夏新濤，葉亮，李云飛，常振

（河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽471003）

基于多層自助最大熵法的可靠性評(píng)估

夏新濤，葉亮，李云飛，常振

（河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽471003）

在小樣本無任何先驗(yàn)信息的條件下，提出多層自助最大熵評(píng)估模型分析機(jī)械產(chǎn)品壽命可靠性。用自助法對(duì)當(dāng)前無失效數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行再抽樣，獲得足夠的樣本數(shù)據(jù)?；谧畲箪胤?，改變抽樣個(gè)數(shù)得到不同的拉格朗日乘子。再次運(yùn)用自助法對(duì)拉格朗日乘子的小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行再抽樣，基于最大熵法獲得拉格朗日乘子的區(qū)間估計(jì)。對(duì)每個(gè)拉格朗日乘子的上下限進(jìn)行排列組合，得到多個(gè)概率密度函數(shù)和可靠性函數(shù)，運(yùn)用最小不確定性原理得到可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)。試驗(yàn)研究表明，多層自助最大熵評(píng)估模型可以有效地解決概率分布已知或未知的小樣本無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估問題。

系統(tǒng)評(píng)估與可行性分析；可靠性評(píng)估；多層自助最大熵法；乏信息；無失效數(shù)據(jù)；拉格朗日乘子

0 引言

目前，無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估方法主要有經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法和貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論認(rèn)為，通過實(shí)驗(yàn)獲得的失效數(shù)據(jù)越多，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評(píng)估的結(jié)果越準(zhǔn)確。但是，對(duì)于許多高可靠性或危險(xiǎn)的試驗(yàn)來說，很難獲得失效數(shù)據(jù)，例如高端武器和航天航空飛行器的試驗(yàn)等。因此，無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估問題日益引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注。在機(jī)械產(chǎn)品可靠性試驗(yàn)中，獲得的數(shù)據(jù)通常有3類，即失效數(shù)據(jù)、不完全失效數(shù)據(jù)、無失效數(shù)據(jù)。目前，對(duì)失效數(shù)據(jù)的研究已經(jīng)達(dá)到比較高的水平。然而對(duì)無失效數(shù)據(jù)的研究還不夠深入，因此這也是長(zhǎng)期以來國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。

關(guān)于無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析，很多研究工作已經(jīng)取得了相應(yīng)的成果。如傅惠民等［1］提出一種Weibull分布定時(shí)無失效數(shù)據(jù)可靠性分析方法，在形狀參數(shù)下限已知的情況下，給出了可靠度和使用壽命的單側(cè)置信下限，從而能夠根據(jù)定時(shí)無失效數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行高置信水平的可靠性評(píng)定；王憑慧等［2］在高置信水平下提出了一種衛(wèi)星推力器無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析方法；李寶盛等［3］求出了工作壽命可靠度置信區(qū)間的解析公式，計(jì)算和分析了不同試驗(yàn)樣本工作壽命可靠度的置信限，得出了對(duì)可靠性評(píng)估有指導(dǎo)意義的結(jié)論；蒲星［4］運(yùn)用Bayes方法對(duì)無失效數(shù)據(jù)問題進(jìn)行了有效的可靠性研究，分析了無失效數(shù)據(jù)產(chǎn)生的原因，并提出了運(yùn)用黃金分割系數(shù)求失效概率的方法。但召江等［5］在形狀參數(shù)先驗(yàn)分布分別為均勻分布與擬合出的概率分布時(shí)，利用無失效試驗(yàn)數(shù)據(jù)得出失效率和形狀參數(shù)的Bayes估計(jì)，進(jìn)而計(jì)算出Weibull分布的特征壽命；Jiang等［6］提出了運(yùn)用修整極大似然方法估計(jì)威布爾分布的參數(shù)。在國(guó)外，Nam等［7］以深溝球軸承為例，研究了軸承在高溫條件下的壽命可靠性；Bailey［8］基于無失效數(shù)據(jù)，建立了二項(xiàng)概率分布的預(yù)測(cè)模型；Kwon［9-10］基于Bayes方法，分別針對(duì)壽命服從Weibull分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的產(chǎn)品，提出了無失效數(shù)據(jù)樣本的可靠性驗(yàn)證方法。

對(duì)于未知概率分布的小樣本數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估問題，現(xiàn)有的可靠性評(píng)估方法難以解決，到目前為止還是一個(gè)重要的科學(xué)技術(shù)難題。鑒于此，夏新濤等［11］以灰色系統(tǒng)的基本原理為依據(jù)，構(gòu)建出特殊的灰相似空間，允許概率分布未知和數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)很少（n≥4）。賈波等［12］在仿真實(shí)現(xiàn)過程中，發(fā)現(xiàn)最大熵方法存在溢出的問題，通過變量變換法成功解決了此問題。夏新濤等［13］將灰自助原理融入泊松過程，提出灰自助泊松方法，以預(yù)測(cè)滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能可靠性的變異過程。基于最大熵法，胡松偉［14］提出了火工品類關(guān)鍵單元可靠性驗(yàn)證的LQB型方案。在國(guó)外，Yeom等［15］提出改進(jìn)的最大熵抽樣方法，從而使大多數(shù)抽樣點(diǎn)落在一個(gè)用復(fù)雜的非線性函數(shù)表示的可行域內(nèi)；Young等［16］基于最大熵原理，求解第一結(jié)尾時(shí)間序列的可靠性邊界。

