江　良,林鴻熙

(1.莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,福建莆田351100;2.莆田學(xué)院商學(xué)院,福建莆田351100)

隨機(jī)波動率Hull-White模型參數(shù)估計(jì)方法

江良1,林鴻熙2

(1.莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,福建莆田351100;2.莆田學(xué)院商學(xué)院,福建莆田351100)

構(gòu)建隨機(jī)波動率的兩因子模型,應(yīng)用兩階段半?yún)?shù)方法估計(jì)模型中的常系數(shù)參數(shù),使用核估計(jì)方法估計(jì)長期均值函數(shù),給出了兩階段估計(jì)方法的相容性和參數(shù)的漸近性性質(zhì).實(shí)證結(jié)果表明了對比常系數(shù)模型,引入長期均值函數(shù)模型將會改善似然函數(shù)估計(jì)值,而且也能夠很好地解釋中央銀行和政府已實(shí)施政策的有效性.此外,可以在不增加維數(shù)的條件下,使用該模型對利率衍生品進(jìn)行更有效地定價(jià).

長期均值;隨機(jī)波動率;短期利率模型;半?yún)?shù)估計(jì);核估計(jì)方法

1　引　言

利率是金融市場中非常重要的一個(gè)指標(biāo),幾乎所有的金融現(xiàn)象和活動都和利率相關(guān).因此構(gòu)建合適的短期利率模型變得尤為重要.構(gòu)建短期利率模型可分為兩類:單因子模型;多因子模型.雖然實(shí)證表明了單因子模型也能很好地?cái)M合市場的數(shù)據(jù)[1,2],但是單因子模型無法產(chǎn)生較復(fù)雜的收益率曲線的形狀.因此,多因子短期利率模型應(yīng)運(yùn)而生[3,4].

Litterman等[5]基于實(shí)證方法論述了隨機(jī)波動率模型的必要性.Kim等[6]應(yīng)用多因子模型對日本債券收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)瞬時(shí)利率很小時(shí),兩因子高斯模型擬合效果較好.Cheridito等[7]和Pierre等[8]基于橫截面數(shù)據(jù)相應(yīng)給出多因模型的參數(shù)估計(jì)方法及實(shí)證的結(jié)果.雖然,上述的研究結(jié)果表明了可以通過引入狀態(tài)變量改善模型的擬合效果,但是相應(yīng)的衍生品定價(jià)的維數(shù)也增加從而導(dǎo)致數(shù)值方法也變得更加困難,而且相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)問題也變的困難.如Duffee等[9]指出了由于多因子模型的復(fù)雜性,相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)識別問題也變得困難.因此,為了給出最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)方法,選擇了狀態(tài)變量相互獨(dú)立的仿射性結(jié)構(gòu)模型.

為了給出簡約的模型,Andersen等[10],Fong等[11],Longstaff等[12]及Surya[13]構(gòu)建了隨機(jī)波動率兩因子模型,并通過實(shí)證分析說明了引入隨機(jī)波動率是必要的.然而在上述的模型中,長期均值均是常數(shù).因此,Balduzzi等[14,15],和Chen[16]研究了引入長期均值作為狀態(tài)變量的短期利率模型,并通過實(shí)證和數(shù)值分析說明了該模型不僅改變了短期利率期限結(jié)構(gòu)的形狀而且也改善了擬合效果.范龍振等[17]在漂移項(xiàng)中引入了儲蓄存款利率作為狀態(tài)變量來改善擬合效果.但是,由于引入新的狀態(tài)變量,相應(yīng)的衍生品定價(jià)偏微分方程的維數(shù)也會增加,從而導(dǎo)致數(shù)值方法變得比較復(fù)雜.另一方面,在文獻(xiàn)[14,15]中,長期均值幾乎和瞬時(shí)利率呈現(xiàn)一樣的震蕩,這種現(xiàn)象很難精確地刻畫長期預(yù)期利率的趨勢.江良[18]也通過核估計(jì)方法估計(jì)了Hull-White模型中的參數(shù),但該作者考慮的模型是單因子模型.

