高學輝， 任雪梅， 鄭鋒， 王巧芝

(1.北京理工大學 自動化學院，北京 100081；2.山東科技大學 機電工程系，山東，泰安 271019)

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一種遲滯Hammerstein系統(tǒng)的規(guī)定性能自適應控制

高學輝1，2， 任雪梅1， 鄭鋒2， 王巧芝2

(1.北京理工大學 自動化學院，北京 100081；2.山東科技大學 機電工程系，山東，泰安 271019)

為提高基于PI模型的遲滯Hammerstein系統(tǒng)自適應控制的控制精度，提出了一種新的規(guī)定性能函數. 根據規(guī)定性能函數將誤差轉化為收斂在預設鄰域內的轉換誤差，設計規(guī)定性能自適應控制器并給出自適應率，選取合適Lyapunov函數保證所提出控制策略的收斂與穩(wěn)定. 理論分析和仿真結果表明，本文所提出的規(guī)定性能函數在有效抑制遲滯影響的同時實現高精度控制.

規(guī)定性能；遲滯；自適應控制；Hammerstein系統(tǒng)

Hammerstein系統(tǒng)模型是描述非線性系統(tǒng)的常用模型，它由靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)和動態(tài)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，如圖1. 在實際應用中，Hammestein模型的靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)存在兩種情況：結構未知和結構已知. 對于結構已知情況，典型的非線性結構有死區(qū)非線性、飽和非線性、遲滯非線性和間隙非線性等. 遲滯非線性現象廣泛存在于智能材料、電磁系統(tǒng)、高精度伺服電機系統(tǒng)和微機電(MEMS)系統(tǒng)中，例如壓電陶瓷、形狀記憶合金、磁滯伸縮材料等都具有典型的遲滯特性. 隨著對系統(tǒng)控制精度要求越來越高，其遲滯非線性的影響就變得越來越難以回避，對遲滯的研究也越來越重要.

圖1 Hammerstein系統(tǒng)模型結構
Fig. 1 Structure of Hammerstein system

描述遲滯現象的模型可以粗略的分為兩類：唯象模型和物理模型. 主要的唯象模型有Preisach模型[1]、KP模型[2]和Prandtl-Ishlinskii (PI)模型[3]；物理模型主要有Jiles-Atherthon模型[4]、Bouc-Wen模型[5]等.

PI模型是描述遲滯現象的最重要的唯象模型之一. 許多學者對其進行了深入研究，提出了不同控制策略，從總體看，可以分為逆補償控制策略和無逆補償自適應控制策略. Liu等[3]針對逆PI遲滯模型，提出了一種魯棒自適應控制策略并給出了嚴格證明；Mohammad等[6]研究了壓電陶瓷執(zhí)行器的頻率無關PI模型逆補償控制，提出了一種前饋補償控制策略采用頻率無關逆PI遲滯模型控制壓電陶瓷執(zhí)行器；而Tan等[7]則提出了一種擴展的PI算子描述壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯現象以克服病態(tài)條件下的遲滯控制問題.

不同于以上逆模型前饋補償控制，Su等[8]采用一種針對PI模型的自適應控制策略處理遲滯非線性問題，而杜娟等[9]用擴展PI模型自適應控制解決形狀記憶合金驅動的微納定位系統(tǒng). 但是針對精度如何控制問題，以上文獻均未討論.

本文研究一類Hammerstein系統(tǒng)，其遲滯非線性環(huán)節(jié)采用擴展PI模型描述. 與上述研究不同，本文提出了一種新的預先設定的規(guī)定性能函數(PPF)，通過該PPF函數將誤差轉化為在預設收斂區(qū)間的轉換誤差，在此基礎上設計無需逆模型的自適應控制器，并選取合適Lyapunov函數，保證所提出的控制策略正確有效.

1 系統(tǒng)描述

考慮如下Hammerstein系統(tǒng)，

(1)

式中：x為狀態(tài)空間變量；y為系統(tǒng)輸出；u為系統(tǒng)輸入；v為非線性遲滯環(huán)節(jié)輸出，同時是線性環(huán)節(jié)輸入；A，B，C分別為線性環(huán)節(jié)狀態(tài)空間系數矩陣；v(t)=f(u(t))為遲滯非線性環(huán)節(jié)，本文用PI模型表示，描述如下[3]：PI模型是由Play算子或者Stop算子加權疊加而成. 每個Play或Stop算子由閾值r確定.

(2)

式中：gmr(u，ωm)=max{u-r，min{u+r，ωm}}，ti≤t≤ti+1，0≤i

根據式(2)Play算子的定義，PI模型可定義為

(3)

控制器的設計目標是設計相應控制器u(t)使式(1)中信號x(t)能夠跟蹤參考信號xm(t)，且跟蹤誤差收斂于規(guī)定性能函數. 參考信號xm(t)定義為

(4)

式中：m(t)為期望輸入；Am∈n×n且漸進穩(wěn)定并滿足：

det(sI-Am)=Rm(s)=(s+k)R(s)，

式中：k>0，R(s)為Hurwitz多項式.

2 控制器設計

2.1 誤差轉換

根據文獻[8，10]，為了設計自適應控制器，做如下合理假設.

(5)

式中(A，B)可控.

定義參考模型及系統(tǒng)之間的誤差為

(6)

根據式(1)(4)(5)可得

(7)

為了簡化控制器的設計，將式(6)由矢量形式簡化為標量形式.