根據(jù)測(cè)量理論和統(tǒng)計(jì)理論，任何參數(shù)估計(jì)都伴隨不確定性，可靠性評(píng)估中的不確定性可以用可靠性估計(jì)區(qū)間來表示?，F(xiàn)有可靠性理論把拉格朗日乘子當(dāng)作常數(shù)，而Bayes理論認(rèn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)上的參數(shù)可當(dāng)作變量，可以對(duì)參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，因而也能對(duì)可靠性函數(shù)做出區(qū)間估計(jì)。因此本文對(duì)于只有無失效數(shù)據(jù)而沒有概率分布任何先驗(yàn)信息條件下機(jī)械產(chǎn)品的可靠性評(píng)估問題，提出了多層自助最大熵評(píng)估模型來分析機(jī)械產(chǎn)品壽命可靠性。具體過程如下:首先，運(yùn)用自助法對(duì)小數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行等概率可放回再抽樣，獲得大量樣本數(shù)據(jù)。改變每次抽樣個(gè)數(shù)，基于最大熵法，可得到多個(gè)不同的拉格朗日乘子。然后，再次利用自助法對(duì)所有的拉格朗日乘子進(jìn)行再抽樣，多次使用最大熵法獲得每個(gè)拉格朗日乘子的區(qū)間估計(jì)。最后，對(duì)各個(gè)拉格朗日乘子的上下限進(jìn)行排列組合，得到多個(gè)概率密度函數(shù)和可靠性函數(shù)，根據(jù)最小不確定性原理獲得可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)。通過試驗(yàn)證明運(yùn)用該方法能夠?qū)煽啃院瘮?shù)做出合理的區(qū)間估計(jì)，分析結(jié)果真實(shí)可信。

1 多層自助最大熵法原理

1.1 自助法原理

假設(shè)通過試驗(yàn)獲得一組無失效數(shù)據(jù)序列X，用向量表示為

式中:xl為第l個(gè)無失效數(shù)據(jù)；n為無失效數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

從無失效數(shù)據(jù)樣本X中等概率可放回地抽樣，每次抽取t個(gè)數(shù)據(jù)，連續(xù)重復(fù)抽取B次，可以得到自助樣本Xt為

式中:t為每次抽取原始樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；k為生成自助樣本的數(shù)據(jù)序號(hào)；xt（k）為每次抽取t個(gè)數(shù)據(jù)生成自助樣本的第k個(gè)數(shù)據(jù)。

1.2 基于最大熵方法求解概率密度函數(shù)

最大熵方法能夠?qū)ξ粗母怕史植甲龀鲋饔^偏見為最小的最佳估計(jì)。在求解過程中，引入拉格朗日乘子，從而把概率分布問題轉(zhuǎn)化為拉格朗日乘子的求解問題。

為了敘述方便，將離散的無失效數(shù)據(jù)序列X連續(xù)化，定義最大熵的表達(dá)式為

式中:f（x）為連續(xù)化后的數(shù)據(jù)序列的概率密度函數(shù)；Inf（x）為概率密度函數(shù)的對(duì)數(shù)；S為積分區(qū)間。

通過調(diào)整f（x）可以使熵達(dá)到最大值，同時(shí)采取拉格朗日乘子法求解。設(shè)為拉格朗日函數(shù)，可得

式中:v為原點(diǎn)矩階數(shù)，常用v=5；mλ為第λ階原點(diǎn)矩；xλ為求解第λ階原點(diǎn)矩時(shí)f（x）的系數(shù)；cλ為第λ+1個(gè)拉格朗日乘子，λ=0，1，…，v.

其他m個(gè)拉格朗日乘子應(yīng)滿足

1.3 積分區(qū)間的映射

為了使求解收斂，將無失效數(shù)據(jù)按遞增的順序排列并分成j組，畫出直方圖，同時(shí)可得到組中值z(mì)q和頻數(shù)pq，q=2，3，…，j+1.然后將直方圖擴(kuò)展成j+ 2組，并令p1=pj+2.將原始數(shù)據(jù)區(qū)間S映射到區(qū)間［-e，e］中，具體如下:

令

式中:a、b為映射參數(shù)；w為所要變換的自變量；x∈［-e，e］，

由dx=dw/a可得

因此，最大熵概率分布密度函數(shù)由（6）式變換為

1.4 求解概率密度函數(shù)的上下限

現(xiàn)有可靠性理論把拉格朗日乘子當(dāng)做常數(shù)，不能獲得概率密度函數(shù)的上下限。因此，本文根據(jù)Bayes原理，把拉格朗日乘子當(dāng)做變量，運(yùn)用多層自助最大熵方法求出概率密度函數(shù)的上下限。

改變抽樣個(gè)數(shù)k，基于自助最大熵法可得到不同的拉格朗日乘子Cλ和映射參數(shù)a、b.

