蔡艷平, 徐光華, 李艾華, 王 濤

(1.西安交通大學 機械工程學院，西安 710049；2.西安交通大學 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049；3.火箭軍工程大學，西安 710025)

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EMD局部積分均值增密插值改進算法及其在轉子故障診斷中的應用

蔡艷平1，3, 徐光華1，2, 李艾華3, 王 濤3

(1.西安交通大學 機械工程學院，西安 710049；2.西安交通大學 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049；3.火箭軍工程大學，西安 710025)

包絡擬合是EMD(Empirical Mode Decomposition)算法的一個關鍵環(huán)節(jié)，針對EMD包絡擬合問題，提出一種基于局部積分均值增密約束三次樣條插值的EMD改進算法。該方法利用定比分點法來增密EMD樣條插值型值點，利用分段約束三次樣條插值來抑制傳統(tǒng)EMD包絡過沖與欠沖問題，利用內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)直接篩選方法來減少EMD計算局部均值時的樣條插值次數(shù)。仿真分析驗證了改進算法的有效性，將改進算法應用在轉子故障振動信號的實例分析中，結果表明，改進算法提高了EMD的分解精度，更加準確地提取了油膜渦動信號的故障特征。

旋轉機械; 故障診斷; 經(jīng)驗模態(tài)分解; 樣條插值; 包絡擬合

EMD[1]是由美國航空航天局 HUANG于1998年提出，被認為是近年來應用最廣泛的時間序列分析方法。由于EMD是完全自適應的，尤其適用于非線性和非平穩(wěn)過程分析，因此被廣泛應用在機械的故障診斷中[2-5]。EMD包絡擬合是EMD算法中的一個關鍵問題，EMD篩分出的IMF幾乎都與包絡擬合方法有關。因此，計算各層信號極值點包絡均值曲線是EMD的核心所在，它的好壞直接影響到EMD的分解結果。

在標準EMD中，EMD包絡曲線擬合是采用三次樣條插值求取的，存在過沖、欠沖問題和篩分速度慢等問題，為解決EMD包絡擬合問題，許多學者提出了改進方法，大致分為以下二類：

(1) 包絡平均法。用極大、極小極值點分別插值求包絡，再采用包絡平均作為極值點局部均值的方法，如三次樣條插值法[1]、阿克瑪(Akima)插值法[6]、分段冪函數(shù)插值法[6-7]、高次樣條插值法[8]等。這些方法均各有所長，也各有所短，如阿克瑪插值法是一種自適應性比三次樣條插值好的非均勻點曲線插值算法，計算量小，應用靈活，但是其光滑性較差，擬合的曲線有時顯得“過于柔軟”，甚至出現(xiàn)明顯的“折點”。分段冪函數(shù)法與三次樣條插值和阿克瑪插值法相比，分段冪函數(shù)法光滑性較好，同時具有較好的抗過沖和欠沖性能，但其光滑性較三次樣條插值差。高次樣條插值法雖然可以提高曲線擬合和EMD分解精度，但計算復雜性大，耗時多，而且算法精度的提高并不是與插值次數(shù)成正比，而是到一定的階數(shù)后，精度不再提高。另外，該方法并未解決三次樣條插值帶來的過沖和欠沖問題，只是提高了算法的精度而已。

(2) 局部均值直接求取法。通過對極值點直接求取局部均值時間序列，再通過對局部均值時間序列進行一次插值來求取局部均值的方法，如B樣條插值法[9]、自適應時變?yōu)V波法[10]、局域中值定理分解方法[11]、穩(wěn)定點均值篩法[12]。上述這些方法雖減少了運算量和1次三次樣條的過沖及欠沖問題，但是通過極值點構建的局部均值時間序列中，局部均值位置tξ的粗略估計雖然簡化了算法，卻影響了加權系數(shù)的準確性，導致局部均值的估計仍存在誤差。另外，對于局部均值的包絡曲線擬合，文獻[10-11]仍采用了傳統(tǒng)三次樣條，而三次樣條對非均勻插值點，易產(chǎn)生過沖和欠沖現(xiàn)象，進而破壞信號的模態(tài)結構，造成分解誤差，而且還會造成EMD的過分解，從而產(chǎn)生虛假的頻率成分，影響瞬時頻率的計算，因此EMD中的包絡擬合仍需要進一步完善。

