李旭東 李 娟

(山西省晉中師范高等?？茖W(xué)校 山西 晉中 030600)

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用淺議

李旭東 李 娟

(山西省晉中師范高等?？茖W(xué)校 山西 晉中 030600)

數(shù)學(xué)是空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合也是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，從數(shù)的概念的形成和發(fā)展，到微積分的產(chǎn)生及現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支學(xué)科的形成，都是與數(shù)形的完美結(jié)合分不來的?！皵?shù)”與“形”也是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)分析教材的兩條主線，把握好數(shù)形結(jié)合的思想方法對(duì)于教師教學(xué)有重要意義，也有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析。

數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)分析;數(shù)學(xué)思想;教學(xué)方法

數(shù)形結(jié)合的定義：數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)方法，它是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換。許多數(shù)量關(guān)系方面的抽象概念和解析式，若賦之以幾何意義，往往變得非常直觀形象，并使一些關(guān)系明朗化、簡單化；而一些圖形的性質(zhì)又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰到表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系，既可以使幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助形，用代數(shù)方法使問題得到解決。這種將數(shù)與形融為一體的方法，叫做數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)方法。

所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是在研究問題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合起來考慮。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象大致可以分成兩類：一類是研究數(shù)量關(guān)系的：一類是研究空間形式的。整個(gè)數(shù)學(xué)，不論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)，都是以數(shù)和形作為研究對(duì)象的。數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念，全部數(shù)學(xué)大體上就是圍繞這兩個(gè)概念的提煉、演變、深化、發(fā)展而逐步展開的。在數(shù)學(xué)的原始時(shí)期，人們?cè)谟?jì)算長度、面積和體積時(shí)，就已經(jīng)將數(shù)和形聯(lián)系起來了。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的思想，始終貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與探究中。美國圖論學(xué)者哈里有一句名言：“千言萬語不及一張圖”。結(jié)合圖形，形象、直觀地向?qū)W生展示定義、定理等，會(huì)有意想不到的收獲。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出：“數(shù)缺少形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@句話說明了“數(shù)”和“形”是精密聯(lián)系的。我們?cè)谘芯俊皵?shù)”的時(shí)候，往往要借助于“形”，在探討“形”的時(shí)候，又往往離不開“數(shù)”。這就要求在研究數(shù)學(xué)問題的時(shí)把數(shù)形知識(shí)結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的方面進(jìn)行抽象思維；從形的方面進(jìn)行逆向思維。數(shù)形結(jié)合思想方法貫穿數(shù)學(xué)分析的全部內(nèi)容.例如, 由形到數(shù), 從幾何性質(zhì)出發(fā), 建立直線與平面的方程;從柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的形狀或曲面的形成規(guī)律出發(fā)建立其代數(shù)方程.由數(shù)到形, 從平面、直線方程出發(fā), 探求點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系;從橢球面、雙曲面、拋物面的方程出發(fā), 探求其所代表的幾何圖形的形狀和性質(zhì);從二次曲線的方程出發(fā), 探究其所代表的線的形狀, 包括漸進(jìn)方向、中心(頂點(diǎn))、主直徑, 不僅從直觀上了解線的大致形狀, 而且為進(jìn)一步化簡作了準(zhǔn)備.“數(shù)形結(jié)合”溝通了代數(shù)與幾何最基本對(duì)象之間的聯(lián)系, 使幾何的概念得以用代數(shù)方式表示, 幾何目標(biāo)得以用代數(shù)方法達(dá)到.反之, 代數(shù)語言可得到幾何解釋而變得直觀、易懂?？梢哉f, 數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要思想方法，掌握好數(shù)形結(jié)合的思想方法對(duì)大學(xué)教學(xué)的展開、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有重要意義。