式中:cλ（t）為每次抽取t個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)的第λ+1個(gè)拉格朗日乘子系數(shù)；a（t）、b（t）為每次抽取t個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)的區(qū)間映射參數(shù)。

1.4.1 各個(gè)拉格朗日乘子的區(qū)間估計(jì)

將各個(gè)拉格朗日乘子作為源信息樣本，再進(jìn)行等概率可放回地抽樣?；谧畲箪胤椒ǎ汕蠼獾酶鱾€(gè)拉格朗日乘子的區(qū)間估計(jì)。

假設(shè)顯著性水平為α，α∈［0，1］，則置信水平P為

各個(gè)拉格朗日乘子cλ在置信水平P下的下邊界值設(shè)為cλL，則有

式中:cλ0為積分變量初始值。

因此，參數(shù)的估計(jì)區(qū)間為

1.4.2 映射參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

1.4.3 概率密度的上下界函數(shù)求解

分別將拉格朗日乘子的上限或下限值，映射參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值代入（13）式中，由排列組合原理，可得2v+1條概率密度函數(shù)曲線的表達(dá)式為

式中:i為概率密度函數(shù)的序號(hào)；c0i為第i個(gè)概率密度函數(shù)的第1個(gè)拉格朗日系數(shù)，c0i=c0L或c0i=c0U；cλi為第i個(gè)概率密度函數(shù)的第λ+1個(gè)拉格朗日系數(shù)，cλi=cλL或cλi=cλU，cλU、cλL分別為拉格朗日乘子cλ的上下限。

定義概率密度估計(jì)真值函數(shù)f0（x）為

式中:f0（x）為每次抽取原始樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n時(shí)的概率密度函數(shù)；c00、cλ0分別為每次抽取n個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)的第1個(gè)和第λ+1個(gè)拉格朗日系數(shù)；a0、b0為每次抽取n個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)的區(qū)間映射參數(shù)。

根據(jù)最小不確定性原理，可以從概率密度函數(shù)曲線中得到距離概率密度估計(jì)真值函數(shù)f0（x）最近的上下兩條曲線，即最大熵概率密度分布的上下界函數(shù)fU（x），fL（x）.

1.5 可靠性的上下界函數(shù)求解

1.5.1 可靠性估計(jì)真值函數(shù)

將每次抽取原始無失效數(shù)據(jù)樣本個(gè)數(shù)n時(shí)計(jì)算所得的可靠性函數(shù)作為其估計(jì)真值函數(shù)R0（x），具體計(jì)算如下:對(duì)最大熵概率密度估計(jì)真值函數(shù)f0（x）積分，得到最大熵概率分布估計(jì)真值函數(shù)F0（x）為

式中:S0為積分區(qū)間下限值。

設(shè)可靠性系數(shù)為rc，由個(gè)體無失效數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n可得總體的失效概率估計(jì)真值函數(shù)P0（x）為

總體可靠性估計(jì)真值函數(shù)也即最大熵可靠性估計(jì)真值函數(shù)R0（x）為

1.5.2 可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)

將最大熵概率密度分布的上下界函數(shù)fU（x）、fL（x）分別代入式（26）、（27）、（28）中，可求解出可靠性函數(shù)的上下界曲線RU（x）、RL（x）為

給定置信水平P，根據(jù)可靠性函數(shù)的真值估計(jì)曲線R0（x），得到估計(jì)真值x0.將其代入到可靠性函數(shù)的上下限中，計(jì)算出可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)為

2 試驗(yàn)研究

案例1 根據(jù)文獻(xiàn)［17］，認(rèn)為軸承的壽命概率分布為威布爾分布。對(duì)20套軸承進(jìn)行壽命試驗(yàn)，獲得的無失效數(shù)據(jù)如下:

X=（422，422，539，539，539，539，602，602，

770，770，770，770，847，847，847，

847，924，924，924，924）.

用自助法每次抽取20個(gè)數(shù)據(jù)，共抽取30 000次，所得數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 自助法獲取軸承樣本數(shù)據(jù)Fig.1 Sample data of bearings obtained by bootstrap method

基于最大熵法計(jì)算可得:映射參數(shù)a0=0.016 8，b0=-11.974 0；拉格朗日乘子（c00，c10，c20，c30，c40，c50）=（-4.601 9，0.351 5，-1.135 0，-0.022 6，-0.025 2，-0.003 8）.

由（25）式可計(jì)算出概率密度估計(jì)真值函數(shù)f0（x），將f0（x）代入（26）式、（27）式、（28）式中，可得可靠性估計(jì)真值函數(shù)R0（x），如圖2所示。由圖2可得:R0（677）=0.994 5，與文獻(xiàn)［17］中運(yùn)用Bayes方法計(jì)算出的R（677）=0.9762相差0.0183.這表明自助最大熵方法的可靠性估計(jì)真值結(jié)果與用Bayes方法的可靠性估計(jì)真值結(jié)果相差很小?？梢娮灾畲箪胤椒ǐ@得的可靠性估計(jì)真值函數(shù)的擬合效果跟Bayes方法的估計(jì)結(jié)果基本一致。但是自助最大熵方法對(duì)概率分布沒有要求，而且能解決小樣本數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估問題。因此，用自助最大熵方法獲得的可靠性估計(jì)真值函數(shù)評(píng)估機(jī)械產(chǎn)品的可靠性是有效且可行的。

改變每次抽樣個(gè)數(shù)t，共抽取30 000次，可得拉格朗日乘子如表1所示。

圖2 可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線Fig.2 Estimated true value function curve of reliability

表1 改變抽樣個(gè)數(shù)所得各個(gè)拉格朗日乘子Tab.1 Lagrange multipliers obtained by changing the number of samples

設(shè)置信水平P=90%，即α=0.10，將所得的17個(gè)c0值作為樣本進(jìn)行自助再抽樣可得:置信區(qū)間的下邊界值c0L=-5.156 4；置信區(qū)間的上邊界值c0U=-4.869 1.