針對EMD中三次樣條插值的過沖、欠沖問題和篩分速度等問題，本文擬從三個不同角度出發(fā)，提出一種基于局部積分均值增密約束三次樣條插值的EMD改進算法，并成功應用于轉子油膜渦動的故障監(jiān)測診斷中。

1 EMD包絡擬合問題分析

在標準EMD中，EMD包絡曲線擬合是采用三次樣條插值求取的，即先找出信號的所有極大值和極小值點，然后分別用三次樣條插值法來對極大值點、極小值點序列插值，從而獲得上、下包絡，再由上、下包絡線求信號的局部均值，以篩出信號的IMF。這里可通過一個仿真信號的EMD分解來分析其“包絡擬合“的問題，仿真信號的表達式為：

x(t)=cos(2π×3t)+0.4cos(2π×10t)+

0.9sin(2π×25t)

(1)

仿真信號采樣頻率為1 024，數(shù)據(jù)長度為100。仿真信號的三次樣條包絡曲線插值見圖1，其中實線是原始信號，虛線是基于三次樣條插值求取的包絡均值。

圖1 EMD中三次樣條插值的過沖與欠沖問題Fig.1 The problem of the cubic spline interpolation overshoot and undershoot in EMD

從圖1可以看出，三次樣條插值產(chǎn)生了過沖和欠沖現(xiàn)象，破壞了EMD的模態(tài)結構，造成了較大誤差，且其上、下包絡曲線還產(chǎn)生了端點效應問題。傳統(tǒng)EMD上下包絡均值求解存在的兩大不足：①三次樣條插值的過沖欠沖問題；②一次包絡均值的計算需2次三次樣條擬合，計算量大。

2 EMD包絡擬合的局部積分均值增密插值改進算法

在EMD包絡擬合問題分析基礎上，基于插值擬合算法改進的思想，從消除三次樣條插值的過沖、欠沖影響出發(fā)，本文在EMD包絡曲線擬合中首先引入一種基于約束條件的分段約束三次樣條插值，約束三次樣條插值算法詳見文獻[13]。為了介紹分段插值算法，這里給出一個定理。

定理1[14]已知P0(x0,y0),P1(x1,y1),… ,Pn(xn,yn),n≥3，且x0≤x1≤…≤xn，S(x;xi-1,xi,xi+1)為經(jīng)過插值點Pi-1,Pi,Pi+1，1≤i≤n-1的插值函數(shù)，且S(x;xi-1,xi,xi+1)一階連續(xù)可導，令：

x∈[xk,xk+1],1≤k≤n-2

(2)

則S(x)是關于點P0(x0,y0),P1(x1,y1),… ,Pn(xn,yn),n≥3的插值函數(shù)，且S(x)∈C1(x0,xn)。

定理1的證明見文獻[14]，定理1所描述的實際上是一種分段插值法，每個分段為一個插值函數(shù)的加權平均，本文將約束三次樣條插值應用在分段插值法中，提出一種分段約束三次樣條插值算法，其算法如下：

步驟1 設插值點P0(x0,y0),P1(x1,y1),…,Pn(xn,yn),n≥3，且x0≤x1≤…≤xn，采用約束三次樣條插值分別求出關于插值點Pi-1,Pi,Pi+1，1≤i≤n-1的約束三次樣條插值函數(shù)；

