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        例談構造函數(shù)在導數(shù)解題中的應用

        2022-05-19 10:04:22江蘇省宿豫中學羅偉
        關鍵詞:奇函數(shù)換元單調(diào)

        ■江蘇省宿豫中學 羅偉

        導數(shù)是高考命題的熱點和難點之一,可以利用導數(shù)來證明不等式、求參數(shù)的取值范圍、探究函數(shù)的零點等問題,命制的題目具有結果獨特、綜合性強等特點,而構造函數(shù)是解決導數(shù)問題的基本方法,如何合理地構造函數(shù)是解題的關鍵,下面舉例談談構造函數(shù)的一些常用方法。

        題型一、構造可導的積的形式函數(shù)

        例1已知函數(shù)y=f(x)的圖像關于y軸對稱,且當x∈(-∞,0)時,f(x)+xf'(x)<0 成立,a=20.2·f(20.2),b=logπ3·f(logπ3),c=log39·f(log39),則a,b,c的大小關系為()。

        A.a>b>cB.a>c>b

        C.c>b>aD.b>a>c

        解析:因為函數(shù)y=f(x)關于y軸對稱,所以函數(shù)y=xf(x)為奇函數(shù)。因為[xf(x)]'=f(x)+xf'(x),所以當x∈(-∞,0)時,[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞減;當x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞增。因為1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2,所以0<logπ3<20.2<log39,所以b>a>c。故選D。

        點評:如果題設條件滿足結構f'(x)g(x)+f(x)g'(x),可以構造函數(shù)h(x)=f(x)g(x)。例如:(1)對于f'(x)+f(x)>0(<0),可構造函數(shù)h(x)=ex·f(x);(2)對于xf'(x)+f(x)>0(<0),可構造函數(shù)h(x)=x·f(x);(3)對于xf'(x)+nf(x)>0(<0),可構造函數(shù)h(x)=xn·f(x)等。

        題型二、構造可導的商的形式函數(shù)

        例2已知定義在R 上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),若對于任意實數(shù)x,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1為奇函數(shù),則不等式f(x)<ex的解集為()。

        A.(-∞,0)B.(0,+∞)

        C.(-∞,e4)D.(e4,+∞)

        解析:因為y=f(x)-1為奇函數(shù),且定義域為R,所以f(0)-1=0,得f(0)=1。設h(x)=,則h'(x)=,因為f(x)>f'(x),所以h'(x)<0,所以h(x)是R 上的減函數(shù),所以不等式f(x)<ex等價于,所以x>0。故選B。

        題型三、對局部進行構造函數(shù)

        例3已知函數(shù)f(x)=,若x0<1,設直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線,求證:f(x)≤g(x)。

        證明:函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線方程為y=g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。

        令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)+f(x0),x∈R,則h'(x)=f'(x)-f'(x0)=。

        設φ(x)=-(1-x0)ex,x∈R,則φ'(x)=-(1-x0)ex。

        因為x0<1,所以φ'(x)<0,所以φ(x)在R 上單調(diào)遞減。

        因為φ(x0)=0,所以當x<x0時,φ(x)>0,h'(x)>0;當x>x0時,φ(x)<0,h'(x)<0。

        所以h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù),故x∈R時,h(x)≤h(x0)=0,故f(x)≤g(x)。

        點評:對于一類不等式的證明或求參數(shù)問題,若直接構造函數(shù)無法解決,則我們可以將問題轉(zhuǎn)化為構造函數(shù)h(x)=f(x)·g(x)或,其中f(x)與g(x)某一個函數(shù)可明顯判斷出與零的大小關系,則另外一個函數(shù)即為構造對象,可以簡化解題過程,順利解決問題。

        題型四、先放縮再構造函數(shù)

        例4設函數(shù)f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=在點(0,0)處相切。

        (1)求a,b的值;

        (2)求證:當0<x<2時,f(x)<。

        解析:(1)a=0,b=-1。(過程略)

        (2)當x>0 時,由均值不等式得<x+2,故+1。

        所以f(x)=ln(x+1)+-1<ln(x+1)+。

        當0<x<2時,h'(x)<0,所以h(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)。

        點評:若待求的函數(shù)式較為復雜時,可利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、已成立的不等式等將函數(shù)式的一部分進行放縮,然后再構造函數(shù),這樣可以獲得事半功倍的效果。例如:要證f(x)<g(x)?f(x)<h(x)(新構造的函數(shù))<g(x);或f(x)>g(x)?f(x)>h(x)(新構造的函數(shù))>g(x)。

        題型五、變形后再構造函數(shù)

        例5已知函數(shù)f(x)=kx,g(x)=,若不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍。

        解析:f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,即kx2-lnx≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,令h(x)=kx2-lnx(x>0),則h'(x)=。

        (1)若k≤0,顯然h(x)≥0不恒成立。

        點評:對于一類指數(shù)式的不等式,可以先對不等式兩邊取對數(shù),進行等價轉(zhuǎn)化,使函數(shù)式得以化簡,再構造函數(shù);或者對主元的結構形式進行換元,將分式化為整式進行換元,這樣可以簡化構造的函數(shù)。例如:本題如果直接構造函數(shù)h(x)=kx-,極值點不能具體求出,需要整體代換,過程相對復雜,沒有上述方法簡潔易行。

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