因此，參數(shù)c0的估計(jì)區(qū)間:［c0L，c0U］=［-5.156 4，-4.8691］.

同樣算得參數(shù)c1的估計(jì)區(qū)間:［c1L，c1U］=［0.4367，0.634 0］；參數(shù)c2的估計(jì)區(qū)間:［c2L，c2U］=［-1.004 8，-0.842 8］；參數(shù)c3的估計(jì)區(qū)間:［c3L，c3U］=［-0.015 7，0.009 9］；參數(shù)c4的估計(jì)區(qū)間:［c4L，c4U］=［-0.044 1，-0.028 4］；參數(shù)c5的估計(jì)區(qū)間:［c5L，c5U］=［-0.007 6，-0.002 3］.

改變每次抽樣個(gè)數(shù)，共抽取30 000次，可得映射參數(shù)如表2所示。

經(jīng)過計(jì)算，參數(shù)a、b的估計(jì)值分別為

分別將拉格朗日乘子的上限或下限值，映射參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值代入（24）式中，由排列組合原理和最大熵方法，可得64個(gè)概率密度函數(shù)。

表2 改變抽樣個(gè)數(shù)所得映射參數(shù)Tab.2 Mapping parameters obtained by changing the number of samples

經(jīng)過計(jì)算，由最小不確定性原理可得:當(dāng)c0= c0L=-5.156 4，c1=c1U=0.634 0，c2=c2U=-0.842 8，c3=c3U=0.009 9，c4=c4U=-0.028 4，c5=c5U= -0.002 3時(shí)，可得到可靠性函數(shù)的上限曲線RU（x）；當(dāng)c0=c0U=-4.869 1，c1=c1L=0.436 7，c2=c2L= -1.004 8，c3=c3L=-0.015 7，c4=c4L=-0.044 1，c5=c5L=-0.007 6時(shí)，可得到可靠性函數(shù)的下限曲線RL（x）.如圖3所示。

圖3 可靠性函數(shù)曲線Fig.3 Curves of reliability functions

由圖3可知可靠性函數(shù)取值隨著自變量時(shí)間的增大而逐漸減小，這是符合工程實(shí)際的。而且在x= 700 h之前，可靠性函數(shù)上下限曲線圖均與可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線圖基本完全重合。在x=700 h之后，隨著時(shí)間的增加，可靠性函數(shù)上下限曲線均越來越偏離可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線。這是因?yàn)樵诋?dāng)前時(shí)間段內(nèi)，對(duì)可靠性函數(shù)估計(jì)的不確定度較小。隨著時(shí)間變量的增大，可靠性函數(shù)的估計(jì)難度逐漸增大，對(duì)可靠性函數(shù)估計(jì)的不確定度也逐漸增大，即上下限值越來越偏離估計(jì)真值。

設(shè)可靠性系數(shù)rc=0.1，置信水平P=90%，即顯著性水平α=0.1，計(jì)算出估計(jì)真值x0:x0=826 h.可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)為

案例2 根據(jù)文獻(xiàn)［18］，認(rèn)為導(dǎo)彈壽命的概率分布為指數(shù)分布。對(duì)19個(gè)導(dǎo)彈進(jìn)行壽命試驗(yàn)，獲得的無失效數(shù)據(jù)如下:

用自助法每次抽取19個(gè)數(shù)據(jù)，共抽取30 000次，所得數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 自助法獲取導(dǎo)彈樣本數(shù)據(jù)Fig.4 Sample data of missiles obtained by bootstrap method

基于最大熵法計(jì)算可得:映射參數(shù)a0=3.575 6，b0=-6.774 8.拉格朗日乘子（c00，c10，c20，c30，c40，c50）=（0.730 4，-0.150 8，-0.939 5，0.009 6，-0.103 9，-0.013 1）.

由（25）式可計(jì)算出概率密度估計(jì)真值函數(shù)f0（x），將f0（x）代入（26）式、（27）式、（28）式中，可得可靠性估計(jì)真值函數(shù)R0（x），如圖5所示。

文獻(xiàn)［18］中運(yùn)用Bayes方法計(jì)算出R（3）= 0.916 4，運(yùn)用多層自助最大熵方法計(jì)算出的R0（3）=0.898 0，二者相差0.018 4.這表明多層自助最大熵方法的可靠性估計(jì)真值結(jié)果與用Bayes方法的可靠性估計(jì)真值結(jié)果誤差很小?？梢娮灾畲箪胤椒ǐ@得的可靠性估計(jì)真值函數(shù)的擬合效果跟Bayes方法的估計(jì)結(jié)果基本一致。但是自助最大熵方法對(duì)概率分布沒有要求，而且能解決小樣本數(shù)據(jù)（n=19）的可靠性評(píng)估問題。因此，用多層自助最大熵方法評(píng)估機(jī)械產(chǎn)品的可靠性是有效且可行的。

改變每次抽樣個(gè)數(shù)t，共抽取30 000次，所得拉格朗日乘子如表3所示。

設(shè)置信水平P=90%，即α=0.10，將所得的16個(gè)c0值作為樣本進(jìn)行自助再抽樣可得:置信區(qū)間的下邊界值c0L=0.359 4，置信區(qū)間的上邊界值c0U=0.592 4.