基于上面分析的原因,本文用時(shí)間函數(shù)描述長期均值的變化,考慮了隨機(jī)波動率的短期利率模型,并相應(yīng)地給出了半?yún)?shù)估計(jì)方法.該模型既能改善數(shù)據(jù)的擬合效果也不增加衍生品定價(jià)的維數(shù),并兼顧隨機(jī)波動率良好的特性.而且實(shí)證分析也表明了引入均值函數(shù)能更好地刻畫中央銀行和政府已實(shí)施政策的有效性(詳細(xì)的分析見本文第4節(jié)).此外,考慮均值函數(shù)的模型也可改善衍生品的定價(jià).如Hull等[2]研究了時(shí)間變量系數(shù)的單因子模型衍生品定價(jià)時(shí),他們發(fā)現(xiàn)其衍生品的定價(jià)和常數(shù)系數(shù)的兩因子模型沒有顯著的差異. Grzelak等[19]引入Hull-White模型給出債券定價(jià)過程,并指出引入Hull-White模型是必要的.

為了說明本文模型的有效性,將使用似然函數(shù)來診斷模型.由于模型中含有時(shí)間函數(shù)的參數(shù),因此將提出一種半?yún)?shù)估計(jì)方法來計(jì)算似然函數(shù)值.根據(jù)H¨ardle等[20]和Ramsay等[21]對于半?yún)?shù)模型的估計(jì)方法一般可分為如下兩類:核估計(jì)方法;正則化方法.本文將選擇核估計(jì)方法,其主要原因是均值函數(shù)可通過核函數(shù)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上加權(quán)平均近似,其近似的函數(shù)僅依賴于給定窗口.此外,由于瞬時(shí)波動率是不可觀測的,因此將通過兩組不同到期日債券的線性組合來近似波動率過程[16,22].本文模型是在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下所構(gòu)建的,這就使得對利率衍生品的定價(jià)時(shí)可直接使用這些參數(shù)的估計(jì)值.

2　隨機(jī)波動率Hull-White短期利率模型

首先,假設(shè)在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下短期利率滿足下面的模型(SVHW)

在該模型中瞬時(shí)波動率滿足CIR模型[23]以至于使得波動率是非負(fù)的(假設(shè)Feller條件滿足),而且長期波動率是一個(gè)常數(shù).一個(gè)似乎更合理的假設(shè)是式(1)滿足CIR隨機(jī)過程,然而歸咎于相關(guān)系數(shù)ρ,此時(shí)債券價(jià)格無仿射性結(jié)構(gòu)解[24].但是相關(guān)系數(shù)又是一個(gè)非常重要的指標(biāo).如,Balduzzi等[15]發(fā)現(xiàn)了利率和隨機(jī)波動率水平變化是正相關(guān)的.Cheridito等[7]通過債券數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)了相關(guān)系數(shù)也是正的(幾乎接近1).基于這些原因,不考慮對于隨機(jī)利率滿足CIR動態(tài)過程的模型.

注意到,SVHW模型包含一些其它的模型.當(dāng)波動率是常數(shù)時(shí),就是眾所周知的HW模型[2];當(dāng)θ(t)是常數(shù)時(shí),模型變化為FV模型[11];當(dāng)波動率Vt和θ(t)都是常數(shù)時(shí),其模型為Vasicek模型[25].

根據(jù)計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)換原理[24],如果選取銀行賬戶作為計(jì)價(jià)單位,則是一個(gè)鞅,其微分為

根據(jù)鞅的性質(zhì),可得以下偏微分方程.

其終端條件為P(T,T)=1.

根據(jù)Duffie等[4]研究的結(jié)果,方程式(3)存在仿射性結(jié)構(gòu)解,即P(t,T)=exp(A(t,T)-rB(t,T)-V C(t,T)),其中A=A(t,T),B=B(t,T)及C=C(t,T)滿足下面的常微分方程組,即

其終端條件為A(T,T)=B(T,T)=C(T,T)=0.顯然在給定終端條件下B(t,T)的解析解為B(t,T)= (1-e-a(T-t))/a.而常微分方程(4)是一個(gè)眾所周知的Riccati方程.由于該方程的系數(shù)是關(guān)于時(shí)間變量的函數(shù),因此一般沒有解析解,所以將使用數(shù)值方法求解.若給定C和B的解,則A的解為

3　參數(shù)校正方法

不失一般性,假設(shè)債券價(jià)格是從當(dāng)前時(shí)刻開始觀察.為了能給出參數(shù)估計(jì)方法,首先需要處理隱含狀態(tài)變量Vt.對于本文的問題,將利用不同到期日可觀測的債券價(jià)格數(shù)據(jù)近似隨機(jī)波動率.

