伍 新, 徐慧東, 文桂林, 魏克湘

(1.湖南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 湘潭 411104； 2.湖南大學(xué) 特種裝備先進(jìn)設(shè)計(jì)與仿真教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082；3.太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院，太原 030024)

?

三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射叉式分岔的反控制

伍 新1,2, 徐慧東3, 文桂林2, 魏克湘1

(1.湖南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 湘潭 411104； 2.湖南大學(xué) 特種裝備先進(jìn)設(shè)計(jì)與仿真教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082；3.太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院，太原 030024)

考慮到碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincaré映射的隱式特點(diǎn)，在不改變?cè)鲎蚕到y(tǒng)平衡解結(jié)構(gòu)的前提下，采用線性反饋控制方法研究了一類三自由度含間隙雙面碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射的叉式分岔的反控制問(wèn)題。首先，建立閉環(huán)控制系統(tǒng)的六維Poincaré映射，針對(duì)由特征值特性描述的傳統(tǒng)叉式分岔臨界準(zhǔn)則在六維的高維映射中只能通過(guò)數(shù)值試算來(lái)確定控制增益的困難，利用不直接依賴于特征值計(jì)算的顯式臨界準(zhǔn)則獲得了系統(tǒng)出現(xiàn)叉式分岔的控制參數(shù)區(qū)域。然后應(yīng)用中心流形-范式方法進(jìn)一步分析叉式分岔解的穩(wěn)定性。最終數(shù)值仿真驗(yàn)證了在任意指定的系統(tǒng)參數(shù)點(diǎn)通過(guò)控制能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的叉式分岔解。

叉式分岔；分岔反控制；穩(wěn)定性；碰撞振動(dòng)系統(tǒng)

碰撞振動(dòng)在機(jī)械工程領(lǐng)域普遍存在，對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的研究目前已成為非線性動(dòng)力學(xué)研究中最為活躍的分支，研究的重點(diǎn)也由單參數(shù)的低維單自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)向多參數(shù)的高維多自由度系統(tǒng)。SHAW等[1]使用現(xiàn)代動(dòng)力學(xué)的理論方法來(lái)研究具有簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下單側(cè)約束的剛性碰撞的振子系統(tǒng)，采用中心流形-范式降維理論分析了碰撞周期運(yùn)動(dòng)的分岔行為。HOLMES[2]證明了彈跳小球力學(xué)模型動(dòng)力系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)存在一個(gè)倍化分岔的序列，并且在滿足某些條件時(shí)會(huì)存在Smale馬蹄。NORDMARK[3]引入局部不連續(xù)映射的概念詳細(xì)地分析了碰撞振子的擦邊分岔，并揭示了由擦邊分岔進(jìn)入混沌的新途徑。BUREAU等[4]使用一種基于控制的延續(xù)算法來(lái)實(shí)驗(yàn)研究一類電磁式作動(dòng)器控制下的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)分岔時(shí)，建議了三種不同的方法來(lái)確定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，結(jié)果表明所建議的方法能很好的確定穩(wěn)定的平衡點(diǎn)并在一定條件下可以通過(guò)有限時(shí)間的Lyapunov指數(shù)來(lái)確定不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)。金棟平等[5]從理論上對(duì)Hertz接觸模型柔性梁的振碰響應(yīng)進(jìn)行了研究并做了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。LUO等[6]研究了一類兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的擦邊和滑動(dòng)等非光滑分岔行為并揭示了各種光滑和非光滑分岔之間的轉(zhuǎn)遷現(xiàn)象以及出現(xiàn)的各種吸引子跨越的豐富動(dòng)力學(xué)行為。DING等[7]研究了一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的雙Neimark-Sacker復(fù)雜余維二分岔并揭示了由環(huán)面倍化通往混沌的新途徑。盛冬平等[8]通過(guò)考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的各種非線性因素，建立了多間隙彎扭耦合非線性齒輪振動(dòng)模型，采用數(shù)值積分方法研究了圓柱齒輪的彎扭振動(dòng)特性隨轉(zhuǎn)速、支承間隙、齒側(cè)間隙以及嚙合阻尼系數(shù)等參數(shù)的分岔特性。金俐等[9]構(gòu)建局部復(fù)合映射研究了剛性約束系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，得到了區(qū)分系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)及混沌的判定指標(biāo)。YUE等[10]基于中心流形-范式方法研究了一類具有對(duì)稱剛性約束的三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的Neimark-Sacker-Pitchfork的余維二分岔行為。

