北京師范大學(xué)大興附屬中學(xué) 董 麗

談高考中二項(xiàng)式定理的題型

北京師范大學(xué)大興附屬中學(xué) 董 麗

二項(xiàng)式定理是高考?？嫉念}型之一,利用一些特殊的方法可以解決一些問題，本文列舉了幾種常用的方法.

二項(xiàng)式定理 通項(xiàng) 高中數(shù)學(xué)

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，涉及二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型很多，解法靈活且比較難掌握.二項(xiàng)式定理既是排列組合的直接應(yīng)用，又與概率理論中的三大概率分布之一的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系.二項(xiàng)式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題、填空題，偶爾也會(huì)有大題出現(xiàn).本文將給出二項(xiàng)式定理在高考中的六種常考題型.

類型一：求展開式中的常數(shù)項(xiàng)

A.80 B.-80 C.40 D.-40

【答案】C

A.-1320 B.1320

C．-220 D．220

【答案】C

評(píng)注：解決這類題目要抓住通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

類型二：求展開式中某一指定項(xiàng)的系數(shù)

例3（2015高考福建，理11）（x+2）5的展開式中，x2的系數(shù)等于___.（用數(shù)字作答）

【答案】80

【解析】本題考查二項(xiàng)式定理的特定項(xiàng)問題，根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和所求項(xiàng)的聯(lián)系解題，（x+2）5的展開式中x2項(xiàng)為=80 x2，所以 x2的系數(shù)等于 80.

例4（2015高考北京，理9）在（2+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為____.（用數(shù)字作答）

【答案】40

本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求出指定項(xiàng)的系數(shù)，本題屬于基礎(chǔ)題，要求正確使用通項(xiàng)公式準(zhǔn)確計(jì)算指定項(xiàng)的系數(shù).

類型三：求二項(xiàng)式中所含參數(shù)的值

例5（2015高考新課標(biāo)2，理15）（a+ x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a=_________．

【答案】3

【解析】由已知得（1+x）4=1+4x+6x2+ 4x3+x4，故（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系數(shù)之和為 4a+4a+1+6+1=32，解得a=3．

【答案】D

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于容易題，只要掌握（a+b）n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)第r+1項(xiàng)為即可建立關(guān)于a的方程，從而求解.

評(píng)注：利用展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意建立方程或不等式，求出參數(shù)的值.

【答案】-2.

類型四：求二項(xiàng)式的冪指數(shù)

例8（2015高考陜西，理4）二項(xiàng)式（x+1）n（n∈N+）的展開式中x2的系數(shù)為15，則n=（ ）

A.7 B.6 C.5 D.4

【答案】B

【解析】二項(xiàng)式（x+1）n的展開式的通項(xiàng)是，令r=2得x2的系數(shù)是C2n，因?yàn)閤2的系數(shù)為15，所以，即n2-n-30=0，解得：n=6或n=-5，因?yàn)閚∈N+，所以n=6，故選B．

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】B

類型五：求展開式中某些項(xiàng)系數(shù)的和

例10（2007高考江西，文5）設(shè)（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，則a0+a1+a2+…+a11的值為（ ）A.-2 B.-1 C.1 D.2

【答案】A

A.2 B.0 C.-1 D.-2

【答案】C

評(píng)注：此類題用賦值法能較好地解答.

類型六：利用二項(xiàng)式定理解整除問題

A.x=4，n=3 B.x=4，n=4

C.x=5，n=4 D.x=6，n=5

【答案】C

以上介紹了近年來高考對(duì)二項(xiàng)式定理問題考查的六種類型，掌握好上述常規(guī)的二項(xiàng)式定理題目的解題方法，無疑對(duì)我們后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，以及將來的高考吃了一顆制勝的定心丸.

[1]人教A版教材選修2-3

[2]歷年高考真題