圖5 可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線Fig.5 Estimated true value function curve of reliability

表3 改變抽樣個(gè)數(shù)所得各個(gè)拉格朗日乘子Tab.3 Lagrange multipliers obtained by changing the number of samples

因此，參數(shù)c0的估計(jì)區(qū)間:［c0L，c0U］=［0.359 4，0.592 4］.

同樣算得參數(shù)c1的估計(jì)區(qū)間:［c1L，c1U］=［0.1934，0.363 0］；參數(shù)c2的估計(jì)區(qū)間:［c2L，c2U］=［-1.213 1，-0.998 8］；參數(shù)c3的估計(jì)區(qū)間:［c3L，c3U］=［-0.016 3，0.010 3］；參數(shù)c4的估計(jì)區(qū)間:［c4L，c4U］=［-0.043 2，0.011 1］；參數(shù)c5的估計(jì)區(qū)間:［c5L，c5U］=［-0.019 3，0.007 6］.

改變每次抽樣個(gè)數(shù)，共抽取30 000次，可得映射參數(shù)如表4所示。

經(jīng)過計(jì)算，參數(shù)a、b的估計(jì)值分別為

分別將拉格朗日乘子的上限或下限值，映射參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值代入（24）式中，由排列組合原理和最大熵方法，可得64個(gè)概率密度函數(shù)。

經(jīng)過計(jì)算，由最小不確定性原理可得:當(dāng)c0= c0L=0.359 4，c1=c1U=0.363 1，c2=c2U=-0.998 8，c3=c3U=0.010 3，c4=c4U=0.011 1，c5=c5L= -0.019 3時(shí)，可得到可靠性函數(shù)的上限曲線RU（x）；

當(dāng)c0=c0U=0.592 4，c1=c1L=0.193 4，c2=c2L= -1.2131，c3=c3L=-0.016 3，c4=c4L=-0.0432，c5=c5L=-0.019 3時(shí)，可得到可靠性函數(shù)的下限曲線RL（x）.如圖6所示。

表4 改變抽樣個(gè)數(shù)所得映射參數(shù)Tab.4 Mapping parameters obtained by changing the number of samples

圖6 可靠性函數(shù)曲線Fig.6 Curves of reliability functions

由圖6可知:可靠性函數(shù)取值隨著自變量時(shí)間的增大而逐漸減小，這是符合工程實(shí)際的。而且在x=1.9 a之前，可靠性函數(shù)上下限曲線圖均與可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線圖基本完全重合。在x=1.9 a之后，隨著時(shí)間的增加，可靠性函數(shù)上下限曲線均越來越偏離可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線。這是因?yàn)樵诋?dāng)前時(shí)間段內(nèi)，對(duì)可靠性函數(shù)估計(jì)的不確定度較小。隨著時(shí)間變量的增大，可靠性函數(shù)的估計(jì)難度逐漸增大，對(duì)可靠性函數(shù)估計(jì)的不確定度也逐漸增大，即上下限越來越偏離估計(jì)真值。

設(shè)可靠性系數(shù)rc=0.1，置信水平P=90%，即顯著性水平為α=0.1，計(jì)算出估計(jì)真值x0:x0= 2.375 a.可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)為

案例3 某電子產(chǎn)品壽命的概率分布未知，對(duì)其進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，得到的無失效數(shù)據(jù)如下:

用自助法每次抽取10個(gè)數(shù)據(jù)，共抽取30 000次，所得數(shù)據(jù)如圖7所示。

圖7 自助法獲取樣本數(shù)據(jù)Fig.7 Sample data obtained by bootstrap method

基于最大熵法可得:映射參數(shù)a0=0.150 4，b0=-5.412 8.拉格朗日乘子（c00，c10，c20，c30，c40，c50）=（-2.473 8，-0.321 1，-0.994 8，-0.023 4，-0.031 2，0.004 7）.

由（25）式可計(jì)算出概率密度估計(jì)真值函數(shù)f0（x），將f0（x）代入（26）式、（27）式、（28）式中，可得可靠性估計(jì)真值函數(shù)R0（x），如圖8所示。

改變每次抽樣個(gè)數(shù)t，共抽取30 000次，可得拉格朗日乘子如表5所示。

設(shè)置信水平P=90%，即α=0.1，將所得的7個(gè)c0值作為樣本進(jìn)行自助再抽樣可得:置信區(qū)間的下邊界值c0L=-2.772 4，置信區(qū)間的上邊界值c0U= -2.561 2.

因此，參數(shù)c0的估計(jì)區(qū)間:［c0L，c0U］=［-2.772 4，-2.561 2］.

