張超彥，秋　艷，佟樂樂

（1.徐州工業(yè)職業(yè)技術學院，江蘇徐州221100；2.中北大學材料學院，山西太原030051）

·企業(yè)管理·

Fe-C等溫凝固中的枝晶生長的溶質俘獲相場法模擬

張超彥1，秋艷1，佟樂樂2

（1.徐州工業(yè)職業(yè)技術學院，江蘇徐州221100；2.中北大學材料學院，山西太原030051）

采用模擬相場法模擬了C的質量分數(shù)為1%的鐵碳合金等溫凝固過程中枝晶生長和溶質分布及溶質俘獲對其的影響，研究枝晶尖端半徑大小和生長速度之間的關系。結果表明，初始枝晶的溶質濃度最低，二次枝晶之間的區(qū)域溶質濃度最高。枝晶生長包括生長和成熟階段，枝晶的尖端半徑大小與生長速度成反比。受溶質俘獲的影響，枝晶上的溶質濃度有波動。

相場法；枝晶生長；溶質俘獲

Fe-C合金是廣泛使用的工程材料，其在高溫下的微觀組織對力學性能有很強的影響，目前在高溫下直接觀察凝固過程比較困難[1]。隨著計算機科學和凝固理論的發(fā)展，通過計算機的計算來模擬凝固過程已成為一種有效的材料模擬方法。

相場法模擬基于Ginzburg-Landau理論，通常被用來模擬枝晶生長[2]。相場法是解決復雜凝固過程的一種有效方式，目前已得到廣泛的應用[3]。Kim在KKS模型下模擬了Fe-C合金在等溫條件下的枝晶生長[4]。Wanli Qiu[5]、Yan’eNiu用相場模型研究過冷度、各向異性、界面寬度和方向的選擇對Fe-C合金的凝固過程的影響[6]。YuXie通過Karma相場模型研究了Fe-C合金的定向凝固[7]。

在本次研究中，采用由Ohno和Matsuura開發(fā)的相場模型進行模擬[8]，該模型是基于Karma的固相/液相薄界面的相場模型[9-10]，引入溶質俘獲，使其能較好地模擬枝晶生長過程和溶質濃度分布。本文模擬了C的質量分數(shù)為1%的Fe-C合金在等溫凝固過程中的枝晶生長和溶質濃度。

1　計算模型與參數(shù)

1.1相場模型

相場法引入一個連續(xù)變量φ作為標識相[2]，本次模擬中，變量φ在固相中定義為+1，液相中定義為-1，中間值為固液兩相界面[11]。

1.1.1相場控制方程

1.1.2濃度控制方程

溶質俘獲參數(shù)：

濃度控制方程：

1.2材料參數(shù)

本文中，采用的C的質量分數(shù)為1%的Fe-C合金參數(shù)見表1.

表1　C的質量分數(shù)為1%的Fe-C合金參數(shù)

2　數(shù)值計算

2.1初始條件和邊界條件

定義初始的原子核半徑等于ro，以下列條件來確定初始條件和邊界條件：

式中：x、y為橫坐標值和縱坐標值；C為初始溫度。

由于枝晶等軸晶粒為對稱結構，選擇1/4枝晶進行計算，網(wǎng)格數(shù)取96×96.

2.2數(shù)值計算方法

采用有限元法求解方程（1）和（3），并使用三維自適應網(wǎng)格細化算法對網(wǎng)格進行網(wǎng)格劃分[16]。本次模擬時間步長為Δt=5×10-8s，每計算20步，對網(wǎng)格進行一次精煉以減少計算時間。

3　結果與分析

3.1枝晶生長過程

在模擬中，選定與枝晶生長相關參數(shù)：無量綱過冷度為0.5，各向異性（ε=0.02），過飽和度（Ω=0.45），歐拉角為45°.枝晶形態(tài)和溶質分布如圖1和圖2所示。

圖1　不同時間枝晶生長形貌

圖1a）~f）為不同時間的1/4枝晶的形貌圖。在凝固開始階段，晶核在下角處產生，凝固區(qū)呈近似圓形并逐漸擴大。隨著時間推移，一次枝晶沿X/Y軸成為明顯的塊狀，溶質出現(xiàn)分布不均現(xiàn)象。如圖1d）所示，在7 000 ΔT時，二次枝晶在不同的方向產生，圖1和圖2中的二次枝晶形貌和實驗中觀察到一致[17]。模擬中選擇沿坐標軸45°方向為擇優(yōu)取向，二次枝晶沿擇優(yōu)取向的生長速度比其他方向要快，這是由于界面能的各向異性所確定的擇優(yōu)取向的結果。圖1和圖2中時間到10 000 ΔT時，二次枝晶變得不明顯，甚至近乎消失，這種現(xiàn)象表明擇優(yōu)取向及生長在不同方向的二次枝晶在生長過程中有重熔產生，產生這種現(xiàn)象的原因如下。