設(shè)R(t,T)為在t時(shí)刻到期日為T的零息債券收益率,則

假設(shè)R(t,T1)和R(t,T2)是兩個(gè)不同到期日收益率(T1/=T2),可得

從式(5)和式(6)可得

其中Am=A(t,Tm),Bm=B(t,Tm)及Cm=C(t,Tm),m=1,2.

為了簡化,在實(shí)際應(yīng)用中對于表達(dá)式(7)通過線性組合來近似其動態(tài)的過程,即

其中α0和α1是常數(shù).顯然式(8)僅依賴于參數(shù)α0,α1及a.比較動態(tài)過程(2),輔助過程(8)簡化參數(shù)估計(jì)過程.

下面將通過式(1)和輔助過程式(8)建立似然函數(shù)并給出半?yún)?shù)估計(jì)方法.

設(shè)Δt=ti-ti-1(i=1,2,...,N),其中tN是最大的觀察值及t0=0.式(1)的歐拉離散形式為

其中ri=rti,Vi=V(ti),θi=θ(ti)及zi+1是一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù).若給定Vi,式(9)的離散式是有偏的.盡管在給定V的條件下,隨機(jī)微分方程(1)有解析表達(dá)式[24],但是,如果Δt足夠小,有偏的現(xiàn)象將會減少.實(shí)際上,Glasserman[26]論述了式(9)的離散式是可行的.相應(yīng)式(8)的離散過程為

根據(jù)式(9)和式(10),似然函數(shù)為

其中c是不依賴于θi和η的常數(shù),η=(a,α0,α1),f(·|·,·,·)是條件密度函數(shù),ri是r=(r0,r1,...,rN)的分量,i=0,1,2...,N.

為了估計(jì)θ(t)(其離散值為θi),引入眾所周知Nadaraya-Watson核函數(shù)估計(jì)[20].那么θ(t)可近似為

下面將給出基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的兩因子模型極大似然估計(jì)方法.基于式(11)和式(12),似然函數(shù)近似為

其中Vi用式(10)來近似計(jì)算.

注意到,若直接最大化似然函數(shù)式(13),其過程比較復(fù)雜,因此基于Simar等[27]的思想,采用兩階段估計(jì)方法.其核心思想是把上述問題化為兩個(gè)簡單的問題:一個(gè)非參數(shù)問題;一個(gè)全參數(shù)問題,其算法如下:

步驟1給定一個(gè)初值η0;

步驟2求優(yōu)化問題(13),即

其中Ω(η)是參數(shù)η所在的領(lǐng)域;

步驟4重復(fù)步驟2和步驟3直到收斂.

顯然,在給定參數(shù)η條件下,優(yōu)化問題(14)轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的非參數(shù)估計(jì)問題,即

接下去部分,將回答這兩個(gè)問題.首先考慮算法步驟2,若給定真實(shí)的η?,當(dāng)h→0,θh(t,η?)能否依概率收斂到相應(yīng)的真實(shí)值θ?.為了證明其相容性,需要下面的假設(shè).

假設(shè)1在給定η條件下,假設(shè)Yi的真實(shí)密度函數(shù)為f(Y|η),其均值和方差滿足下面的條件,即

其中Var(·)表示方差.

假設(shè)1說明了在使用數(shù)據(jù)時(shí),相應(yīng)的均值和方差是有界的.現(xiàn)實(shí)中,瞬時(shí)利率的時(shí)間序列數(shù)據(jù)的均值和方差一定是可滿足上面條件的.而且從假設(shè)1可以得出二階矩是有界的,即E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2＜∞.這個(gè)條件保證θ(η,t)是均方收斂的,從而可以得到定理1的結(jié)果.根據(jù)假設(shè)1,給出下面相容性定理,其證明過程可參考文獻(xiàn)[28]中的性質(zhì)3.1.1.

定理1假設(shè)1成立.如果Nh→∞和h→0那么有

定理1說明了,若給定真實(shí)值η?,通過優(yōu)化問題(14)所得θ值將概率收斂到θ?.因此,需要進(jìn)一步考慮優(yōu)化問題(15)的相容性問題.此時(shí),需要一些正則性假設(shè).

假設(shè)2假設(shè)Ω(η)是緊的.θ?=θ?(t)及η?是最大似然函數(shù)(13)的真實(shí)解且是Ω(η)的內(nèi)點(diǎn).

