孫偉剛

讓規(guī)范成為一種解題習(xí)慣

孫偉剛

方程（組）與不等式（組）是初中數(shù)學(xué)中最基本、最核心的知識和技能之一，這塊內(nèi)容也是歷年中考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn).從近幾年各地中考的發(fā)展趨勢來看，既重視對基礎(chǔ)知識的考查，如直接考解方程（組）或解不等式（組），又注重考查綜合運(yùn)用知識的能力，如考方程（組）與圖形的運(yùn)動(dòng)相結(jié)合問題，考不等式（組）與函數(shù)相結(jié)合的實(shí)際問題等.那么如何規(guī)范地解答有關(guān)方程（組）與不等式（組）的問題呢？筆者想通過舉例予以說明，旨在給同學(xué)們有所啟迪.

一、考查解方程與解不等式問題

例1（2015·慶陽）（本題滿分8分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+mx+m-1= 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求m的值；

（2）解原方程.

【考點(diǎn)】根的判別式；解一元二次方程.

【分析】（1）據(jù)題意得到：Δ=0，由此列出關(guān)于m的方程并解答；（2）用直接開平方法解方程.

∴Δ=m2-4×m×（m-1）=0，且m≠0，（3分）

解得m=2；（5分）

（2）由（1）知，m=2，則該方程為：x2+ 2x+1=0，（6分）

即（x+1）2=0，（7分）

解得x1=x2=-1.（8分）

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+ bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b2-4ac：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ= 0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.但必須注意上述結(jié)論是針對一元二次方程來說的，因此，同學(xué)們解答此題時(shí)，應(yīng)首先考慮a≠0這個(gè)前提條件，也就是說，不能漏了m≠0這個(gè)踩分點(diǎn)，否則會(huì)影響答案的完整，白白扣了2分，會(huì)而不對，令人惋惜.

解答第（2）小題時(shí)，首先應(yīng)明確是在解答了第（1）小題的前提下進(jìn)行的，因此第（1）小題的結(jié)論“m=2”可以作為條件直接拿來使用，從而確定一元二次方程.而解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法.對本題來講，同學(xué)們?nèi)我膺x擇一種方法都是可以的，只是方程的解應(yīng)寫成“x1=x2=-1”的形式，因?yàn)閷τ谝辉畏匠虂碚f，要么沒有實(shí)數(shù)根，要么就一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，如果把解寫成“x=-1”將會(huì)扣掉1分.可見，打牢基礎(chǔ)，注重細(xì)節(jié)，規(guī)范解題是何等的重要啊！

【考點(diǎn)】解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【分析】先去分母，再去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，最后把x的系數(shù)化為1即可.

解：去分母得，4（2x-1）≤3（3x+2）-12，（1分）

去括號得，8x-4≤9x+6-12，（2分）移項(xiàng)得，8x-9x≤6-12+4，

合并同類項(xiàng)得，-x≤-2，（3分）把x的系數(shù)化為1得，x≥2.（4分）在數(shù)軸上表示為：

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關(guān)鍵.一元一次不等式的解法步驟雖與解一元一次方程類似，但不完全相同，特別是“把x的系數(shù)化為1”這一步驟，兩者有質(zhì)的區(qū)別.如，由“-x=-2”得到“x=2”顯得順理成章，而由“-x≤-2”得到“x≥2”卻是深入理解和掌握不等式基本性質(zhì)3后才有的良好效果.同學(xué)們腦海中必須強(qiáng)化“不等式兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號方向改變”這一性質(zhì)，才會(huì)牢牢抓住這寶貴的1分，如果僅僅歸結(jié)為粗心是不可取的，應(yīng)上升到對不等式的基本性質(zhì)缺乏理解和認(rèn)識這一高度.讓自己的思維更嚴(yán)謹(jǐn)些，讓平時(shí)的做題更規(guī)范些，這才是同學(xué)們應(yīng)有的態(tài)度.

另外，在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，可按如下“三部曲”進(jìn)行：①畫數(shù)軸；②定邊界點(diǎn)，含等號用實(shí)心圈，無等號用空心圈；③定方向，大于向右畫，小于向左畫.按部就班，把最后這1分得到，讓這種方式成為你的解題習(xí)慣，你會(huì)因?yàn)楹昧?xí)慣受益終身.

二、考查方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用問題

例3（2015·寧夏）（本題滿分8分）某校在開展“校園獻(xiàn)愛心”活動(dòng)中，準(zhǔn)備向南部山區(qū)學(xué)校捐贈(zèng)男、女兩種款式的書包.已知男款書包的單價(jià)50元/個(gè)，女款書包的單價(jià)70元/個(gè).

（1）原計(jì)劃募捐3 400元，購買兩種款式的書包共60個(gè)，那么這兩種款式的書包各買多少個(gè)？

（2）在捐款活動(dòng)中，由于學(xué)生捐款的積極性高漲，實(shí)際共捐款4 800元，如果購買兩種款式的書包共80個(gè)，那么女款書包最多能買多少個(gè)？

【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃買男款書包x個(gè)，則女款書包（60-x）個(gè)，根據(jù)題意得：50x+ 70（60-x）=3 400，即可解答；

（2）設(shè)女款書包能買y個(gè)，則男款書包（80-y）個(gè)，根據(jù)題意得：70y+50（80-y）≤4 800，即可解答.

