金楊建
巧解方程與不等式中的較難題
金楊建
在各地中考試卷中,經(jīng)常會出現(xiàn)有關(guān)一次方程與一次不等式的較難題,這些難題帶給我們許多精彩而又巧妙的解法.用這些方法處理這些復雜或難度較大的問題時,會有意想不到的“神奇”效果.
在求不等式組的解集時,往往會用到一些基本口訣.“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小無處找”.這種口訣對于確定無參數(shù)不等式組的解集最為適用,其實對于確定含參數(shù)的不等式組的解集也適用.
方法歸納:解決含參數(shù)不等式組解集存在性問題往往有兩步:第一步,化簡不等式組;第二步,利用口訣,結(jié)合題意進行判斷.因此,掌握求不等式組解集的口訣,對于解決含參數(shù)的不等式組解集的相關(guān)問題也很實用.但需要熟練掌握口訣,并且注意等號的取舍.
A.a<-36B.a≤-36
C.a>-36D.a≥-36
有時,在處理不等式或不等式組解集中整數(shù)解個數(shù)相關(guān)問題時,口訣往往行不通.這時,則需要借助數(shù)軸,利用數(shù)形結(jié)合的方法進行判斷.
例2(2015·南通)關(guān)于x的不等式xb>0恰有兩個負整數(shù)解,則b的取值范圍是().
A.-3<b<-2B.-3<b≤-2
C.-3≤b≤-2D.-3≤b<-2
【解析】解不等式x-b>0得x>b,因為不等式有兩個負整數(shù)解,所以這兩個負整數(shù)解為-1,-2.故b的值不能太大,否則就不一定含有這兩個負數(shù),也不能太小,否則就不止含有這兩個負數(shù).這時,可以利用數(shù)軸輔助進行判斷.因為x>b,所以在數(shù)軸上表示時是空心向右.為了包含兩個負整數(shù)解-1,-2,空心圈應該在-2與-3之間,這一步我們稱為“初定范圍”,如圖1.
圖1
從圖中可看出,如果空心圈圈在-2處,解集中僅含有一個負整數(shù)解-1,不符合題意,故b不能等于-2;如果空心圈圈在-3處,解集中仍含有兩個負整數(shù)-1、-2,符合題意,故b可以等于3.所以-3≤b<-2,這一步我們稱為“再定端點”.故選擇D.
A.-1≤m<0B.-1 C.-1≤m≤0D.-1 【解析】畫出數(shù)軸,在數(shù)軸上表示出x<1的解集,如圖2.因為不等式組恰好有兩個整數(shù)解,由圖像2知,這兩個整數(shù)解是0和-1, 圖2 故m-1應在-2與-1之間(初定范圍). 如果空心圈在-1處,解集中僅含有一個整數(shù)解0,不符合題意,故m-1不能等于-1;如果空心圈在-2處,解集中仍含有兩個整數(shù)-1、0,符合題意,故m-1可以等于-2.所以-2≤m-1<-1(再定端點),解得-1≤m<0,故選擇A. A.7<a≤8B.6<a≤7 C.7≤a<8D.7≤a≤8 【解析】本題與變式1類似,先求出不等式組的解集為2<x<a,然后根據(jù)不等式組的解集中只有5個整數(shù)解,畫數(shù)軸,確定整數(shù)解是3,4,5,6,7,最后確定a的取值范圍為7<a≤8,故答案為A. A.-1≤m<0B.-1 C.-1≤m≤0D.-1 【解析】本題是直接在2015年湖南永州中考卷的試題基礎上改編而來,只有一個不等號的差異,解題方法基本相同,但“再定端點”這個環(huán)節(jié)卻有不同. 圖3 因為x≥m-1,故在數(shù)軸上表示x≥m-1的解集時應用實心點,即這個點所表示的數(shù)值取得到.因此-2<m-1≤-1,解得-1<m≤0,故答案為B. 【方法歸納】解決不等式或不等式組解集中整數(shù)解個數(shù)問題時,往往有三步:第一步,解出各不等式;第二步,畫出數(shù)軸,初定范圍;第三步,結(jié)合個數(shù),再定端點.定端點時,一定要結(jié)合“實心”“空心”圍繞整數(shù)點個數(shù)進行討論,這樣才能準確得到答案. A.7<a≤8B.6<a≤7 C.7≤a<8D.7≤a≤8 在不等式組或方程組中,經(jīng)常需要我們根據(jù)已知的條件,求一個代數(shù)式的值或范圍,有時甚至是解一個非常復雜的方程.此時,我們往往不能真的去解出未知數(shù)的值或解集,也沒有必要去求解. 【解析】兩式相加得3a+b=8,直接得到結(jié)果! 【解析】當然,本題也可以解出方程組的解(用m表示),再根據(jù)x+y>0建立不等式,求出m的范圍,但這種方法計算量較大. 若將②-①×2,可得x+y=m-4,又因為x+ y>0,所以m>4. 從上述兩題,一眼可得直接法與整體法的優(yōu)劣,但整體法的思維力度較大. 【解析】新方程組中的x-1相當于原方程組中x,y+1相當于原方程組中y,故即 【方法歸納】“整體思想”是當我們遇到問題時,并不著眼于問題的各個部分,而是將需要解決的問題看作一個整體,通過研究問題的整體形式、整體與局部之間的內(nèi)在聯(lián)系來解決問題的思想方法.這種方法思維量大,但計算量少,可以實現(xiàn)多思少算的目的.同學們不妨試一試下面這個練習: 上述三種方法是處理方程與不等式中難題的基本方法.對于不同的題目應靈活使用,這樣才能快速而又準確地得到答案,從而在考場中勝人一籌. 練習參考答案 (作者單位:江蘇省無錫市天一實驗學校)三、整體思想來幫忙