伍 新, 徐慧東, 文桂林, 魏克湘

(1.湖南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 湘潭 411104； 2.湖南大學(xué) 特種裝備先進(jìn)設(shè)計與仿真教育部重點實驗室，長沙 410082；3.太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院，太原 030024)

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三自由度碰撞振動系統(tǒng)Poincaré映射叉式分岔的反控制

伍 新1,2, 徐慧東3, 文桂林2, 魏克湘1

(1.湖南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 湘潭 411104； 2.湖南大學(xué) 特種裝備先進(jìn)設(shè)計與仿真教育部重點實驗室，長沙 410082；3.太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院，太原 030024)

考慮到碰撞振動系統(tǒng)的Poincaré映射的隱式特點，在不改變原碰撞系統(tǒng)平衡解結(jié)構(gòu)的前提下，采用線性反饋控制方法研究了一類三自由度含間隙雙面碰撞振動系統(tǒng)Poincaré映射的叉式分岔的反控制問題。首先，建立閉環(huán)控制系統(tǒng)的六維Poincaré映射，針對由特征值特性描述的傳統(tǒng)叉式分岔臨界準(zhǔn)則在六維的高維映射中只能通過數(shù)值試算來確定控制增益的困難，利用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準(zhǔn)則獲得了系統(tǒng)出現(xiàn)叉式分岔的控制參數(shù)區(qū)域。然后應(yīng)用中心流形-范式方法進(jìn)一步分析叉式分岔解的穩(wěn)定性。最終數(shù)值仿真驗證了在任意指定的系統(tǒng)參數(shù)點通過控制能實現(xiàn)穩(wěn)定的叉式分岔解。

叉式分岔；分岔反控制；穩(wěn)定性；碰撞振動系統(tǒng)

碰撞振動在機(jī)械工程領(lǐng)域普遍存在，對碰撞振動系統(tǒng)復(fù)雜動力學(xué)行為的研究目前已成為非線性動力學(xué)研究中最為活躍的分支，研究的重點也由單參數(shù)的低維單自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)向多參數(shù)的高維多自由度系統(tǒng)。SHAW等[1]使用現(xiàn)代動力學(xué)的理論方法來研究具有簡諧激勵力作用下單側(cè)約束的剛性碰撞的振子系統(tǒng)，采用中心流形-范式降維理論分析了碰撞周期運動的分岔行為。HOLMES[2]證明了彈跳小球力學(xué)模型動力系統(tǒng)的周期運動存在一個倍化分岔的序列，并且在滿足某些條件時會存在Smale馬蹄。NORDMARK[3]引入局部不連續(xù)映射的概念詳細(xì)地分析了碰撞振子的擦邊分岔，并揭示了由擦邊分岔進(jìn)入混沌的新途徑。BUREAU等[4]使用一種基于控制的延續(xù)算法來實驗研究一類電磁式作動器控制下的碰撞振動系統(tǒng)分岔時，建議了三種不同的方法來確定平衡點的穩(wěn)定性，結(jié)果表明所建議的方法能很好的確定穩(wěn)定的平衡點并在一定條件下可以通過有限時間的Lyapunov指數(shù)來確定不穩(wěn)定的不動點。金棟平等[5]從理論上對Hertz接觸模型柔性梁的振碰響應(yīng)進(jìn)行了研究并做了相應(yīng)的實驗驗證。LUO等[6]研究了一類兩自由度碰撞振動系統(tǒng)周期運動的擦邊和滑動等非光滑分岔行為并揭示了各種光滑和非光滑分岔之間的轉(zhuǎn)遷現(xiàn)象以及出現(xiàn)的各種吸引子跨越的豐富動力學(xué)行為。DING等[7]研究了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)的雙Neimark-Sacker復(fù)雜余維二分岔并揭示了由環(huán)面倍化通往混沌的新途徑。盛冬平等[8]通過考慮齒輪傳動系統(tǒng)中的各種非線性因素，建立了多間隙彎扭耦合非線性齒輪振動模型，采用數(shù)值積分方法研究了圓柱齒輪的彎扭振動特性隨轉(zhuǎn)速、支承間隙、齒側(cè)間隙以及嚙合阻尼系數(shù)等參數(shù)的分岔特性。金俐等[9]構(gòu)建局部復(fù)合映射研究了剛性約束系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，得到了區(qū)分系統(tǒng)周期運動及混沌的判定指標(biāo)。YUE等[10]基于中心流形-范式方法研究了一類具有對稱剛性約束的三自由度碰撞振動系統(tǒng)周期運動的Neimark-Sacker-Pitchfork的余維二分岔行為。