與傳統(tǒng)的分岔控制不同，分岔反控制是在預(yù)先指定的系統(tǒng)參數(shù)點(diǎn)通過(guò)控制主動(dòng)設(shè)計(jì)出具有所期望特性的分岔。CHEN等[11]通過(guò)發(fā)展一種washout-filter反饋控制器最早研究了連續(xù)系統(tǒng)的Hopf分岔反控制問(wèn)題。隨后，ALONSO等[12]通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)一類欠驅(qū)動(dòng)鐘擺機(jī)械系統(tǒng)的Hopf分岔進(jìn)行了反控制研究。劉素華等[13]采用非線性和線性狀態(tài)反饋控制方法對(duì)一類四維Qi系統(tǒng)零平衡點(diǎn)的Hopf分岔進(jìn)行了反控制研究。WANG等[14]基于Hopf分岔理論和中心流形方法對(duì)一類改進(jìn)的洛倫茲系統(tǒng)的Hopf分岔以及分岔后極限環(huán)的振幅進(jìn)行了控制研究。魏周超等[15]通過(guò)一種非線性控制方法實(shí)現(xiàn)了一類混沌系統(tǒng)在兩個(gè)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)共存情況下Hopf分岔的反控制。以上這些作者都是基于經(jīng)典的分岔準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)分岔的反控制，對(duì)于維數(shù)較低的控制系統(tǒng)，其線性化矩陣的特征值具有解析的表達(dá)式，這樣基于由特征值特性來(lái)描述的經(jīng)典分岔準(zhǔn)則比較容易確定控制增益，但對(duì)于高于四維的控制系統(tǒng)，其線性化矩陣的特征值無(wú)法解析表示，若仍然基于經(jīng)典的分岔準(zhǔn)則就只能通過(guò)逐點(diǎn)取值去檢驗(yàn)在某個(gè)參數(shù)點(diǎn)分岔的存在性來(lái)獲得控制增益，這顯然具有一定的局限性。

本文以一類雙面碰撞的三自由度高維碰撞振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，針對(duì)傳統(tǒng)的映射叉式分岔臨界準(zhǔn)則在高維系統(tǒng)反控制過(guò)程中存在的局限性，使用不直接依賴于特征值計(jì)算的顯式臨界準(zhǔn)則通過(guò)線性反饋控制方法實(shí)現(xiàn)了碰撞系統(tǒng)的叉式分岔。然后，應(yīng)用中心流形-范式方法進(jìn)一步分析了叉式分岔解的穩(wěn)定性。最后，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)目刂圃鲆?，?shù)值實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)穩(wěn)定的叉式分岔解。

1 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)及其周期運(yùn)動(dòng)

圖1是一個(gè)含間隙的三自由度雙面碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型。質(zhì)量為M1，M2，M3的質(zhì)塊分別由阻尼系數(shù)為C1，C2,C3的線性阻尼器和剛度為K1，K2，K3的線性彈簧聯(lián)接于支承，在簡(jiǎn)諧激振力Pisin(ΩT+τ)的作用下每個(gè)質(zhì)塊只作水平方向的運(yùn)動(dòng)(i=1,2,3)。當(dāng)質(zhì)塊M2的振幅較小而未與剛性約束A(或C)接觸時(shí)，系統(tǒng)作簡(jiǎn)單的線性振動(dòng)。當(dāng)M2的振幅增加到與剛性約束A(或C)發(fā)生接觸碰撞時(shí)，系統(tǒng)作非線性的碰撞振動(dòng)。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過(guò)程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定。

圖1 三自由度含間隙雙面碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 The model of three-degree-of-freedom vibro-impact system with clearances and doubling piece rigid constraint

未碰撞階段，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為[16]

(1)

碰撞時(shí)刻, 質(zhì)塊m2的沖擊方程為

(2)

這里的式(1)和(2)是無(wú)量綱變換后的動(dòng)力學(xué)方程，“·”表示對(duì)無(wú)量綱時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)。

