彭佳星　肖基毅

摘 要：證券時(shí)間序列是證券交易價(jià)格的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，是一種有其自身顯著的特點(diǎn)的時(shí)間序列，針對(duì)這些特點(diǎn)我們提出一種基于分形理論與K線圖形特點(diǎn)的分段方法，經(jīng)過(guò)理論分析與實(shí)踐證明其劃分的證券時(shí)間序列分段有其合理性。在對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)壓縮率很高的情況下，還能保持較好的擬合誤差，并能較好地描述證券時(shí)間序列的走勢(shì)特征。

關(guān)鍵詞：分型；轉(zhuǎn)折點(diǎn)；證券時(shí)間序列

一、引言

證券時(shí)間序列是按證券交易時(shí)間先后排列的一系列證券交易價(jià)格觀測(cè)數(shù)據(jù)，其觀測(cè)值按固定的時(shí)間間隔采樣。證券時(shí)間序列屬于金融時(shí)間序列的一種，因?yàn)樽C券交易金額大交易頻率高而受研究者大量關(guān)注。

面對(duì)海量、高維的證券數(shù)據(jù)，直接在原始數(shù)據(jù)上處理難度很大，因此，需要研究合適的數(shù)據(jù)表示形式，以規(guī)約簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)。目前常見(jiàn)的時(shí)間序列特征表示形式有域變化表示法、符號(hào)表示法、奇異值分解法、分段聚合近似表示方法（piecewise aggregate approximation，PAA）和分段直線表示法（Piecewise Linear Representation，PLR）等[1]。由于域變換表示法大多基于點(diǎn)距離，無(wú)法刻畫(huà)時(shí)間序列的重要特征—?jiǎng)討B(tài)屬性；符號(hào)表示法更適應(yīng)在文本數(shù)據(jù)挖掘和生物信息等領(lǐng)域中得到較多應(yīng)用；奇異值分解法時(shí)間復(fù)雜度高，且從數(shù)據(jù)集中任意增加或刪除一條記錄，都要重新運(yùn)算，不適合證券時(shí)間序列數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)增加；分段聚合近似表示方法根據(jù)是通過(guò)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平均分割并利用分段序列的均值來(lái)表示原時(shí)間序列的方法，極大值、極小值、形態(tài)特征等數(shù)據(jù)容易丟失，不利于體現(xiàn)證券時(shí)間序列的趨勢(shì)特征[2-3]。而分段直線表示法具有形式直觀、數(shù)據(jù)壓縮度高、支持動(dòng)態(tài)增量更新和距離度量靈活等特點(diǎn)，更適合于證券數(shù)據(jù)表示。

PLR算法有不少應(yīng)用于證券時(shí)間序列的實(shí)驗(yàn)，一類(lèi)如詹艷艷等基于斜率的分段法，根據(jù)斜率的變化把證券時(shí)間序列分成多個(gè)序列[4]。這類(lèi)方法用于證券時(shí)間序列分段有一個(gè)顯著的缺點(diǎn)，同一趨勢(shì)段會(huì)因?yàn)闈q跌幅度變化較大的而分為多個(gè)段，不利于趨勢(shì)的理解。另一類(lèi)是以Pratt為代表的重要點(diǎn)分段法，根據(jù)序列中反趨勢(shì)的幅度，用序列分段中的上漲趨勢(shì)中的最大值或下跌趨勢(shì)的最小值，與反趨勢(shì)中某個(gè)值的比率小于某個(gè)臨界值R來(lái)判斷是否構(gòu)成反趨勢(shì)段，從而達(dá)到分段的目的[5]；以及田野等的改進(jìn)的重要點(diǎn)分段法，這類(lèi)方法比基于斜率的分段法能更好的描述證券時(shí)間序列的走勢(shì)特征[6]。不足之處是證券時(shí)間序列趨勢(shì)調(diào)整有急速大幅的調(diào)整，也有幅度不大卻時(shí)間比較長(zhǎng)的調(diào)整，這就是通常所說(shuō)的“時(shí)間換空間”或者“空間換時(shí)間”的調(diào)整，這可能會(huì)導(dǎo)致同一走勢(shì)中的不同調(diào)整段不能都被很好分段。當(dāng)兩個(gè)股票時(shí)間序列漲跌節(jié)奏相同而幅度不同時(shí)，會(huì)因?yàn)榉侄尾幌嗤焕谙嗨贫榷攘俊?/p>