在二次枝晶生長的開始階段，由于固液界面的過冷度幾乎完全相同，此時二次枝晶在不同方向上的生長速度一致。

隨著二次枝晶的生長，導致溶質再分配，溶質在枝晶臂間富集。由于競爭生長的加劇，枝晶沿擇優(yōu)取向生長，向溶液中排出了更多的溶質。高溶質導致溶化溫度降低，因此背離擇優(yōu)取向的枝晶發(fā)生重熔，擇優(yōu)取向方向上的枝晶繼續(xù)生長。

圖2a）~e）是隨著時間的不同濃度的分布?？梢园l(fā)現(xiàn)濃度分布和枝晶形貌保持一致，一次枝晶的溶質濃度最低約為0.35%，而固液界面附近的溶質濃度達到1.05%.這是由于枝晶生長過程中，固液界面發(fā)生了溶質再分配，溶質在枝晶表面處富集[18]。

當固液界面的推進速度比溶質在液相中的擴散速度大時，溶質在固液界面偏離穩(wěn)定狀態(tài)，溶質濃度富集，這現(xiàn)象稱為“溶質俘獲”[19]。在此模擬中，引入溶質的流動，發(fā)現(xiàn)濃度在枝晶上的分布規(guī)律。SuZhao[20]在研究中指出溶質俘獲現(xiàn)象隨著枝晶的增長速度增大而更加明顯。由圖2d）~f）可知，枝晶尖端后方的中心軸附近出現(xiàn)一塊低溶質濃度區(qū)域，這是由于溶質俘獲使枝晶尖端的溶質濃度比中心軸附近的溶質濃度高而引起的。

3.2尖端半徑與生長速度

圖3為尖端半徑與生長速度曲線，在枝晶生長開始階段，生長速度較高，這是由于開始階段過冷度較大，對枝晶生長的驅動力較大引起。枝晶的生長過程中，溶質再分配導致固液界面溶質濃度增加。液相線斜率為負，溶質濃度的增加會減小尖端生長速度。最后，尖端生長速度保持恒定，界面變?yōu)橐粋€相對穩(wěn)定的狀態(tài)。

圖2　不同時間的溶質濃度分布

圖3　尖端半徑與生長速度曲線

3.3溶質分布分析

3.3.1直線上溶質分布

選擇在x=30，9 000 ΔT溶質分布進行分析。由圖4和圖5可知由于溶質俘獲導致枝晶中心溶質濃度最低，樹突處溶質濃度也不相同。圖4中，枝晶的溶質濃度在0.7%~0.9%的范圍內，說明“溶質俘獲”對溶質分布的影響是有限的。濃度在Y=20~30之間的突變是由于固液兩相界面溶質俘獲現(xiàn)象引起。在遠離固液界面處的位置，溶質濃度降低并穩(wěn)定為初始濃度。本模擬結果與Yan’eNiu的研究結果一致[19]，計算結果可信。

3.3.2同一位置不同時間的濃度分析

圖6為完整的枝晶生長過程位置點（30，30）的溶質濃度曲線，在6 000Δt之前，點（30，30）的溶質濃度液相初始濃度1.0%，表明之前該點位置在液相中并且距離固液界面較遠。在7500 Δt到8000 Δt之間，濃度增大到最大值，此時該點處于固液兩相界面，由溶質再分配引起。在8000Δt后，溶質濃度下降，此時該點處于枝晶間，由于溶質對液相的排斥引起。在11000Δt左右，該點的溶質濃度下降到約0.6%，達到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4　x=30溶質分布曲線

圖5　9000Δt時溶質分布

圖6　點（30，30）溶質濃度曲線

4　結論

本文通過相場法模擬了Fe-1.0%C等溫凝固下枝晶的長大過程，分析了二次枝晶的重熔粗化和枝晶溶質濃度分布等，得到如下結論：

1）模擬了Fe-wt.%C枝晶生長過程中，得到的枝晶形貌，觀察了二次枝晶重熔粗化過程；

2）引入溶質俘獲研究溶質的分布，得出枝晶中央溶質濃度最低、二次枝晶間產生溶質富集，由于溶質俘獲的影響枝晶中的溶質濃度是不均勻的，但溶質俘獲對溶質濃度的影響是有限的；

3）枝晶生長過程中，尖端的生長速度由最大值減小，最后進入一個穩(wěn)定的狀態(tài)，尖端半徑與尖端生長速度有相反的變化。

［1］牛艷娥，嚴文，馮小明，等.Fe-C合金等溫凝固過程的相場法模擬［J］.鑄造技術，2008，29（2）：244-249.