步驟2 用式(2)求取P0(x0,y0),P1(x1,y1),…,Pn(xn,yn),n≥3的插值函數(shù)S(x)；

步驟3 輸出分段約束三次樣條插值算法。

圖2給出了采用傳統(tǒng)三次樣條插值和分段約束三次樣條插值進行EMD包絡曲線擬合的對比，其中采用分段約束三次樣條求得的包絡曲線為虛線表示，實線包絡為傳統(tǒng)三次樣條插值的結果。從圖中可以看出，本文提出的分段約束三次樣條插值算法對EMD包絡的過沖及欠沖問題得到了抑制。

圖2 不同三次樣條插值EMD包絡曲線對比Fig.2 Comparing the EMD envelope curve by different cubic spline interpolation

在插值算法改進基礎上，本文同時將從另外二個角度繼續(xù)對EMD包絡擬合問題進行改進，以期進一步提高EMD包絡擬合的精度和速度：① 基于局部均值點直接求取的思想，通過信號的極值點先計算出信號的局部均值點，再由局部均值點直接通過樣條插值擬合得到局部均值，以此減少傳統(tǒng)EMD計算局部均值時的樣條插值次數(shù)；② 由于樣條插值的精度取決于其插值型值點密集程度，因此通過型值點增密算法提高樣條插值精度，以此減少三次樣條插值包絡擬合中的過沖和欠沖。

基于上述三方面的改進思路，本文提出一種基于增密約束三次樣條插值的EMD改進算法(APCEMD)，其基本思想是利用定比分點法來增密樣條插值型值點，利用基于約束條件的分段約束三次樣條插值來抑制過沖與欠沖問題，利用IMF直接篩選方法來避免計算一次局部均值時需要使用兩次三次樣條插值的不足。通過上述三方面的同時改進，以此來提高標準EMD算法的包絡曲線擬合精度，其算法流程見圖3。

圖3 EMD包絡擬合改進算法流程Fig.3 Theimproved EMD envelope fitting algorithm process

APCEMD具體算法流程如下：

步驟1 找出待分解信號x(t)的所有極值點，并用(tk,xk)表示x(t)的第k個極值點，其中極大值點序列為xmax，極小值點序列為xmin，極大值點對應的時間序列為tmax，極小值點對應的時間序列為tmin；

(3)

步驟6：采用分段約束三次樣條插值算法對排列后的局部均值點進行插值，將插值得到的包絡曲線作為EMD中信號的局部均值曲線；

步驟7：根據(jù)EMD雙閾值終止準則循環(huán)運算，得到IMF。

3 仿真分析

為了比較EMD與本文提出的分段約束三次樣條插值EMD算法(CEMD)和APCEMD算法的不同，建立仿真信號如下：

x(t)=cos(2π×400t+0.5cos(2π×25t))

(4)

仿真信號的采樣頻率為2 kHz，信號長度為1 024。對x(t)進行APCEMD分解和EMD分解，分解結果分別如圖4～圖6所示。從圖4中可以看出，APCEMD分解結果為3個IMF分量和1個殘余項Res.，而在圖5、圖6中，EMD將仿真信號分解為5個IMF分量和1個殘余項Res.。不難看出，在圖5、圖6的EMD、CEMD分解中，IMF4和IMF5事實上是沒有任何物理意義的偽分量，而在圖4的APCEMD分解中，其IMF分量準確分離了信號中內(nèi)在的振蕩模式，也就是說，其每一個IMF分量都具有物理意義。