本文提出的基于分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)的分段方法，對(duì)于“空間換時(shí)間”的大幅調(diào)整和“時(shí)間換空間”的窄幅調(diào)整，都能較好的描述股票的基本趨勢(shì)及不同調(diào)整段。同時(shí)，本文的分段方法能支持使用同一時(shí)間點(diǎn)的最高價(jià)與最低價(jià)作為數(shù)據(jù)源，在趨勢(shì)段的最高點(diǎn)最低點(diǎn)能更好的保留原始數(shù)據(jù)，比大多數(shù)分段算法只使用收盤(pán)價(jià)作為數(shù)據(jù)源更接近真實(shí)值。

二、問(wèn)題描述及分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)的定義

（一）問(wèn)題的定義

定義1（證券時(shí)間序列）證券時(shí)間序列是證券交易記錄值和交易時(shí)間組成的有序集合。記為X=。其中xn_top是觀測(cè)時(shí)間間隔內(nèi)最高價(jià)，xn_bottom觀測(cè)時(shí)間間隔內(nèi)最低價(jià)。T為觀測(cè)時(shí)刻的時(shí)間戳，是嚴(yán)格增加的（i

分段方法的目標(biāo)是對(duì)證券時(shí)間序列進(jìn)行降維，減少序列中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的同時(shí)保留時(shí)間序列數(shù)據(jù)關(guān)鍵特征，分段直線表示法的重點(diǎn)就在于分段點(diǎn)的選取。

（二）證券時(shí)間序列的分形特征與分段評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

分形（Fractal）的概念是美籍?dāng)?shù)學(xué)家本華·曼德博首先提出的。以海岸線為例，作為曲線，其特征是極不規(guī)則、極不光滑的，呈現(xiàn)極其蜿蜒復(fù)雜的變化。我們不能從形狀和結(jié)構(gòu)上區(qū)分這部分海岸與那部分海岸有什么本質(zhì)的不同。這種幾乎同樣程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性，說(shuō)明海岸線在形貌上是自相似的，也就是局部形態(tài)和整體態(tài)的相似。

證券交易時(shí)間序列數(shù)據(jù)也具有這樣的自相似性，我們從證券交易的日K線圖上看到的圖形概貌，與從月K線圖、日K線、30分鐘K線圖上看到的圖形幾乎有同樣程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性。國(guó)內(nèi)一些研究也表明，中國(guó)股票市場(chǎng)也具有分形特征[7]。這個(gè)特征表明證券時(shí)間序列中局部與整體之間有一些相似的結(jié)構(gòu)特性，如果這種結(jié)構(gòu)特征能在特征表示法中體現(xiàn)出來(lái)，對(duì)于證券數(shù)據(jù)挖掘是很有利的。

目前大多數(shù)時(shí)間序列特征表示法，追求擬合誤差e（t）的最小化。然而證券時(shí)間序列特征表示法中，對(duì)趨勢(shì)特征的保留程度，也是衡量特征表示優(yōu)劣的指標(biāo)。本文中把擬合誤差和趨勢(shì)特征的保留程度一起作為參照指標(biāo)。

根據(jù)證券數(shù)據(jù)分形特征的自相似性，以及證券K線圖形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，本文提出一種證券數(shù)據(jù)新型分段方法，命名為分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)分段法。