設(shè)式(1)和(2)的碰撞周期運(yùn)動(dòng)滿足如下條件：

x2(π/ω)=-x2(0),x2(0)=δ

(3)

(4)

2 碰撞振動(dòng)控制系統(tǒng)及其Poincaré映射

對(duì)式(1)和(2)加線性反饋后的控制系統(tǒng)為

kx+v(x-xp)=psin(ωt+τ)

(5)

(6)

通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以得到式(5)的通解為

(7)

(8)

(9)

(10)

3 碰撞振動(dòng)控制系統(tǒng)Poincaré映射叉式分岔反控制

3.1 受控碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Poincaré映射發(fā)生叉式分岔的顯式臨界準(zhǔn)則

為了通過(guò)線性反饋控制方法來(lái)主動(dòng)實(shí)現(xiàn)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的叉式分岔，主要任務(wù)是通過(guò)確定系統(tǒng)的控制增益向量ε=(k1,k2)在指定的原系統(tǒng)參數(shù)點(diǎn)來(lái)產(chǎn)生碰撞周期運(yùn)動(dòng)的叉式分岔。由式(10)可知受控系統(tǒng)的Poincaré映射是一個(gè)六維的高維映射，相應(yīng)的6×6維的雅克比矩陣的特征值無(wú)解析表達(dá)式，若使用傳統(tǒng)的叉式分岔臨界準(zhǔn)則，只能在參數(shù)空間內(nèi)通過(guò)逐點(diǎn)取值來(lái)驗(yàn)算系統(tǒng)的特征值是否滿足分岔的臨界準(zhǔn)則進(jìn)而來(lái)獲取控制增益，顯然這種數(shù)值搜尋的方法在確定控制增益參數(shù)時(shí)具有一定的局限性，而且非常耗時(shí)。因此為了克服傳統(tǒng)分岔臨界準(zhǔn)則的這種局限性，本文采用不直接依賴于特征值計(jì)算的叉式分岔的顯式臨界條件來(lái)獲得控制參數(shù)。

Pμ(λ)=λ6+a1λ5+a2λ4+

a3λ3+a4λ2+a5λ+a6

(11)

這里ai=ai(μ,ε)是與控制參數(shù)ε和分岔參數(shù)μ有關(guān)的實(shí)數(shù)，i=1,…,6。

結(jié)合特征多項(xiàng)式(11)的系數(shù)，給出映射式(10)產(chǎn)生叉式分岔的顯式臨界準(zhǔn)則如下：

引理1[17]對(duì)于映射式(10)，當(dāng)且僅當(dāng)特征多項(xiàng)式(11)的系數(shù)滿足下列條件(G1)和( G2)時(shí)，

(G1) 特征值分布條件：

1+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0

(12a)

1-a1+a2-a3+a4-a5+a6>0

(12b)

(12e)

(12f)

(12g)

(12h)

(G2) 橫截條件：

(13)

在μ=μ0處映射式(10)會(huì)發(fā)生叉式分岔。

其中(G1)中的條件式(12a)保證有一個(gè)實(shí)特征值+1，條件式(12b)～(12h)保證其它的特征值都位于單位圓內(nèi)；條件(G2)保證+1特征值隨參數(shù)變化穿越單位圓時(shí)的速度不為零。

3.2 受控碰撞振動(dòng)系統(tǒng)叉式分岔的存在性

選取系統(tǒng)的一組參數(shù)為：m2=0.5,m3=1.6,k2=2.5,k3=1.6,f10=0,f20=1,f30=0,δ=0.1,γ=0.01，R=0.7, 以ω為分岔參數(shù)(即μ=ω)。在指定的系統(tǒng)分岔參數(shù)點(diǎn)μ=μ0=1.5處，原碰撞系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)(即對(duì)應(yīng)Poincaré映射上的不動(dòng)點(diǎn))，如圖2所示。

圖2 Poincaré映射上的不動(dòng)點(diǎn)Fig.2 The fixed point on the Poincaré map

圖3 控制參數(shù)分岔圖Fig.3 Control parameter bifurcation diagram

3.3 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)叉式分岔解的穩(wěn)定性

受控的碰撞系統(tǒng)式(5)和(6)叉式分岔解的穩(wěn)定性取決于映射式(10)的非線性項(xiàng)。本文中使用投影法[18]來(lái)分析分岔解的穩(wěn)定性。