同樣算得參數(shù)c1的估計(jì)區(qū)間:［c1L，c1U］=［-0.224 7，-0.095 6］；參數(shù)c2的估計(jì)區(qū)間:［c2L，c2U］=［-0.985 3，-0.785 4］；參數(shù)c3的估計(jì)區(qū)間:［c3L，c3U］=［0.002 0，0.032 5］；參數(shù)c4的估計(jì)區(qū)間:［c4L，c4U］=［-0.058 1，0.022 5］；參數(shù)c5的估計(jì)區(qū)間:［c5L，c5U］=［-0.002 6，0.003 1］.

表5 改變抽樣個(gè)數(shù)所得各個(gè)拉格朗日乘子Tab.5 Lagrange multipliers obtained by changing the number of samples

圖8 可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線Fig.8 Estimated true value function curve of reliability

改變每次抽樣個(gè)數(shù)，共抽取30 000次，可得映射參數(shù)如表6所示。

表6 改變抽樣個(gè)數(shù)所得映射參數(shù)Tab.6 Mapping parameters obtained by changing the number of samples

經(jīng)過計(jì)算，參數(shù)a、b的估計(jì)值分別為

分別將拉格朗日乘子的上限或下限值，映射參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值代入（24）式中，由排列組合原理和最大熵方法，可得64個(gè)概率密度函數(shù)。

經(jīng)過計(jì)算，由最小不確定性原理可得:當(dāng)c0=c0L= -2.772 4，c1=c1U=-0.095 6，c2=c2U=-0.785 4，c3=c3U=0.032 5，c4=c4U=0.022 5，c5=c5L= -0.002 6時(shí)，可得到可靠性函數(shù)的上限曲線RU（x）；當(dāng)c0=c0U=-2.561 2，c1=c1L=-0.224 7，c2=c2L=-0.985 3，c3=c3U=0.002 0，c4=c4L= -0.058 1，c5=c5U=0.003 1時(shí)，可得到可靠性函數(shù)的下限曲線RL（x）.如圖9所示。

圖9 可靠性函數(shù)曲線Fig.9 Curves of reliability functions

由圖9可知:可靠性函數(shù)取值隨著自變量時(shí)間的增大而逐漸減小，這是符合工程實(shí)際的。而且在x=33 h之前，可靠性函數(shù)上下限曲線均與可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線基本完全重合。在x=33 h之后，隨著時(shí)間的增加，可靠性函數(shù)上下限曲線均越來越偏離可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線。這是因?yàn)樵诋?dāng)前時(shí)間段內(nèi)，對(duì)可靠性函數(shù)估計(jì)的不確定度較小。隨著時(shí)間變量的增大，可靠性函數(shù)的估計(jì)難度逐漸增大，對(duì)可靠性函數(shù)估計(jì)的不確定度也逐漸增大，即上下限值越來越偏離估計(jì)真值。

取可靠性系數(shù)rc=0.1，置信水平P=90%，即顯著性水平為α=0.1，計(jì)算出估計(jì)真值x0:x0= 47.5 h.

可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì):

案例4 根據(jù)文獻(xiàn)［19］，機(jī)電設(shè)備壽命T服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN（μ，σ2）時(shí)。4臺(tái)電機(jī)分別工作到3 782.2 h、4 212.6 h、4 219.2 h和4 476.2 h均未失效。由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)收集的困難性，希望利用上述數(shù)據(jù)對(duì)該型號(hào)電機(jī)的可靠性進(jìn)行評(píng)估。

用自助法每次抽取4個(gè)數(shù)據(jù)，共抽取10 000次，所得數(shù)據(jù)如圖10所示。

圖10 自助法獲取樣本數(shù)據(jù)Fig.10 Sample data of bearings obtained by bootstrap method

基于最大熵法計(jì)算可得:映射參數(shù)a0=0.003 0，b0=-12.476 7.拉格朗日乘子（c00，c10，c20，c30，c40，c50）=（-7.272 5，1.176 6，0.038 2，-0.637 4，-0.053 8，0.071 0）.

由（25）式可計(jì)算出概率密度估計(jì)真值函數(shù)f0（x），將f0（x）代入（26）式、（27）式、（28）式中，可得可靠性估計(jì)真值函數(shù)R0（x），如圖11所示。

圖11 可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線Fig.11 Estimated true value function curve of reliability

運(yùn)用多層自助最大熵方法計(jì)算出的R0（4 000）= 0.955 8，R0（4 500）=0.925 0.文獻(xiàn)［19］中運(yùn)用Bayes方法計(jì)算出當(dāng)λ=0.2時(shí)，μ的估計(jì)值為10.721 8，σ的估計(jì)值為1.767 3，從而可得R（4 000）=0.915 2；R（4 500）=0.904 4.可見兩種方法計(jì)算結(jié)果分別相差0.040 6和0.020 6，多層自助最大熵方法的可靠性估計(jì)真值結(jié)果與用Bayes方法的可靠性估計(jì)真值結(jié)果誤差很小。因此自助最大熵方法獲得的可靠性估計(jì)真值函數(shù)的擬合效果跟Bayes方法的估計(jì)結(jié)果基本一致。自助最大熵方法可以自動(dòng)識(shí)別樣本數(shù)據(jù)內(nèi)部規(guī)律，從而計(jì)算出小樣本數(shù)據(jù)（n=4）的概率分布函數(shù)。在數(shù)據(jù)處理過程中，并未利用已知的概率分布先驗(yàn)信息。因此，用多層自助最大熵方法評(píng)估機(jī)械產(chǎn)品的可靠性是有效且可行的。

值得注意的是，由于樣本數(shù)據(jù)較少，無法通過改變抽樣個(gè)數(shù)獲得拉格朗日乘子的樣本數(shù)據(jù)，因此無法進(jìn)行可靠性區(qū)間估計(jì)。進(jìn)行可靠性區(qū)間估計(jì)需要原樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n≥7.