假設(shè)2表明了在算法中對于常系數(shù)取值必須是有界的,而在實(shí)際應(yīng)用中取有界的常系數(shù)是顯然的.另一方面假設(shè)解是Ω(η)的內(nèi)點(diǎn)是數(shù)學(xué)上技術(shù)處理.

假設(shè)3定義下面的極限存在且一致收斂,即

進(jìn)一步假設(shè),當(dāng)θ=θ?,d(η;θ?)=0解是唯一,即η=η?.

假設(shè)3,實(shí)際是Kullback等[29]相對熵的概念.若假設(shè)?(η?,θ?)的真實(shí)密度函數(shù)為f(r|η?,θ?)＞0,根據(jù)中心極限定理直接獲得

基于文獻(xiàn)[29]中引理3.1,d(η)≤0,而且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)η=η?.

假設(shè)4假設(shè)給定η,?(η,θ)關(guān)于θ(t)是Lipschitz連續(xù)且Fr′echet導(dǎo)數(shù)存在并有界.另一方面,給定θ,??(η,θ)向量的每個(gè)元素存在且Lipschitz連續(xù).矩陣?2?(η,θ)每個(gè)元素有定義并Lipschitz連續(xù),而且該矩陣是可逆的.

在上面的正則性假設(shè)條件下,下面定理說明了算法中式(15)的相容性性質(zhì).

若假設(shè)3成立,那么有下面相容性估計(jì)

證明根據(jù)定義

根據(jù)假設(shè)4及定理1,顯然式(18)成立.基于文獻(xiàn)[30]中定理5.7,式(18)成立隱含著式(19)成立.證畢.最后,給出算法中式(15)漸近性.首先,需要給出Fisher信息矩陣.

定理3設(shè)假設(shè)1～ 假設(shè)5成立,那么有下面的漸近性,

證明根據(jù)極大似然估計(jì)方法,優(yōu)化問題(13)在極值點(diǎn)上梯度為零,即

其中?η∈U(θ?)?Ω(η).

通過簡單的代數(shù)運(yùn)算,重寫上面等式為

為了證明上面等式依分布收斂,需要分開處理這個(gè)問題.首先,有

最后依概率收斂是根據(jù)定理1結(jié)論.根據(jù)極大似然定義及中心極限定理,上面極限是服從零均值方差為I(η?,θ?)的正態(tài)分布.

現(xiàn)在給出Hesse矩陣的估計(jì),即

顯然根據(jù)定理1及定理2,上面等式依概率收斂到I(η?,θ?).證畢.

4　實(shí)證分析

由于我國債券數(shù)據(jù)的不完整性,因此將使用美國債券數(shù)據(jù).根據(jù)Durham[31]的結(jié)果,選取每周交易3個(gè)月到期日的債券收益率近似無風(fēng)險(xiǎn)短期利率,其時(shí)間從2000–01–07—2011–12–30,總的數(shù)據(jù)為629(數(shù)據(jù)來源于http://www.ustreas.gov).Balduzzi等[15]論述了使用不同的期限債券近似波動率是沒有顯著的差別,因此本文將使用到期日為1年和2年的債券數(shù)據(jù),時(shí)間步長為1/52.圖1描述了市場數(shù)據(jù).江良[18]使用同樣的數(shù)據(jù)來比較Vasicek模型和Hull-White模型的似然函數(shù)值,而且也得出了Hull-White模型的似然函數(shù)值稍微地改善的結(jié)果,但為了比較模型的有效性,這些結(jié)果也將列出來.

基于H¨ardle等[20]的結(jié)果,通過拇指原則,對于高斯核函數(shù),最優(yōu)寬度h=ˉσ(4/(3N))1/5,其中ˉσ是分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方差,而且ˉσ可近似為

為了區(qū)分不同h值所對應(yīng)估計(jì)值,設(shè)h1,h2分別表示通過式(20)及式(21)近似獲得,而且也設(shè)h3為ˉσ= 1近似.

圖1　2000–01–07—2011–12–30市場數(shù)據(jù).Fig.1 Market data from 2000–01–07 to 2011–12–30.