解：（1）設(shè)原計(jì)劃買男款書包x個(gè)，則女款書包（60-x）個(gè)，（1分）

根據(jù)題意得：50x+70（60-x）=3400，（2分）

解得：x=40，

60-x=60-40=20.（3分）

答：原計(jì)劃買男款書包40個(gè)，則女款書包20個(gè).（4分）

（2）設(shè)女款書包能買y個(gè)，則男款書包買（80-y）個(gè)，（5分）

根據(jù)題意得：70y+50（80-y）≤4 800，（6分）

解得：y≤40，（7分）

所以女款書包最多能買40個(gè).（8分）

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程、一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程和不等式.對于第（1）小題，首先應(yīng)熟知列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：①根據(jù)問題設(shè)出未知數(shù)；②根據(jù)等量關(guān)系列出一元一次方程；③解出方程并驗(yàn)根；④根據(jù)問題做出答.每個(gè)步驟各1分，其中第①步設(shè)未知數(shù)時(shí)需帶上單位，同時(shí)應(yīng)把相關(guān)的量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，這1分就抓住了.而第③步注意看清要求的兩個(gè)量，除了求出男款書包的數(shù)量，還得求出女款書包的數(shù)量，這樣才能獲得1分.第④步作答讓解應(yīng)用題步驟更完整，也有1分，不容小覷.

對于第（2）小題，同樣應(yīng)熟知列一元一次不等式解應(yīng)用題的一般步驟（與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟類似，這里不贅述），也是每個(gè)步驟各1分.需要提醒同學(xué)們的是，第①步設(shè)未知數(shù)時(shí)有所變化，如果想當(dāng)然地設(shè)為“女款書包最多能買y個(gè)”，就會(huì)失去這1分，因?yàn)榱谐龅牟坏仁角蠼鈱?shí)質(zhì)上是求它的解集，而解集中的每個(gè)值不可能都是“y的值”，因此設(shè)為“女款書包能買y個(gè)”就比較恰當(dāng)，事實(shí)上，諸如求“最多”量、“最少”量均可以在解集中尋找答案，這點(diǎn)提請同學(xué)們務(wù)必注意.

例4（2015·慶陽）（本題滿分8分）某體育用品專賣店銷售7個(gè)籃球和9個(gè)排球的總利潤為355元，銷售10個(gè)籃球和20個(gè)排球的總利潤為650元.

（1）求每個(gè)籃球和每個(gè)排球的銷售利潤；

（2）已知每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)為200元，每個(gè)排球的進(jìn)價(jià)為160元，若該專賣店計(jì)劃用不超過17 400元購進(jìn)籃球和排球共100個(gè)，且要求籃球數(shù)量不少于排球數(shù)量的一半，請你為專賣店設(shè)計(jì)符合要求的進(jìn)貨方案.

【考點(diǎn)】一元一次不等式組的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)每個(gè)籃球和每個(gè)排球的銷售利潤分別為x元，y元，根據(jù)題意得到方程組即可解得結(jié)果；

（2）設(shè)購進(jìn)籃球m個(gè)，排球（100-m）個(gè)，根據(jù)題意得不等式組即可得到結(jié)果.

解：（1）設(shè)每個(gè)籃球和每個(gè)排球的銷售利潤分別為x元，y元，（1分）

答：每個(gè)籃球和每個(gè)排球的銷售利潤分別為25元，20元.（4分）

（2）設(shè)購進(jìn)籃球m個(gè)，排球（100-m）個(gè)，

根據(jù)題意得：

∴m=34或m=35.（7分）

∴購進(jìn)籃球34個(gè)、排球66個(gè)，或購進(jìn)籃球35個(gè)、排球65個(gè)兩種購買方案.（8分）

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在第（1）小題中，利用“銷售兩種球”所獲的不同利潤，尋找等量關(guān)系，建立二元一次方程組，并按步解答，不難獲得4分；在第（2）小題中，以“所用資金”和“球類數(shù)量”為線索，尋找不等關(guān)系，從而建立不等式組.需要強(qiáng)調(diào)的是，求出的結(jié)果要進(jìn)行合理的取舍.如，求得m的取值范圍后，就需要同學(xué)們注意到“m為整數(shù)”這一隱含條件來確定m的值.而作答時(shí)，不僅僅是回答“有兩種方案”，還需回答具體的方案設(shè)計(jì)情況.看清問題的要求，作出規(guī)范的解答，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，應(yīng)成為同學(xué)們學(xué)習(xí)的常態(tài).

同學(xué)們，考試的一個(gè)特點(diǎn)是以卷面為唯一依據(jù)，這就要求我們要做到會(huì)而且對，對而且全，全而且規(guī)范.不規(guī)范的解答，諸如“跳步驟”“缺步驟”“游離解題計(jì)劃”等是造成失分的重要根源.養(yǎng)成規(guī)范的解題習(xí)慣，注重步驟，注重細(xì)節(jié)，準(zhǔn)不吃虧.因?yàn)閿?shù)學(xué)是按步驟給分的，踩上知識點(diǎn)就給分，踩得多就給得多，這足以說明解題規(guī)范的重要性.讓規(guī)范成為一種解題習(xí)慣吧！

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學(xué)）