根據文獻[10]，如下引理成立.

(8)

式中：k>0；R(s)為Hurwitz多項式，則

① 存在h，使得

(9)

② 令X=hTx，若X∈L∞，則x∈L∞；

根據引理1中式(9)，存在h，使得

(10)

則可將矢量誤差轉化為標量誤差

(11)

且

(12)

2.2 規(guī)定性能函數

為使誤差es(t)收斂于規(guī)定范圍內，定義一個正下降光滑函數ρ(t):+→+且為

(13)

式中：β為期望誤差范圍下降速度參數；ρ∞為期望的穩(wěn)定誤差；ρ0>ρ∞，β>0.

根據文獻[11]，規(guī)定誤差范圍為

(14)

為了更好地設計自適應控制器使其誤差收斂于性能函數，引入如下誤差轉換，將標量誤差es(t)轉換為

(15)

根據式(15)可知，S(z)為嚴格單增函數. 根據式(13)，存在ρ(t)>ρ∞>0且下式成立

(16)

為了能夠使誤差收斂于規(guī)定范圍，定義如下函數滿足式(15)

(17)

則可求得

(18)

式中：

γ(t)=-kρ(t)+βρ(t)-βρ∞.

2.3 控制器設計

針對所跟蹤的系統(tǒng)和定義的規(guī)定性能函數，控制器設計如下

(19)

為了方便設計控制器，定義變量

(20)

(21)

定理1 Hammestein系統(tǒng)(1)的非線性環(huán)節(jié)由式(3)確定，如果采用魯棒自適應控制(19)和自適應律(21)，則系統(tǒng)誤差收斂于規(guī)定性能函數(14).

證明 定義Lyapunov函數如下

(22)

則有

(23)

將自適應律(21)代入式(23)，得

(24)

所以Lyapunov函數非增，系統(tǒng)誤差收斂于規(guī)定性能函數. 證畢.

3 仿 真

考慮遲滯系統(tǒng)如下

(25)

式中：

對于遲滯非線性環(huán)節(jié)，采用式(3)PI模型，參數取值為：pm0=0.5，pm(r)=0.5e-0.001 5r2，r∈[0，100]. 對應參考模型為

參考輸入選擇m(t)=sin(0.2πt)，采用兩種方法對遲滯系統(tǒng)進行跟蹤控制，一種是本文提出的規(guī)定性能自適應控制，另一種是普通模型參考自適應控制. 控制結果分別如圖2和圖3所示.

圖2為規(guī)定性能自適應控制跟蹤軌跡及誤差圖，圖中可以看出控制輸出可以很好地跟蹤參考信號，并且跟蹤誤差收斂于規(guī)定誤差范圍內，其中絕對平均誤差為0.017 6. 而圖3為普通模型參考自適應控制，從圖中可得控制輸出也能較好地跟蹤參考信號，但是誤差無法收斂于規(guī)定范圍且存在殘差，其絕對平均誤差也僅僅達到0.078 3.

比較規(guī)定性能自適應控制和普通模型參考自適應控制可知，規(guī)定性能自適應控制結果明顯優(yōu)于普通模型參考自適應控制，驗證了本文所設計控制策略的正確性和有效性，在有效抑制遲滯影響的同時實現了高精度控制.

4 結 論

針對一類帶有遲滯的Hammerstein系統(tǒng)自適應控制進行研究，介紹了描述Hammerstein系統(tǒng)非線性遲滯的擴展PI模型，針對Hammerstein系統(tǒng)模型將矢量誤差轉換為標量誤差. 為了提高控制精度，提出了一種新的規(guī)定性能函數，該函數可以很好地描述誤差收斂范圍并且保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 在規(guī)定性能函數下，本文設計了自適應控制器并給出了相應控制率，通過Lyapunov函數保證所設計控制器的收斂和穩(wěn)定. 最后通過仿真驗證了該方法的正確性和有效性.

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(責任編輯：李兵)

Prescribed Performance Adaptive Control for Hysteresis Hammerstein System

GAO Xue-hui1，2， REN Xue-mei1， ZHENG Feng2， WANG Qiao-zhi2

(1.School of Automation， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China; 2.Department of Mechanical and Electrical Engineering， Shandong University of Science and Technology， Tai’an， Shandong 271019，China)

In order to improve the control performance， a new prescribed performance function (PPF) was proposed for Hammerstein system where the hysteresis nonlinearity was described by Prandtl-Ishlinskii (PI) model. Based on the PPF， the tracking error can be transformed into transformed error to converge a prescribed neighborhood. Moreover， a prescribed performance adaptive controller was designed and the control law was derived. Next， an appropriate Lyapunov function candidate guarantees the stability of the Hammerstein system. Finally， theory analysis and simulation results demonstrate that the proposed PPF not only restrains the hysteresis effectively， but also achieves the high precision control.

prescribed performance; hysteresis; adaptive control; Hammerstein system

2014-11-21

國家自然科學基金資助項目(61273150，61321002，61433003)；國家教育部高等學校博士學科點專項科研基金資助課題(20121101110029)

高學輝(1975—)，男，講師，博士生，E-mail:xhgao@163.com.

任雪梅(1967—)，女，教授，博士生導師，E-mail:xmren@bit.edu.cn.

O 231

A

1001-0645(2016)04-0412-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.04.014