圖4 仿真信號的APCEMD分解Fig.4 The simulation signal APCEMD decomposition

圖5 仿真信號的CEMD分解Fig.5 The simulation signal CEMD decomposition

圖6 仿真信號的EMD分解Fig.6 The simulation signal EMD decomposition

與傳統(tǒng)EMD算法相比，APCEMD雖然在篩選IMF過程中，增加了局部積分均值的求解和局部均值的增密計算，表面上看，APCEMD的計算比傳統(tǒng)EMD算法復雜，但由于APCEMD通過增密局部均值點，增加了分段約束三次樣條插值型值點，提高了樣條插值精度。同時采用分段約束三次樣條插值抑制了傳統(tǒng)三次樣條插值的過沖與欠沖問題。另外，由于APCEMD基于局部均值點直接篩選IMF方法，避免了傳統(tǒng)EMD中計算一次局部均值時需要使用2次三次樣條插值的不足，在某種程度上也減小1次三次樣條插值的過沖與欠沖問題。因此，APCEMD每次求得的局部均值曲線都更接近于理想曲線，這樣APCEMD只需要較少次“篩”的過程就可以形成IMF，其分解效率高。相反，CEMD雖然改進了包絡插值算法，但由于分段后插值型值點密度不夠等原因，仍出現(xiàn)了分解誤差。相比之下，傳統(tǒng)EMD在“篩”的過程中存在過沖與欠沖問題，需要多次“篩”的過程來形成IMF，甚至還會出現(xiàn)多個偽分量“篩”的過程，而在EMD分解過程中，最消耗時間的就是每“篩”出一個IMF都要進行若干次三次樣條插值，因而其分解效率低。計算表明：仿真信號的EMD分解耗時1.89 s，CEMD分解耗時1.76 s，而APCEMD分解耗時1.16 s，EMD運算速度提高了近1倍。因此APCEMD的分解誤差更小一些，其IMF物理意義更明確一些，運算速度也更快一些。

為了進一步分析APCEMD、CEMD、EMD的不同，對仿真信號經(jīng)APCEMD、CEMD與EMD分解得到的IMF進行HHT時頻分析。圖7給出了仿真信號APCEMD分解的HHT時頻圖，從圖7中可以清楚地看出400 Hz載波頻率成分和25 Hz的調(diào)制頻率成分，且載波頻率成分和調(diào)制頻率成分表現(xiàn)出的波動性也被反映出來。

圖7 仿真信號APCEMD分解的HHT時頻圖Fig.7 HHT time-frequency diagram of the simulation signal APCEMD decomposition

圖8為仿真信號CEMD分解的HHT時頻圖，圖9為仿真信號EMD分解的HHT時頻圖，從圖8、圖9中可以清楚地看出25 Hz的調(diào)制頻率成分，但400 Hz載波頻率成分卻表現(xiàn)出來為多種信息的疊加結果，真正的400 Hz載波頻率成分被“偽頻率分量”所掩蓋，其中圖9的“偽頻率分量”顯得幅度更大些。以上仿真對比分析說明，APCEMD方法相比CEMD、EMD方法來說，其分解出的分量更準確，誤差更小。

圖8 仿真信號CEMD分解的HHT時頻圖Fig.8 HHT time-frequency diagram of the simulation signal CEMD decomposition

圖9 仿真信號EMD分解的HHT時頻圖Fig.9 HHT time-frequency diagram of the simulation signal EMD decomposition

4 轉子油膜振蕩故障診斷實例

圖10為轉子試驗臺測試系統(tǒng)圖。在轉子實驗臺上模擬油膜振蕩故障，用電渦流位移傳感器測量轉子的徑向振動量，進行整周期等相位采樣，采樣頻率為2 kHz。圖11為轉子油膜振蕩故障振動信號的時域波形，采樣點數(shù)為1 024。這里用EMD方法與CEMD方法、APCEMD方法分別對轉子油膜振蕩故障振動信號進行分析，圖12為應用EMD方法的分解結果，圖13為應用CEMD方法的分解結果，圖14為應用本文提出的APCEMD分解結果。

圖10 轉子試驗臺測試系統(tǒng)圖Fig.10 Test system of rotor experiment platform

圖11 轉子油膜振蕩故障振動信號時域波形Fig.11 Rotor oil film oscillation fault vibration signal time domain waveform

圖12 轉子故障振動信號標準EMD分解結果Fig.12 Rotor fault vibration signal standard EMD decomposition results