與傳統(tǒng)的分岔控制不同，分岔反控制是在預(yù)先指定的系統(tǒng)參數(shù)點通過控制主動設(shè)計出具有所期望特性的分岔。CHEN等[11]通過發(fā)展一種washout-filter反饋控制器最早研究了連續(xù)系統(tǒng)的Hopf分岔反控制問題。隨后，ALONSO等[12]通過實驗對一類欠驅(qū)動鐘擺機(jī)械系統(tǒng)的Hopf分岔進(jìn)行了反控制研究。劉素華等[13]采用非線性和線性狀態(tài)反饋控制方法對一類四維Qi系統(tǒng)零平衡點的Hopf分岔進(jìn)行了反控制研究。WANG等[14]基于Hopf分岔理論和中心流形方法對一類改進(jìn)的洛倫茲系統(tǒng)的Hopf分岔以及分岔后極限環(huán)的振幅進(jìn)行了控制研究。魏周超等[15]通過一種非線性控制方法實現(xiàn)了一類混沌系統(tǒng)在兩個穩(wěn)定結(jié)點共存情況下Hopf分岔的反控制。以上這些作者都是基于經(jīng)典的分岔準(zhǔn)則來實現(xiàn)分岔的反控制，對于維數(shù)較低的控制系統(tǒng)，其線性化矩陣的特征值具有解析的表達(dá)式，這樣基于由特征值特性來描述的經(jīng)典分岔準(zhǔn)則比較容易確定控制增益，但對于高于四維的控制系統(tǒng)，其線性化矩陣的特征值無法解析表示，若仍然基于經(jīng)典的分岔準(zhǔn)則就只能通過逐點取值去檢驗在某個參數(shù)點分岔的存在性來獲得控制增益，這顯然具有一定的局限性。

本文以一類雙面碰撞的三自由度高維碰撞振動系統(tǒng)為研究對象，針對傳統(tǒng)的映射叉式分岔臨界準(zhǔn)則在高維系統(tǒng)反控制過程中存在的局限性，使用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準(zhǔn)則通過線性反饋控制方法實現(xiàn)了碰撞系統(tǒng)的叉式分岔。然后，應(yīng)用中心流形-范式方法進(jìn)一步分析了叉式分岔解的穩(wěn)定性。最后，通過選取適當(dāng)?shù)目刂圃鲆妫瑪?shù)值實現(xiàn)了系統(tǒng)穩(wěn)定的叉式分岔解。

1 碰撞振動系統(tǒng)及其周期運動

圖1是一個含間隙的三自由度雙面碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型。質(zhì)量為M1，M2，M3的質(zhì)塊分別由阻尼系數(shù)為C1，C2,C3的線性阻尼器和剛度為K1，K2，K3的線性彈簧聯(lián)接于支承，在簡諧激振力Pisin(ΩT+τ)的作用下每個質(zhì)塊只作水平方向的運動(i=1,2,3)。當(dāng)質(zhì)塊M2的振幅較小而未與剛性約束A(或C)接觸時，系統(tǒng)作簡單的線性振動。當(dāng)M2的振幅增加到與剛性約束A(或C)發(fā)生接觸碰撞時，系統(tǒng)作非線性的碰撞振動。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定。

圖1 三自由度含間隙雙面碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 The model of three-degree-of-freedom vibro-impact system with clearances and doubling piece rigid constraint

未碰撞階段，系統(tǒng)的運動微分方程為[16]

(1)

碰撞時刻, 質(zhì)塊m2的沖擊方程為

(2)

這里的式(1)和(2)是無量綱變換后的動力學(xué)方程，“·”表示對無量綱時間t求導(dǎo)數(shù)。

設(shè)式(1)和(2)的碰撞周期運動滿足如下條件：

x2(π/ω)=-x2(0),x2(0)=δ

(3)