首先，取坐標(biāo)變換

(14)

映射式(10)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換式(14)變換成

(15)

變量變換后的新映射式(15)的不動(dòng)點(diǎn)和分岔點(diǎn)都為原點(diǎn)。將映射式(15)在Yk=0處級(jí)數(shù)展開有

(16)

設(shè)q是A對(duì)應(yīng)特征值λ(0)=1的特征向量，p是伴隨矩陣AT對(duì)應(yīng)特征值λ(0)=1的特征向量，有下面關(guān)系式

Aq=λ(0)q，ATp=λ(0)p

(17)

其中的〈p,q〉=1滿足標(biāo)準(zhǔn)化形式。

式(16)中二次項(xiàng)Q(Yk,Yk)和三次項(xiàng)C(Yk,Yk,Yk)具有如下的一般形式

這樣，映射式(10)發(fā)生叉式分岔后解的穩(wěn)定性可以由下面的引理2來(lái)確定。

〈p,Q(q,q)〉q))〉

(18)

基于中心流形-范式方法，計(jì)算式(18)得到

σ(0)=-1.239 4<0

因此，根據(jù)引理2可判斷原系統(tǒng)通過(guò)控制能實(shí)現(xiàn)超臨界的叉式分岔并產(chǎn)生相應(yīng)的穩(wěn)定分岔解。

3.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在確定控制參數(shù)臨界點(diǎn)ε0后，在指定的系統(tǒng)分岔參數(shù)點(diǎn)μ=μ0的小鄰域內(nèi)，取μ=μ0+0.001時(shí)，系統(tǒng)對(duì)稱周期運(yùn)動(dòng)(Poincaré映射的對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn))失穩(wěn)經(jīng)叉式分岔產(chǎn)生一個(gè)非對(duì)稱的周期運(yùn)動(dòng)(Poincaré映射的非對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn))，如圖4所示。為了體現(xiàn)通過(guò)控制實(shí)現(xiàn)的叉式分岔的效果，圖4中的Poincaré映射相圖是將正負(fù)擾動(dòng)下的相圖放在一起得到的。

圖4 通過(guò)控制實(shí)現(xiàn)的由對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)到非對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)的叉式分岔現(xiàn)象Fig.4 Pitchfork bifurcation from symmetric fixed point to asymmetric fixed points obtained by control

4 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)的映射叉式分岔臨界準(zhǔn)則在高維系統(tǒng)中確定臨界控制增益的局限性，利用顯式的叉式分岔臨界準(zhǔn)則獲得了一類三自由度含間隙高維碰撞系統(tǒng)產(chǎn)生叉式分岔的兩參數(shù)控制參數(shù)區(qū)域，此控制區(qū)域具有較大的分岔可行域范圍，比較容易實(shí)現(xiàn)魯棒性強(qiáng)的分岔反控制。數(shù)值實(shí)驗(yàn)在指定的參數(shù)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了此碰撞振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定的叉式分岔解。

[1] SHAW S W，HOLMES P J. A periodically forced impact oscillator with large dissipation[J]. Journal of Applied Mechanics, 1983, 50(4a): 849-857.

[2] HOLMES P J. The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table[J]. Journal of Sound and Vibration, 1982, 84(2): 173-189.

[3] NORDMARK A B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 145(2): 279-297.

[4] BUREAU E, SCHILDER F, ELMEGARD M, et al. Experimental bifurcation analysis of an impact oscillator—Determining stability[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(21): 5464-5474.

[5] 金棟平，胡海巖，吳志強(qiáng). 基于Hertz 接觸模型的柔性梁碰撞振動(dòng)分析[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，1998，11(1):46-51.

JIN Dongping, HU Haiyan, WU Zhiqiang. Analysis of vibro-impacting flexible beams based on Hertzian contact model [J]. Journal of Vibration Engineering,1998,11(1):46-51.

[6] LUO G W, Lü X H, SHI Y Q. Vibro-impact dynamics of a two-degree-of freedom periodically-forced system with a clearance: Diversity and parameter matching of periodic-impact motions[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2014, 65: 173-195.