通過不同的途徑途徑培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，(一)重學(xué)生數(shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，數(shù)學(xué)直覺思維常?？梢酝ㄟ^跳躍性的想象和迅速敏銳的識(shí)別判斷，而直接達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，因而富于創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)美集中表現(xiàn)在數(shù)學(xué)本身的簡單性、對(duì)稱性、相似性、和諧性和奇異性等。數(shù)學(xué)的美體蘊(yùn)含在數(shù)與形的相互結(jié)合中。對(duì)數(shù)學(xué)美感因素的審視與挖掘是直覺思維的重要源泉。在教學(xué)中，應(yīng)經(jīng)常讓學(xué)生從精煉準(zhǔn)確、簡明深刻、富有說服力和美感性的數(shù)學(xué)語言中，從工整規(guī)范的圖形與和諧有序的式子中感受和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美,使學(xué)生在數(shù)學(xué)美愉悅中，深化理解知識(shí)。(二)要培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地用數(shù)學(xué)美的思想方法指導(dǎo)解題：追求簡潔美，探索解題捷徑；構(gòu)造對(duì)稱美，簡化解題過程；運(yùn)用相似美，總結(jié)解題規(guī)律；利用和諧美，啟迪解題思路；發(fā)現(xiàn)奇異美，突破解題常規(guī)；應(yīng)用普遍美，拓廣解題結(jié)論。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力，能夠有效地發(fā)展學(xué)生的直覺思維，從而較快地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。(三)通過具體而經(jīng)典的事例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，首先，教師在教學(xué)過程中要注重引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)本身所蘊(yùn)涵的數(shù)形美感。比如，教學(xué)中可以列舉一些有關(guān)數(shù)學(xué)美的經(jīng)典事例，如黃金分割、勾股定理、還有混沌等，讓學(xué)生感知“數(shù)”與“形”結(jié)合的客觀美感，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其次，重視“數(shù)形結(jié)合”基礎(chǔ)階段的引導(dǎo)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自始至終都貫穿著數(shù)形結(jié)合的思想。比如初大一結(jié)合“數(shù)軸”所學(xué)的區(qū)間和鄰域等，就是“數(shù)形結(jié)合”思想的初步滲透，在數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)過程中起到重要的奠基作用。通過具體的例子，讓學(xué)生領(lǐng)略“數(shù)”與“形”的和諧統(tǒng)一，并在不知不覺中逐漸形成了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)。

因此，認(rèn)真研究國外教材特點(diǎn)，可以在我國的教材上做一些改進(jìn)。應(yīng)認(rèn)真研究并充分吸收現(xiàn)代科技成果和現(xiàn)代科技方法教材建設(shè)，加強(qiáng)教材的時(shí)代性,使教材具有一定的先進(jìn)性。同時(shí)，要注意國外教材取材的豐富性和鮮明特色、學(xué)習(xí)外國教材整合數(shù)學(xué)知識(shí)的成功經(jīng)驗(yàn),這是我國數(shù)學(xué)專業(yè)的課程體系做比較深刻的改革的重要借鑒。

[1] 唐文利 多媒體教學(xué)的誤區(qū)及解決措施 中國教育技術(shù)設(shè)備 2012年7月上 第19期

[2] 王霞、夏國坤 高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法的范例教學(xué) 大學(xué)數(shù)學(xué) 第26卷第6期

[3] 王豐霞 構(gòu)造數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)創(chuàng)新思維 勝利油田師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)

[4] 張艷梅(邳州市新橋中學(xué)，江蘇徐州)通過不同途徑培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想 基礎(chǔ)教育 2013.12

[5] 顧亞萍(南京師范大學(xué))數(shù)形結(jié)合思想方法之教學(xué)研究

[6] 薛有才、張少林 中美數(shù)學(xué)分析教材比較分析與思考 高等理科教育

李旭東(1981.09—)，男，漢族，山西晉中人，碩士，晉中師范高等專科學(xué)校，講師。李娟(1982.09—)，女，漢族，山西榆次人，晉中師范高等專科學(xué)校，助教，山西師范大學(xué)碩士研究生。

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