(4)

2 碰撞振動控制系統(tǒng)及其Poincaré映射

對式(1)和(2)加線性反饋后的控制系統(tǒng)為

kx+v(x-xp)=psin(ωt+τ)

(5)

(6)

通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以得到式(5)的通解為

(7)

(8)

(9)

(10)

3 碰撞振動控制系統(tǒng)Poincaré映射叉式分岔反控制

3.1 受控碰撞振動系統(tǒng)Poincaré映射發(fā)生叉式分岔的顯式臨界準(zhǔn)則

為了通過線性反饋控制方法來主動實現(xiàn)碰撞振動系統(tǒng)周期運動的叉式分岔，主要任務(wù)是通過確定系統(tǒng)的控制增益向量ε=(k1,k2)在指定的原系統(tǒng)參數(shù)點來產(chǎn)生碰撞周期運動的叉式分岔。由式(10)可知受控系統(tǒng)的Poincaré映射是一個六維的高維映射，相應(yīng)的6×6維的雅克比矩陣的特征值無解析表達(dá)式，若使用傳統(tǒng)的叉式分岔臨界準(zhǔn)則，只能在參數(shù)空間內(nèi)通過逐點取值來驗算系統(tǒng)的特征值是否滿足分岔的臨界準(zhǔn)則進(jìn)而來獲取控制增益，顯然這種數(shù)值搜尋的方法在確定控制增益參數(shù)時具有一定的局限性，而且非常耗時。因此為了克服傳統(tǒng)分岔臨界準(zhǔn)則的這種局限性，本文采用不直接依賴于特征值計算的叉式分岔的顯式臨界條件來獲得控制參數(shù)。

Pμ(λ)=λ6+a1λ5+a2λ4+

a3λ3+a4λ2+a5λ+a6

(11)

這里ai=ai(μ,ε)是與控制參數(shù)ε和分岔參數(shù)μ有關(guān)的實數(shù)，i=1,…,6。

結(jié)合特征多項式(11)的系數(shù)，給出映射式(10)產(chǎn)生叉式分岔的顯式臨界準(zhǔn)則如下：

引理1[17]對于映射式(10)，當(dāng)且僅當(dāng)特征多項式(11)的系數(shù)滿足下列條件(G1)和( G2)時，

(G1) 特征值分布條件：

1+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0

(12a)

1-a1+a2-a3+a4-a5+a6>0

(12b)

(12e)

(12f)

(12g)

(12h)

(G2) 橫截條件：

(13)

在μ=μ0處映射式(10)會發(fā)生叉式分岔。

其中(G1)中的條件式(12a)保證有一個實特征值+1，條件式(12b)～(12h)保證其它的特征值都位于單位圓內(nèi)；條件(G2)保證+1特征值隨參數(shù)變化穿越單位圓時的速度不為零。

3.2 受控碰撞振動系統(tǒng)叉式分岔的存在性

選取系統(tǒng)的一組參數(shù)為：m2=0.5,m3=1.6,k2=2.5,k3=1.6,f10=0,f20=1,f30=0,δ=0.1,γ=0.01，R=0.7, 以ω為分岔參數(shù)(即μ=ω)。在指定的系統(tǒng)分岔參數(shù)點μ=μ0=1.5處，原碰撞系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運動(即對應(yīng)Poincaré映射上的不動點)，如圖2所示。

圖2 Poincaré映射上的不動點Fig.2 The fixed point on the Poincaré map

圖3 控制參數(shù)分岔圖Fig.3 Control parameter bifurcation diagram

3.3 碰撞振動系統(tǒng)叉式分岔解的穩(wěn)定性

受控的碰撞系統(tǒng)式(5)和(6)叉式分岔解的穩(wěn)定性取決于映射式(10)的非線性項。本文中使用投影法[18]來分析分岔解的穩(wěn)定性。

首先，取坐標(biāo)變換

(14)

映射式(10)經(jīng)過坐標(biāo)變換式(14)變換成

(15)

變量變換后的新映射式(15)的不動點和分岔點都為原點。將映射式(15)在Yk=0處級數(shù)展開有

(16)