三、分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)分段方法

分段思路：根據(jù)證券時(shí)間序列的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)，所有的轉(zhuǎn)折點(diǎn)必然存在視覺(jué)上的高低點(diǎn)，這些高低點(diǎn)可以構(gòu)成各個(gè)趨勢(shì)段的頂和底。頂和底的出現(xiàn)在圖形上會(huì)有一定的條件限制，找出序列所有頂和底，就可以確定分段點(diǎn)。這樣的分段適合月線、日線、分鐘線等各個(gè)時(shí)間度量單位的證券時(shí)間序列。

（一）基本定義

分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)分段線性表示法建立在時(shí)間序列圖形分析的基礎(chǔ)之上。

證券時(shí)間序列描述的是股票等有價(jià)證券的交易價(jià)格觀測(cè)值，記錄股票交易在等長(zhǎng)時(shí)間間隔內(nèi)的價(jià)格數(shù)據(jù)，常見(jiàn)時(shí)間間隔大小為：年、季、月、周、日、60分鐘、30分鐘、15分鐘、5分鐘、1分鐘。根據(jù)分形理論，不同時(shí)間間隔的觀測(cè)值拓?fù)鋱D形都有一定的自相似特點(diǎn)，通過(guò)觀測(cè)的視覺(jué)經(jīng)驗(yàn)也能看出證券時(shí)間序列的自相似性。

本文重點(diǎn)關(guān)注某一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)觀測(cè)值的最高價(jià)和最低價(jià)，用K（i）top表示時(shí)間序列第i個(gè)觀測(cè)值的最高價(jià)，用K（i）botton表示時(shí)間序列第i個(gè)觀測(cè)值的最低價(jià)。觀測(cè)值的圖形表示可以用最高價(jià)到最低價(jià)的垂直連線表示，并命名為K線（也是對(duì)證券理論中K線的一種簡(jiǎn)化）。

（二）兩個(gè)觀測(cè)值的組合關(guān)系

1、非包含。一根K線的高點(diǎn)比另一根高（低），低點(diǎn)也比另一根高（低），則說(shuō)這兩根K線是非包含的。

定義一：如果K（i+1）top>K（i）top and K（i+1）bottom>K（i）bottom，或者K（i+1）top

2、包含。前一根K線的高低點(diǎn)在后一根K線的高低點(diǎn)范圍之內(nèi)，或者后一根K線的高低點(diǎn)在前一根K線的高低點(diǎn)范圍之內(nèi)，則說(shuō)這兩根K線存在包含關(guān)系。

定義二：如果K（i）top>=K（i+1）top and K（i）bottom<=K（i+1）bottom，則說(shuō)K（i）包含K（i+1）；如果K（i）top<=K（i+1）top and K（i）bottom>=K（i+1）bottom，則說(shuō)K（i+1）包含K（i）。這兩種情況都構(gòu)成包含關(guān)系。

（三）證券時(shí)間序列的方向（2個(gè)非包含關(guān)系的觀測(cè)值決定了方向）

非包含關(guān)系的2根K線后一根的高點(diǎn)比前一根高，低點(diǎn)也比前一根高，稱(chēng)為向上（上漲）。非包含關(guān)系的2根K線后一根的高點(diǎn)比前一根低，低點(diǎn)也比前一根低，稱(chēng)為向下（下跌）。

定義三：當(dāng)2個(gè)觀測(cè)值為非包含關(guān)系時(shí)，如果K（i）top

定義四：當(dāng)2個(gè)觀測(cè)值為非包含關(guān)系時(shí)，如果K（i）top>K（i+1）top and K（i）bottom>K（i+1）bottom，則序列的方向是向下（下跌）的。

（四）合并存在包含關(guān)系的觀測(cè)值

1、當(dāng)序列方向是向上時(shí)（存在包含關(guān)系的2根K線之前的K線的方向，可以是經(jīng)過(guò)包含關(guān)系處理的），以2根K線中的高點(diǎn)的較高者為高點(diǎn)，以2根K線中低點(diǎn)的較高者為低點(diǎn)，合并為1根K線。