圖13 轉子故障振動信號CEMD分解結果Fig.13 Rotor fault vibration signal CEMD decomposition results

圖14 轉子油膜振蕩故障振動信號APCEMD分解結果Fig.14 Rotor fault vibration signal standard APCEMD decomposition results

在圖12中，EMD由上至下依次為分解得到的8個IMF分量和1個殘余量，在圖13、圖14中，經(jīng)過CEMD方法、APCEMD方法的信號分解結果中，IMF的個數(shù)明顯少于標準EMD。為更準確地反映出圖12～圖14中的IMF特征信息，對上述油膜振蕩故障振動信號經(jīng)APCEMD、CEMD與EMD分解得到的IMF進行HHT時頻分析。圖15為用EMD方法得到的HHT時頻分布圖，其HHT時頻圖雖然基本能看出1倍頻和0.5倍頻振動模態(tài)，但1倍頻的頻率調(diào)制現(xiàn)象沒有反映出來。另外，在HHT時頻圖中還出現(xiàn)了嚴重的偽時頻譜現(xiàn)象，這是由于EMD三次樣條包絡擬合導致的分解偏差，致使EMD分解的結果中出現(xiàn)了許多偽分量造成的，這從圖14中1倍頻附近出現(xiàn)的偽頻率分量可以看出。

圖15 基于EMD方法的HHT時頻圖Fig.15 The HHT time-frequency diagrams based on the EMD method

圖16為用CEMD方法得到的HHT時頻分布圖，其HHT時頻圖比圖13中的HHT時頻分布圖更能清楚地看出1倍頻和0.5倍頻振動模態(tài)，但1倍頻的頻率調(diào)制被偽時頻譜所干擾，調(diào)制現(xiàn)象不理想，且0.5倍頻振動模態(tài)也太不清晰，這說明CEMD雖能改進EMD分解結果，但包絡擬合的插值精度仍不夠?qū)е碌姆纸馄睿率笶MD分解的結果中出現(xiàn)了許多偽分量造成的。

圖16 基于EMD方法的HHT時頻圖Fig.16 The HHT time-frequency diagrams based on the EMD method

圖17為APCEMD方法得到的HHT時頻分布圖。從圖17中可以看出：HHT時頻圖上主要頻率分布為1倍頻及0.5倍頻成分，且0.5倍頻振動模態(tài)振幅較大，1倍頻顯示出明顯的頻率調(diào)制現(xiàn)象，這說明本文所提方法得到的HHT時頻分析結果能較理想地提取轉子油膜振蕩的故障特征。

圖17 基于APCEMD方法的HHT時頻圖Fig.17 The HHT time-frequency diagrams based on the APCEMD method

分析產(chǎn)生上述結果的原因主要如下：標準EMD采用三次樣條插值進行包絡曲線擬合時，易產(chǎn)生過沖和欠沖現(xiàn)象，破壞信號的模態(tài)結構，造成較大誤差。CEMD雖然采用的是分段約束三次樣條插值算法，改進了1次三次樣條的過沖及欠沖問題，但由于插值過程中的插值點不夠會造成部分插值誤差，從而引起EMD的過分解，導致產(chǎn)生虛假的頻率成分，影響瞬時頻率的計算，因此CEMD中的包絡擬合仍不完善。本文提出的APCEMD方法，較現(xiàn)有包絡擬合方法的優(yōu)勢在于，改進了包絡平均法中的插值函數(shù)，提出了一種基于約束條件的分段約束三次樣條插值來來抑制三次樣條插值法、Akima插值法、分段冪函數(shù)插值法、高次樣條插值法存在的問題，同時利用定比分點法來增密樣條插值型值點，改進了局部均值直接求取法中的插值型點問題，減小了局部均值直接求取法的插值誤差。同時還采用IMF直接篩選方法來避免計算一次局部均值時需要使用兩次三次樣條插值的不足，吸取了局部均值直接求取法的優(yōu)勢，因此，通過上述三個方面的同時改進，APCEMD具有較大的優(yōu)勢。