表1列出了不同模型的參數(shù)估計(jì)值.對Vasicek模型和FV模型,長期均值分為θ/a=0.005 1和θ/a= 0.022 8.當(dāng)考慮均值函數(shù)時(shí),基于HW模型,顯然窗口h=h1時(shí),似然值最大;對于SVHW模型,選取h=h2時(shí),似然函數(shù)值最大.對比表1中的似然函數(shù)值,Vasicek模型擬合效果最差,SVHW(h=h2)擬合效果最好.而且觀察表1中的數(shù)據(jù),基于FV模型的似然函數(shù)值明顯比單因子模型的似然函數(shù)值要大.這一結(jié)果表明了兩因子模型比單因子模型能更好地刻畫市場數(shù)據(jù);另一方面,對于單因子模型考慮隨機(jī)波動率比考慮均值函數(shù)影響要大,如FV模型與Vasicek模型的似然值比較,其似然比值為1.378 7;HW模型與Vasicek模型的似然比值為1.140 8.而對于FV模型,考慮均值函數(shù)是必要的,如:當(dāng)h=h2,SVHW模型的似然函數(shù)值比FV模型的似然函數(shù)值要大,大約為1 700.

表1　不同模型的參數(shù)估Table 1 Parameters estimates for the different model

圖2描述了HW模型和SVHW 對于不同窗口h選取所對應(yīng)θ(t)的數(shù)值結(jié)果.觀察圖2中的圖形,若長期均值過度地?cái)M合,導(dǎo)致數(shù)值結(jié)果出現(xiàn)激烈震蕩.這種現(xiàn)象很難給出參數(shù)的預(yù)測值和相應(yīng)的衍生品定價(jià),而且業(yè)界也不喜歡不穩(wěn)定的數(shù)值結(jié)果.結(jié)合表1中的數(shù)據(jù),顯然對于單因子模型,若考慮數(shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性,均值函數(shù)的模型對于擬合效果只是稍微地改善.這就意味著對于實(shí)踐者若使用單因子模型,就應(yīng)該權(quán)衡擬合的效果和數(shù)值穩(wěn)定性.進(jìn)一步觀察圖2可知,有一些數(shù)值解是負(fù)的.對于高斯模型,短期利率取負(fù)的概率是大于零,因此負(fù)的θ(t)值是有可能的.而且負(fù)的值表明了投資者對已實(shí)施政策的態(tài)度是消極的.

觀察圖2,考慮均值函數(shù)有力地解釋了2008年發(fā)生次貸危機(jī)前后,投資者對于政府和美聯(lián)儲救市行為的態(tài)度變化.但是對于常系數(shù)模型,這種現(xiàn)象是很難解釋的.如在2008年發(fā)生次貸危機(jī)時(shí),不管美聯(lián)儲不斷下調(diào)利率,但是投資者的長期預(yù)期利率還是下降.而在2008年10月份,通過美國政府救市,投資者的長期預(yù)期利率值有明顯的上升,這種現(xiàn)象持續(xù)到2009年年初,投資者對整個(gè)預(yù)期收益率又回落.而后聯(lián)邦儲備局通過購買國債救市,這就導(dǎo)致投資進(jìn)一步對將來的預(yù)期收益率恢復(fù)了信心.因此,考慮均值函數(shù)不僅對數(shù)據(jù)擬合效果有了改善,而且為中央銀行和政府對于實(shí)施政策的有效性提供了較好的參考依據(jù).

圖2　基于 HW模型和SVHW模型對于不同窗口h的θ(t)數(shù)值結(jié)果Fig.2 The numerical results θ(t)for the different bandwidth h based on HW model and SVHW model

觀察表1中的數(shù)據(jù)和圖2,當(dāng)h=h1時(shí),基于SVHW模型,θ(t)函數(shù)的擬合效果最好,但是不穩(wěn)定,其似然函數(shù)值明顯比h=h2時(shí)似然函數(shù)值要小.這就說明了引入隨機(jī)波動率和均值函數(shù)是有必要的.

圖3顯示了SVHW模型對不同窗口選取所對應(yīng)的瞬時(shí)波動率.

圖3基于SVHW 模型對于不同窗口h所對應(yīng)的瞬時(shí)波動率(V)Fig.3 The spot volatilities(V)by the different bandwidth h based on SVHW Model,

圖4畫出了FV模型的瞬時(shí)波動率.觀察圖3和圖4,當(dāng)h=h1,h3時(shí),其瞬時(shí)波動率沒有明顯的差異,這種現(xiàn)象和表1中的似然函數(shù)值保持一致,因此當(dāng)選取h=h1,h3時(shí),考慮長期均值是沒有必要的.然而當(dāng)h=h2時(shí),其圖像有著顯著的差異,而且似然函數(shù)值也明顯改善.比較SVHW(h=h2)模型的瞬時(shí)波動率,FV模型的瞬時(shí)波動率被高估了.