2、當(dāng)K線方向是向下時(shí)，以2根K線中的高點(diǎn)的較低者為高點(diǎn)，以2根K線中低點(diǎn)的較低者為低點(diǎn)，合并為1根K線。

定理一：對(duì)存在包含關(guān)系K線合并時(shí)，如果前面序列是向上的，K（合）top=Max（K（i）top，K（i+1）top），K（合）bottom=Max（K（i）bottom，K（i+1）bottom）；如果前面序列式向下的，K（合）top=Min（K（i）top，K（i+1）top），K（合）bottom=Min（K（i）bottom，K（i+1）bottom）。

（五）3根K線組合關(guān)系（包含關(guān)系已作合并處理）

時(shí)間序列中存在包含關(guān)系的K線做了合并處理之后，3根K線的組合關(guān)系只可能是以下四種情況：

頂分型：第二根K線的高點(diǎn)是3根K線高點(diǎn)中最高的，低點(diǎn)是3根K線低點(diǎn)中最高的。

底分型：第二K線低點(diǎn)是相鄰三K線低點(diǎn)中最低的，而高點(diǎn)也是相鄰三K線高點(diǎn)中最低的。

頂分型的最高點(diǎn)叫該分型的頂，底分型的最低點(diǎn)叫該分型的底。

上升K線：三根K線的高點(diǎn)依次升高，低點(diǎn)依次升高。

下降K線：三根K線的高點(diǎn)依次降低，低點(diǎn)依次降低。

（六）K線的分型

所有的時(shí)間序列轉(zhuǎn)折點(diǎn)都必定是頂分型或者底分型（包含關(guān)系已經(jīng)合并），頂、底分型是時(shí)間序列走勢(shì)發(fā)生轉(zhuǎn)折的必要非充分條件。

頂分型：第二根K線的高點(diǎn)是3根K線高點(diǎn)中最高的，低點(diǎn)是3根K線低點(diǎn)中最高的。

底分型：第二K線低點(diǎn)是相鄰三K線低點(diǎn)中最低的，而高點(diǎn)也是相鄰三K線高點(diǎn)中最低的。

頂分型的最高點(diǎn)叫該分型的頂，底分型的最低點(diǎn)叫該分型的底。

（七）分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)分段方法

轉(zhuǎn)折點(diǎn)一定有頂分型或者底分型，但頂、底分型要構(gòu)成轉(zhuǎn)折點(diǎn)需要在視覺(jué)上形成一定的轉(zhuǎn)折效果，對(duì)數(shù)據(jù)壓縮有幫助，這里引入時(shí)間窗的方法，要求頂、底之間滿足：頂、底之間不少于N根K線（不包括頂、底所在的K線）。N值越小，分段點(diǎn)越多，壓縮率越高；反之，N值越大，分段點(diǎn)越少，壓縮率越低。由于趨勢(shì)的存在，N取值對(duì)分段點(diǎn)的影響并不是很大。

由分型到分段確認(rèn)的幾種情況：

先由前兩根K線定方向，向上則第一根為底，向下則第一根為頂。包含則再根據(jù)下一根K線確定方向。

如果先出頂分型，接下來(lái)，如果再出一頂分型則：頂+頂 取其中高者為頂；如果一樣高，則前者為頂。此時(shí)頂仍未確定。等待下一個(gè)分型。

如果再出一底分型則：頂+底，1、符合分段要求則為1段，先保存下來(lái)。頂已經(jīng)確定，等待底的確定。2、不符合，則前頂仍未確定。等待下一個(gè)分型。

反之，先出底分型，接下來(lái)，如果再出一底分型則：底+底 取其中低者為底；如果一樣高，則前者為底。此時(shí)底仍未確定。等待下一個(gè)分型。

如果再出一頂分型則：底+頂，1、符合分段定義則為1段，先保存下來(lái)。底已經(jīng)確定，等待頂?shù)拇_定。2、不符合，此時(shí)底仍未確定。等待下一個(gè)分型。