[7] DING W C, LI G F, LUO G W, et al. Torus T2 and its locking, doubling, chaos of a vibro-impact system[J]. Journal of the Franklin Institute, 2012, 349(1): 337-348.

[8] 盛冬平，朱如鵬，陸鳳霞，等. 多間隙彎扭耦合齒輪非線性振動(dòng)的分岔特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2014，33(19): 116-122.

SHENG Dongping, ZHU Rupeng, LU Fengxia, et al. Bifurcation characteristics of bending-torsional coupled gear nonlinear vibration with multi-clearance [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(19): 116-122.

[9] 金俐，陸啟韶. 非光滑動(dòng)力系統(tǒng) Lyapunov 指數(shù)譜的計(jì)算方法[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，37(1):40-47.

JIN Li, LU Qishao. A method for calculating the spectrum of Lyapunov exponents of non-smooth dynamical systems[J]. Acta Mechanica Sinica, 2005, 37(1):40-47.

[10] YUE Y, XIE J H. Neimark—Sacker-pitchfork bifurcation of the symmetric period fixed point of the Poincaré map in a three-degree-of-freedom vibro-impact system[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics,2013,48:51-58.

[11] CHEN G R, LU J L, NICHOLAS B, et al. Bifurcation dynamics in discrete-time delay-feedback control systems[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999, 9(1): 287-293.

[12] ALONSO D M, PAOLINI E E, MOIOLA J L. An experimental application of the anticontrol of Hopf bifurcations[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2001, 11(7): 1977-1987.

[13] 劉素華，唐駕時(shí). 四維Qi系統(tǒng)零平衡點(diǎn)的Hopf分岔反控制[J]. 物理學(xué)報(bào)，2008，57(10): 6162-6168.

LIU Suhua, TANG Jiashi. Anti-control of Hopf bifurcation at zero equilibrium of 4D Qi system [J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(10): 6162-6168.

[14] WANG X D, DENG L W, ZHANG W L. Hopf bifurcation analysis and amplitude control of the modified Lorenz system[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 225: 333-344.

[15] WEI Z C, YANG Q G. Anti-control of Hopf bifurcation in the new chaotic system with two stable node-foci[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 217(1): 422-429.

[16] 羅冠煒，謝建華. 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)和分岔[M]. 北京: 科學(xué)出版社，2004.

[17] XU H D, WEN G L. Alternative criterion for investigation of pitchfork bifurcations of limit cycle in relay feedback systems[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2014, 9(3): 031004.

[18] KUZNETSOV Y A. Elements of applied bifurcation theory [M]. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1998.

Anti-controlling pitchfork bifurcation on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system

WU Xin1,2, XU Huidong3, WEN Guilin2, WEI Kexiang1

(1. School of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China;2. Key Laboratory of Advanced Design and Simulation Techniques for Special Equipment of Education Ministry, Hunan University, Changsha 410082, China;3. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

In the premise of not changing periodic solutions of the original system and with considering the difficulties that are given by the implicit Poincaré map of the vibro-impact system, anti-control of Pitchfork bifurcation on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system was studied by using the linear feedback control method. Firstly, the six-dimensional Poincaré map of a close-loop system was established. To overcome the difficulty that the numerical computing method can only be used to determine control gains on the basis of the classical critical criteria of Pitchfork bifurcation described by the properties of eigenvalues in the six-dimensional map, an explicit pitchfork critical criterion without using eigenvalues was used to obtain the controlling parameters area of two parameters. Then, the stability of the pitchfork bifurcation was further analyzed by utilizing the center manifold and normal formal theory. Finally, the numerical experiments verify that the stable pitchfork bifurcation solutions can be generated at arbitrary specified parameters.

pitchfork bifurcation; anti-controlling bifurcation; stability; vibro-impact system

國(guó)家杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目(11225212)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11472103);湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016JJ4027；14JJ5006)；湖南省高?？萍紕?chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃資助(湘教通〔2014〕207號(hào))

2015-12-28 修改稿收到日期：2016-03-04

伍新 男，博士，講師，1976年生

文桂林 男，博士，教授，1970年生

O313；TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.004