案例5 針對(duì)案例4，進(jìn)行模擬試驗(yàn)，得到的無失效數(shù)據(jù)如下:

用自助法每次抽取7個(gè)數(shù)據(jù)，共抽取10 000次，所得數(shù)據(jù)如圖12所示。

圖12 自助法獲取樣本數(shù)據(jù)Fig.12 Sample data obtained by bootstrap method

基于最大熵法可得:映射參數(shù)a0=0.009 2，b0=-38.354 0.拉格朗日乘子（c00，c10，c20，c30，c40，c50）=（-5.653 8，1.294 6，-1.345 5，0.412 5，0.045 0，0.092 4）.

由（25）式可計(jì)算出概率密度估計(jì)真值函數(shù)f0（x），將f0（x）代入（26）式、（27）式、（28）式中，可得可靠性估計(jì)真值函數(shù)R0（x），如圖13所示。

改變每次抽樣個(gè)數(shù)t，共抽取30 000次，可得拉格朗日乘子如表7所示。

設(shè)置信水平P=90%，即α=0.1，將所得的7個(gè)c0值作為樣本進(jìn)行自助再抽樣可得:置信區(qū)間的下邊界值c0L=-5.804 9，置信區(qū)間的上邊界值c0U= -5.703 2.

因此，參數(shù)c0的估計(jì)區(qū)間:［c0L，c0U］=［-5.804 9，-5.703 2］.

同樣算得參數(shù)c1的估計(jì)區(qū)間:［c1L，c1U］=［1.248 6，1.624 0］；參數(shù)c2的估計(jì)區(qū)間:［c2L，c2U］=［-1.582 4，-0.704 4］；參數(shù)c3的估計(jì)區(qū)間:［c3L，c3U］=［0.002 0，0.032 5］；參數(shù)c4的估計(jì)區(qū)間:［c4L，c4U］=［-0.098 7，0.082 6］；參數(shù)c5的估計(jì)區(qū)間:［c5L，c5U］=［-0.065 2，0.091 5］.

改變每次抽樣個(gè)數(shù)，共抽取30 000次，可得映射參數(shù)如表8所示。

圖13 可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線Fig.13 Estimated true value function curve of reliability

表7 改變抽樣個(gè)數(shù)所得各個(gè)拉格朗日乘子Tab.7 Lagrange multipliers obtained by changing the number of samples

表8 改變抽樣個(gè)數(shù)所得映射參數(shù)Tab.8 Mapping parameters obtained by changing thenumber of samples

經(jīng)過計(jì)算，參數(shù)a、b的估計(jì)值分別為

分別將拉格朗日乘子的上限或下限值，映射參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值代入（24）式中，由排列組合原理和最大熵方法，可得64個(gè)概率密度函數(shù)。

經(jīng)過計(jì)算，由最小不確定性原理可得:當(dāng)c0= c0L=-5.804 9，c1=c1U=1.624 0，c2=c2U=-0.704 4，c3=c3U=0.032 5，c4=c4U=0.082 6，c5=c5U=0.091 5時(shí)，可得到可靠性函數(shù)的上限曲線RU（x）；當(dāng)c0= c0U=-5.703 2，c1=c1L=1.248 6，c2=c2U=-0.704 4，c3=c3L=0.002 0，c4=c4L=-0.098 7，c5=c5L= -0.065 2時(shí)，可得到可靠性函數(shù)的下限曲線RL（x）.如圖14所示。

圖14 可靠性函數(shù)曲線Fig.14 Curves of reliability functions

由圖14可知:可靠性函數(shù)取值隨著自變量時(shí)間的增大而逐漸減小，這是符合工程實(shí)際的。而且在x=4 230 h之前，可靠性函數(shù)上下限曲線均與可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線基本完全重合。在x=4 230 h之后，隨著時(shí)間的增加，可靠性函數(shù)上下限曲線均越來越偏離可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線。這是因?yàn)樵诋?dāng)前時(shí)間段內(nèi)，對(duì)可靠性函數(shù)估計(jì)的不確定度較小。隨著時(shí)間變量的增大，可靠性函數(shù)的估計(jì)難度逐漸增大，對(duì)可靠性函數(shù)估計(jì)的不確定度也逐漸增大，即上下限值越來越偏離估計(jì)真值。

取可靠性系數(shù)rc=0.1，置信水平P=90%，即顯著性水平為α=0.1，計(jì)算出估計(jì)真值x0:x0= 4 425.4 h.可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì):