3、第一個(gè)K線如果不在第一個(gè)分型中，則該K線與第一個(gè)分型構(gòu)成一個(gè)分段；最后一個(gè)分型與最后一個(gè)K線構(gòu)成未定分段。

（八）算法優(yōu)點(diǎn)比較分析

1、其他分段算法處理證券數(shù)據(jù)時(shí)，每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)T只能處理一個(gè)數(shù)據(jù)，算法往往從開(kāi)盤(pán)價(jià)、收盤(pán)價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)中選擇一個(gè)來(lái)代替時(shí)間點(diǎn)T內(nèi)的所有價(jià)格，大多數(shù)算法選用收盤(pán)價(jià)。當(dāng)一些時(shí)間點(diǎn)處在證券時(shí)間序列的極值處時(shí)，計(jì)算整個(gè)時(shí)間序列內(nèi)的漲跌幅度就會(huì)存在誤差。本算法能同時(shí)處理兩個(gè)價(jià)格，我們選用最高價(jià)和最低價(jià)，能更真實(shí)的描述時(shí)間序列漲跌的幅度與趨勢(shì)轉(zhuǎn)折點(diǎn)位置。

2、本分段算法對(duì)構(gòu)建證券時(shí)間序列的形態(tài)趨勢(shì)非常有效，在高壓縮率的基礎(chǔ)上還能很好的保留序列基本趨勢(shì)特點(diǎn)，不會(huì)出現(xiàn)把一個(gè)趨勢(shì)段劃分成兩個(gè)同方向的趨勢(shì)段相連的情況。

3、支持?jǐn)?shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)更新，新增加數(shù)據(jù)不影響對(duì)本分段算法效率。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

（一）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本文中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自同花順?lè)秸C券泉友通交易軟件。

數(shù)據(jù)源：選取上證指數(shù)420個(gè)（2014.10.20-2016.7.5）交易日觀測(cè)值，包括最高價(jià)和最低價(jià)，形式為K=。另一組取上證指數(shù)420個(gè)交易日收盤(pán)價(jià)，形式為：K=<（k1，t1），（k2，t2）……kn，tn）>。

（二）實(shí)驗(yàn)方法

本文通過(guò)使用基于K線分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)算法分段，輸入為同花順交易軟件導(dǎo)出的股票日K線數(shù)據(jù)，輸出為各個(gè)分段點(diǎn)價(jià)格和時(shí)間。

基于K線分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)算法流程如下：

（三）實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文的實(shí)驗(yàn)環(huán)境為AMD 1.5GHZ聯(lián)想個(gè)人電腦，內(nèi)存2G，操作系統(tǒng)為Windows7。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為上證指數(shù)420天的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。首先對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，把數(shù)據(jù)范圍限制到[0，1]之間，以便于比較擬合誤差。方法是首先找出序列中的最大值max，最小值min，然后用xi-minmax-min來(lái)進(jìn)行計(jì)算。擬合誤差采用∑（xi-xi）2進(jìn)行計(jì)算（其中xi為實(shí)際值，xi為估計(jì)值）。

實(shí)驗(yàn)股票時(shí)間序列420個(gè)，分型轉(zhuǎn)折點(diǎn)分段算法參數(shù)N取值5時(shí)（即頂?shù)字g不少于5根K線），數(shù)據(jù)壓縮率為94%，擬合誤差為0.629?？梢灾庇^地看出，壓縮后的序列很好地保留了序列總體的走勢(shì)，如圖2

五、結(jié)論

本文針對(duì)證券時(shí)間序列分段方法提出了一種新的思路，這種分段方法基于證券時(shí)間序列本身的特征構(gòu)造分型，根據(jù)分型特征構(gòu)造分段。實(shí)驗(yàn)表明，該分段方法壓縮比率很高時(shí)，還能很好的保留原是序列的走勢(shì)結(jié)構(gòu)，是一種很好的分段方法。（作者單位：1.南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；2.衡陽(yáng)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；3.智能信息處理與應(yīng)用湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室）

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