表2列出了水平短期利率和波動率的相關(guān)系數(shù)估計(jì)值.觀察表2中數(shù)據(jù),對于SVHW模型,當(dāng)h= h1,h3時(shí),相關(guān)性系數(shù)估計(jì)值和FV模型所得的估計(jì)值沒有顯著的差異.對于SVHW(h=h2)模型,相關(guān)性系數(shù)估計(jì)值最小,但所對應(yīng)的似然值是最大的(看表1中的數(shù)據(jù)).此外,觀察圖1、圖3和圖4,瞬時(shí)利率和波動率運(yùn)動的趨勢是相同的.這種現(xiàn)象表明它們之間的相關(guān)系數(shù)一定為正的(參考表2中的數(shù)據(jù)).

圖4　基于FV模型的短期波動率Fig.4 Spot volatility for FV Model

表2　短期利率和短期波動率水平相關(guān)性估計(jì)值Table 2 Correlation coefficient estimates between the short interest rate and the spot volatility

5　結(jié)束語

眾所周知,不斷地合理引入狀態(tài)變量,其相應(yīng)的模型擬合效果將變得更好.但是基于模型的衍生品定價(jià)的維數(shù)也會增加,這就導(dǎo)致衍生品定價(jià)數(shù)值方法變得更加困難.因此本文考慮隨機(jī)波動率和均值函數(shù)的兩因子模型.為了表明模型的合理性,本文選取時(shí)間序列數(shù)據(jù),采用核函數(shù)估計(jì)方法并對隨機(jī)波動率通過一個(gè)輔助的過程近似進(jìn)行參數(shù)估計(jì).進(jìn)一步給出了估計(jì)方法的相容性和漸近性性質(zhì).

實(shí)證分析表明了,考慮隨機(jī)波動率和均值函數(shù)是必要的,而且均值函數(shù)的假設(shè)對于系數(shù)校正效果有明顯的改善.但是對于單因子模型可能考慮均值函數(shù)需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的情況而定.另一方面,考慮均值函數(shù)能夠很好地解釋一些金融市場的行為,特別是給政府和中央銀行對已實(shí)施政策的有效性提供了很好的參考依據(jù).因此可以斷言,SVHW模型比單因子模型及FV模型更加有效.對于業(yè)界,可以在不增加狀態(tài)變量的情況下,使用更好的模型進(jìn)行衍生品定價(jià).在進(jìn)一步研究中,將考慮基于債券價(jià)格數(shù)據(jù)(橫截面數(shù)據(jù))兩因子的參數(shù)估計(jì)方法并給出SVHW模型的衍生品定價(jià).

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Parametric estimation of Hull-White model for stochastic volatility

Jiang Liang1,Lin Hongxi2
(1.School of Mathematics,Putian University,Putian 351100,China; 2.School of Business,Putian University,Putian 351100,China)

A two-factor model of stochastic volatility is established.A two-stage semi-parameter method is applied to estimate constant coefficient parameters of this model.Moreover,kernel estimator method is developed to estimate the long-term mean value function,by this method the consistency of the two-stage method and the asymptotic normality of parameters are obtained.The empirical results show that the likelihood function can be improved in the long-term mean value model rather than the constant coefficient model.Also,the model provides a good explanation for the effective policies implemented by the central bank and the government. Besides,the industries can use the above model for valuing interest-rate-derivative securities without increasing the dimension.

long-term average value;stochastic volatility;short term interest rate model;semi-parameter estimation;kernel estimation method

F830.9;O212.7

A

1000-5781(2016)05-0633-10

10.13383/j.cnki.jse.2016.05.008

2013-12-20;

2014-05-02.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471175);福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J05012;2016J01677);莆田學(xué)院育苗基金資助項(xiàng)目(2014060;2014061).

江良(1978—),男,福建莆田人,博士,副教授,研究方向:金融工程和金融計(jì)算,Email:ptjliang@163.com;

林鴻熙(1969—),男,福建莆田人,碩士,教授,研究方向:演化博弈論及其應(yīng)用,Email:linhongxi@163.com.