3 討論

1）對(duì)于概率分布已知的產(chǎn)品壽命可靠性評(píng)估問題，自助最大熵方法的評(píng)估誤差很小。案例1用多層自助最大熵法計(jì)算出的R0（577）=0.995 2與文獻(xiàn)［17］中運(yùn)用Bayes方法計(jì)算出的R（577）= 0.984 5相差0.010 7；R0（677）=0.994 5與文獻(xiàn)［17］中運(yùn)用Bayes方法計(jì)算出的R（677）=0.976 2相差0.018 3.文獻(xiàn)［18］中運(yùn)用Bayes方法計(jì)算出R（3）=0.916 4，案例2運(yùn)用多層自助最大熵法計(jì)算出的R0（3）=0.898 03，二者相差0.018 37.案例4運(yùn)用多層自助最大熵方法計(jì)算出的R0（4 000）= 0.955 8，R0（4 500）=0.925 0.文獻(xiàn)［19］中運(yùn)用Bayes方法計(jì)算出R（4 000）=0.915 2，R（4 500）= 0.904 4，兩種方法計(jì)算結(jié)果分別相差0.040 6和0.020 6.試驗(yàn)案例1、案例2、案例4表明運(yùn)用自助最大熵方法得到的可靠性評(píng)估結(jié)果與運(yùn)用Bayes方法得到的評(píng)估結(jié)果基本相同。這是因?yàn)樽畲箪胤椒軌驅(qū)ξ粗母怕史植甲龀鲋饔^偏見為最小的最佳估計(jì)，可以自動(dòng)識(shí)別樣本數(shù)據(jù)內(nèi)部規(guī)律，從而計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)極少（n≥4）條件下的概率分布函數(shù)。多層自助最大熵法在數(shù)據(jù)處理過程中，并未利用已知概率分布（Weibull分布、指數(shù)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布）這一信息。

2）對(duì)于概率分布未知的產(chǎn)品壽命可靠性評(píng)估問題，古典統(tǒng)計(jì)理論無法解決。而案例3運(yùn)用多層自助最大熵方法，計(jì)算得到R0（56.97）=0.898 9；案例5運(yùn)用多層自助最大熵方法計(jì)算得到R0（4 500）= 0.897 5.試驗(yàn)案例表明多層自助最大熵方法不但適用于概率分布已知的產(chǎn)品壽命可靠性評(píng)估問題，也適用于概率分布未知的產(chǎn)品壽命可靠性評(píng)估問題。

3）對(duì)于可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題，現(xiàn)有方法無法解決。本文中的多層自助最大熵方法把拉格朗日乘子當(dāng)作變量，對(duì)可靠性函數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，得出結(jié)論:可靠性函數(shù)取值隨著自變量時(shí)間的增大而逐漸減小，在一定范圍內(nèi)，可靠性函數(shù)上下限曲線圖與可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線圖基本完全重合。超出該范圍，可靠性函數(shù)上下限曲線均越來越偏離可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線。

4）實(shí)際應(yīng)用中，一般在達(dá)到產(chǎn)品無失效數(shù)據(jù)樣本最大值的一半之前，可靠性函數(shù)上下限曲線圖與可靠性估計(jì)真值函數(shù)曲線圖基本完全重合。如案例1中x=700 h＞1/2×924=462 h，案例2中x= 1.9 a＞1/2×3=1.5 a，案例3中x=33 h＞1/2× 56.97=28.485 h.

4 結(jié)論

將拉格朗日乘子當(dāng)做變量，提出多層自助最大熵方法，以解決機(jī)械產(chǎn)品的乏信息可靠性評(píng)估問題。該方法對(duì)概率分布沒有要求，可以有效地解決乏信息條件下無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估問題與可靠性函數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題，試驗(yàn)證明該方法是對(duì)現(xiàn)有可靠性評(píng)估方法的有益補(bǔ)充。

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Reliability Evaluation Based on Hierarchical Bootstrap Maximum Entropy Method

XIA Xin-tao，YE Liang，LI Yun-fei，CHANG Zhen
（School of Mechatronical Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang 471003，Henan，China）

A hierarchical bootstrap maximum entropy evaluation model is proposed to analyze the life reliability of mechanical products under the condition of small samples without any prior information.Adequate sample data is obtained by using bootstrap method to re-sample the current zero-failure data samples.Based on maximum entropy method，the different Lagrange multipliers can be obtained by changing the number of samples.In order to get the interval estimation values of Lagrange multipliers，the bootstrap method is used again to re-sample the small sample data of Lagrange multipliers.The probability density functions and reliability functions are achieved by carrying on permutation and combination for the upper and lower limit values of each Lagrange multiplier，so the interval estimation values of reliability functions can be gained using minimum uncertainty principle.Experimental investigation shows that the hierarchical bootstrap maximum entropy evaluation model can effectively solve the reliability evaluation problem for zero-failure data of small samples with known or unknown probability distributions.

system assessment and feasibility analysis；reliability evaluation；hierarchical bootstrap maximum entropy method；poor information；zero-failure data；Lagrange multipliers

TB114.3

A

1000-1093（2016）07-1317-13

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.07.022

2016-01-05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51475144、51075123）

夏新濤（1957—），男，教授，博士生導(dǎo)師，博士。E-mail:xiaxt1957@163.com；

葉亮（1990—），男，碩士研究生。E-mail:172682823@qq.com