但從圖14和圖17中可以看出，APCEMD相對于標準EMD來說，盡管通過解決EMD包絡擬合問題最終能診斷出轉子油膜振蕩故障，但其APCEMD分解圖和HHT時頻分布圖仍能看出改進算法中存在部分端點效應問題和模態(tài)混疊問題，但相對于標準EMD、CEMD來說上述問題已有改善。因此，這說明APCEMD除了提高包絡擬合精度和運算速度外，還能改善標準EMD中的部分端點效應問題和模態(tài)混疊問題，這說明EMD包絡擬合算法的好壞，與EMD最終分解結果好壞有直接關系。當然，不考慮算法實時性的情況下，為了避免因端點效應、模態(tài)混疊等因素對EMD結果的影響，以得到更高精度的EMD分解效果，在APCEMD的應用中應盡量對信號的邊界進行延拓，并對EMD的模態(tài)混疊問題進行改進。

5 結 論

(1) 分析了包絡曲線擬合中三次樣條插值的不足，從抑制三次樣條插值的過沖、欠沖影響出發(fā)，在EMD包絡曲線擬合中提出一種基于約束條件的分段約束三次樣條插值，仿真表明，EMD包絡的過沖及欠沖問題得到了改善。

(2) 提出一種基于局部積分均值增密分段約束三次樣條插值的EMD改進算法，利用定比分點法來增密樣條插值型值點，利用分段約束三次樣條插值來抑制過沖與欠沖問題，利用IMF直接篩選方法來避免計算一次局部均值時需要使用兩次三次樣條插值的不足。通過仿真對比表明，在分解精度上均要好于EMD、CEMD分解方法。

(3) 將本文改進方法應用于轉子油膜渦動的故障監(jiān)測診斷中，成功地提取出轉子油膜渦動的故障特征，并與EMD、CEMD算法進行了對比，結果表明，改進EMD能夠更準確地提取轉子油膜振蕩故障特征。

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A improved EMD algorithm based on local integral average constraint cubic spline interpolation by adding dense points and its application in rotary machine fault diagnosis

CAI Yanping1,3, XU Guanghua1,2, LI Aihua3, WANG Tao3

(1. School of Mechanical Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049, China;2. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049, China;3. Department No.5, Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China)

Envelope fit is a key link of empirical mode decomposition (EMD). The current methods for solving EMD envelope fit problems have two kinds including the envelope average method and the local mean direct strike method. But, these two methods have cubic spline interpolation overshoot and undershoot, screening speed or local mean estimate errors and other problems. For envelope fit problems of EMD, an improved EMD algorithm was proposed here, based on the constraint cubic spline interpolation with local integral average and adding dense points. The constant proportion division point method was used to add dense points of EMD spline interpolation, the piecewise constrained cubic spline interpolation was employed to suppress EMD envelope overshoot and undershoot problems, and the IMF (intrinsic mode function) direct screening method was adopted to reduce spline interpolation times when calculating the EMD local average. Based on the implement of three above aspects to improve EMD, the proposed method can improved the standard EMD algorithm calculation speed and the envelope curve fitting accuracy. The simulated signals and rotor fault vibration signals analyses showed that the proposed method possesses better advantages both in fitting error and operation speed, the EMD decomposition accuracy and decomposition efficiency increase. Lastly, the proposed method was successfully applied in the fault diagnosis of rotary machines.

rotating machinery; fault diagnosis; empirical mode decomposition (EMD); spline interpolation; envelope fit

國家自然科學基金(51405498);陜西省自然科學基金(2013JQ8023);中國博士后基金(2015M582642)

2015-06-04 修改稿收到日期：2015-08-06

蔡艷平 男，博士后，碩士生導師，1982年生

TN911.7；TH165.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.19.014