設(shè)q是A對應(yīng)特征值λ(0)=1的特征向量，p是伴隨矩陣AT對應(yīng)特征值λ(0)=1的特征向量，有下面關(guān)系式

Aq=λ(0)q，ATp=λ(0)p

(17)

其中的〈p,q〉=1滿足標(biāo)準(zhǔn)化形式。

式(16)中二次項Q(Yk,Yk)和三次項C(Yk,Yk,Yk)具有如下的一般形式

這樣，映射式(10)發(fā)生叉式分岔后解的穩(wěn)定性可以由下面的引理2來確定。

〈p,Q(q,q)〉q))〉

(18)

基于中心流形-范式方法，計算式(18)得到

σ(0)=-1.239 4<0

因此，根據(jù)引理2可判斷原系統(tǒng)通過控制能實現(xiàn)超臨界的叉式分岔并產(chǎn)生相應(yīng)的穩(wěn)定分岔解。

3.4 數(shù)值實驗

在確定控制參數(shù)臨界點ε0后，在指定的系統(tǒng)分岔參數(shù)點μ=μ0的小鄰域內(nèi)，取μ=μ0+0.001時，系統(tǒng)對稱周期運動(Poincaré映射的對稱不動點)失穩(wěn)經(jīng)叉式分岔產(chǎn)生一個非對稱的周期運動(Poincaré映射的非對稱不動點)，如圖4所示。為了體現(xiàn)通過控制實現(xiàn)的叉式分岔的效果，圖4中的Poincaré映射相圖是將正負(fù)擾動下的相圖放在一起得到的。

圖4 通過控制實現(xiàn)的由對稱不動點到非對稱不動點的叉式分岔現(xiàn)象Fig.4 Pitchfork bifurcation from symmetric fixed point to asymmetric fixed points obtained by control

4 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)的映射叉式分岔臨界準(zhǔn)則在高維系統(tǒng)中確定臨界控制增益的局限性，利用顯式的叉式分岔臨界準(zhǔn)則獲得了一類三自由度含間隙高維碰撞系統(tǒng)產(chǎn)生叉式分岔的兩參數(shù)控制參數(shù)區(qū)域，此控制區(qū)域具有較大的分岔可行域范圍，比較容易實現(xiàn)魯棒性強(qiáng)的分岔反控制。數(shù)值實驗在指定的參數(shù)點實現(xiàn)了此碰撞振動系統(tǒng)穩(wěn)定的叉式分岔解。

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Anti-controlling pitchfork bifurcation on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system

WU Xin1,2, XU Huidong3, WEN Guilin2, WEI Kexiang1

(1. School of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China;2. Key Laboratory of Advanced Design and Simulation Techniques for Special Equipment of Education Ministry, Hunan University, Changsha 410082, China;3. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

In the premise of not changing periodic solutions of the original system and with considering the difficulties that are given by the implicit Poincaré map of the vibro-impact system, anti-control of Pitchfork bifurcation on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system was studied by using the linear feedback control method. Firstly, the six-dimensional Poincaré map of a close-loop system was established. To overcome the difficulty that the numerical computing method can only be used to determine control gains on the basis of the classical critical criteria of Pitchfork bifurcation described by the properties of eigenvalues in the six-dimensional map, an explicit pitchfork critical criterion without using eigenvalues was used to obtain the controlling parameters area of two parameters. Then, the stability of the pitchfork bifurcation was further analyzed by utilizing the center manifold and normal formal theory. Finally, the numerical experiments verify that the stable pitchfork bifurcation solutions can be generated at arbitrary specified parameters.

pitchfork bifurcation; anti-controlling bifurcation; stability; vibro-impact system

國家杰出青年科學(xué)基金項目(11225212)；國家自然科學(xué)基金項目(11472103);湖南省自然科學(xué)基金項目(2016JJ4027；14JJ5006)；湖南省高校科技創(chuàng)新團(tuán)隊支持計劃資助(湘教通〔2014〕207號)

2015-12-28 修改稿收到日期：2016-03-04

伍新 男，博士，講師，1976年生

文桂林 男，博士，教授，1970年生

O313；TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.004