［2］王明光.NiCu合金枝晶生長三維相場法模擬及關鍵技術研究［D］.太原：中北大學，2011.

［3］Kim S G，Kim W T，Suzuki T.Phase field model for binary alloys［J］.Phys RevE，1999，60（6）：7186-7197.

［4］邱萬里，蔡啟舟，龍文元.用相場法模擬Fe-0.5mol%C合金枝晶生長的相關參數(shù)優(yōu)化［J］.現(xiàn)代鑄鐵，2005，25（4）：27-29.

［5］牛艷娥，嚴文，馮小明，等.Fe-C合金等溫凝固過程枝晶形貌的相場法模擬［J］.熱加工工藝，2008，37（5）：4-8.

［6］Xie Yu，Dong Hongbiao，Jonathan Dantzig.Growth of Secondary Dendrite Arms of Fe-C Alloy during Transient directional solidification by Phase field Method［J］.ISIJ International，2014（54）：430-436.

［7］Huang WD，Geng XG，Zhou YH.Primary spacing selection of constrained dendritic growth［J］.Journal of Crystal Growth，1993（134）：105-115.

［8］Amoorezaei M，gurevich S，Provatas N.Spacing characterization in Al-Cu alloys directionally solidified under transient growth conditions［J］.Acta Materialia，2010（18）：6115-6124.

［9］Liu S，Lu SZ，Hellawell A.Dendritic array growth in the systems NH4Cl-H2O and［CH2CN］2H2O：the detachment of dendrite side arms included by deceleration［J］.Journal of Crystal Growth，2002（4）：740-750.

［10］Xie Y，Dong HB，Dantzig JA.Using the interface Peclet number to select the maximum simulation interface width in phase-field solidification modeling［J］.Computational Material Science，2013（70）：71-76.

［11］Phelan D，Reid M，Dippenaar R.Kinetics of the peritectic phase transformation in-situ measurements and phase field modeling. Metall［J］.Mater.Traps.A，2006（37）：985-987.

［12］Arnberg L，Mathiesen RH.X-ray monitoring of solidification phenomena in al-cu alloy［J］.Materials Science Forun，2006（508）：69-74.

［13］XieY.Development，application of phase field models to study the solidification of steels in a weld pool［D］.U.K.，University of Leicester，2012.

［14］Jun-Ho Jeong，Nigel Goldfield，Jonathan A.Dantzig.Phase field model for three-dimensional dendritic growth with fluid flow［J］.Physical Review E，2001，64（4）：1-13.

［15］Zhou Yaohe.Effect of solute trapping on the growth process in undercooled eutectic melts［J］.Acta Metallurgica Sinica，2008，44（11）：1335-1339.

［16］牛艷娥，韓小峰，李明.Fe-C合金等溫凝固過程枝晶生長的相場法模擬［J］.熱加工工藝，2010，39（7）：34-38.

Simulation of Dendrite Growth of Fe-1.0wt.%C in Isothermal Solidification with Solute Trapping by Phase Field Method

ZHANG Chao-yan1，QIU Yan1，TONG Le-le2
（1.Xuzhou College of Industrial Technology，Xuzhou，Jiangsu 221100，China；2.College of Materials Science and Engineering，North University of China，Taiyuan Shanxi 030051，China）

The simulation used the Phase Field Method to calculate the dendrite growth of Fe-C in isothermal solidification，studied the relationship between tip radius and tip velocity，simulated the solute distribution and the effect on the distribution of solute trapping.The result suggests that the primary stalk has the lowest concentration，and the regions between the secondary arms are the highest.The dendrite growth include growing and ripening stages.The tip radius and velocity are in inverse proportion.Because of the solute trapping，the concentration in the dendrites has a fluctuation.

Phase Field Method，dendrite growth，solute trapping

TG244

A

1674-6694（2016）05-0047-04

10.16666/j.cnki.issn1004-6178.2016.05.015

2016-05-18

張超彥（1981-），男，河南鄧州人，講師，碩士，研究方向：金屬材料學。