很多這樣的問(wèn)題。

（二）鞏固提升

課件出示：一星題：1.張老師買(mǎi)來(lái)8盒月餅，共有42只，其中甲、乙兩種包裝，如下圖所示。你知道甲、乙兩種包裝各買(mǎi)了幾盒嗎？

二星題：學(xué)校舉行腦筋急轉(zhuǎn)彎競(jìng)賽，決賽中每位選手應(yīng)回答25道題，若答對(duì)1題得4分，若答錯(cuò)或不答1題倒扣1分。明明得了70分，他答錯(cuò)或不答共有幾題？

本環(huán)節(jié)先讓學(xué)生進(jìn)行“龜鶴問(wèn)題”與“雞兔同籠問(wèn)題”一一對(duì)應(yīng)，理解兩類(lèi)問(wèn)題的共同特點(diǎn)，建立模型；再拓展到生活中，辨別雞兔同籠問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，深化模型。

以上是筆者在一次次磨課實(shí)踐中產(chǎn)生的一些粗淺的體會(huì)與感悟，如何讓學(xué)生能更好地理解雞兔同籠問(wèn)題，建立雞兔同籠問(wèn)題的模型并靈活運(yùn)用，還需要我們不斷的研讀教材與教學(xué)實(shí)踐。

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）[M].北京師范大學(xué)出版社，2011

[2]義務(wù)教育教科書(shū).教師教學(xué)用書(shū)[M].人民教育出版社，2014

[3]楊忠.關(guān)于“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)思考[J].教育實(shí)踐與研究，2013

[4]潘粉娥.“雞兔同籠問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].課程教材教學(xué)研究，2013

[5]邵麗芳.用列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐與反思[J].教學(xué)月刊小學(xué)版，2011.12