印明昂， 孫志禮， 王健， 張禹

東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110004

多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構與維修策略

印明昂*， 孫志禮， 王健， 張禹

東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110004

為準確構建生產(chǎn)系統(tǒng)中系統(tǒng)結(jié)構與設備維修之間的關系，以串并聯(lián)系統(tǒng)冗余分配問題(RAP)為基礎，引入基于系統(tǒng)可靠性的機會維修策略與基于狀態(tài)的檢測間隔，建立了設備購置與維修費用最少為目標的系統(tǒng)結(jié)構與維修策略的聯(lián)合模型，從而在保證系統(tǒng)生產(chǎn)效率和可用度的前提下，降低系統(tǒng)運行的總成本。利用半馬爾可夫過程和通用生成函數(shù)(UGF)求解出系統(tǒng)在檢測點上各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率、維修費用及可用度。通過算例表明，無論在系統(tǒng)設計之前還是在運行之后，將系統(tǒng)結(jié)構與維修策略綜合考慮比分開考慮更具經(jīng)濟價值。

串并聯(lián)系統(tǒng)； 基于狀態(tài)的維修； 冗余分配問題； 通用生成函數(shù)； 馬爾可夫過程

隨著設備大型化、高性能化與自動化的水平的提高，設備停產(chǎn)的損失也隨之增大。因此，產(chǎn)品的質(zhì)量、產(chǎn)量及生產(chǎn)的總經(jīng)濟效益對設備的依賴性越來越大，所以對設備的可靠性要求也越來越高。行之有效的維修方案也是提高可靠性的重要手段之一[1-2]。在解決生產(chǎn)過程中設備組合優(yōu)化問題時，技術人員在參考以往工程中典型設計案例的基礎上，依據(jù)工程經(jīng)驗，估算出設備的型號與數(shù)量，來組織生產(chǎn)。在此過程中，設備的維修方案受到工程案例少和系統(tǒng)結(jié)構復雜的限制，只能定性地參與其中，因此，生產(chǎn)中設備配置需要解決的問題是，在一定生產(chǎn)能力的要求下，確定各工序中最佳的設備型號、數(shù)量以及相應的維修方案，使之既滿足工廠生產(chǎn)效率的要求，又滿足生產(chǎn)線運行成本最低的要求。因此，生產(chǎn)線配置是一個關于生產(chǎn)線中各工序設備配置和維修方案選擇的組合優(yōu)化問題[3-5]。

產(chǎn)品的生產(chǎn)線通常由若干道工序所組成，每道工序包含若干臺設備，因此，生產(chǎn)線可看成由多臺設備組成的串并聯(lián)系統(tǒng)。已有學者對此進行了較為深入研究，其中主要相關研究有：文獻[6-8]研究的系統(tǒng)模型為串并聯(lián)系統(tǒng)，將設備簡化為兩狀態(tài)設備，通過合理安排各子系統(tǒng)中設備型號、數(shù)量和更換周期，來使系統(tǒng)工作可用度達到使用要求。此類問題稱為串并聯(lián)系統(tǒng)的冗余分配問題 (Redundancy Allocation Problem, RAP)。文獻[9-12]將系統(tǒng)設備擴展為多狀態(tài)設備，這樣可通過預防性維修策略的優(yōu)化，降低因設備失效對系統(tǒng)造成的影響。隨著無損檢測手段的不斷豐富，如油品分析、振動檢測、紅外線、超聲探傷等檢測技術的不斷發(fā)展完善，系統(tǒng)狀態(tài)檢測也成為研究熱點。文獻[13-14]分別建立了串并聯(lián)系統(tǒng)的維修優(yōu)化模型，系統(tǒng)采用間隔檢測方法，設備狀態(tài)需要通過檢測才能確定，并以此為依據(jù)選擇系統(tǒng)維修方式。文獻[9-14]雖然逐步建立了較完整的串并聯(lián)系統(tǒng)維修方式的優(yōu)化模型，但是系統(tǒng)中設備所采用的型號和數(shù)量卻是事先確定的，因此，對于設備配置問題只能在設定好設備型號和數(shù)量之后才能定量地考慮設備維修問題。

1 問題描述

在典型的多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)中N個子系統(tǒng)串聯(lián)在一起。每個子系統(tǒng)有Mi(i=1, 2, …,N)個相同的設備并聯(lián)在一起。對于子系統(tǒng)i，市場上有Vi個不同型號的設備可供選擇。系統(tǒng)中的設備能力隨時間退化，退化過程服從離散馬爾可夫過程。子系統(tǒng)i中的第j個型號的設備從全新狀態(tài)到故障狀態(tài)一共有Sij(j=1, 2, …,Vi)個狀態(tài)。該設備相鄰單位時間內(nèi)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為Pij∈RSij×Sij。Xijl(t)(后簡記為Xijl)表示該子系統(tǒng)中第l個設備在t時段開始時刻的狀態(tài)。在不維修的情況下，會在這個時段內(nèi)保持這個狀態(tài)，其中l(wèi)=1, 2, …,Mi，t為非負整數(shù)。例如Xijl=1表示子系統(tǒng)i采用j型號設備，第l個設備在t時段是全新的；Xijl=Sij表示該設備在t時段處于故障狀態(tài)。當Xijl=w時，設備的生產(chǎn)率為γij(w)，失效的設備生產(chǎn)效率為零，即γij(Sij)=0。子系統(tǒng)的生產(chǎn)效率是其組成設備生產(chǎn)效率之和，與設備的狀態(tài)、型號和數(shù)量有關。設備的狀態(tài)與設備的維修策略相關，型號和數(shù)量由系統(tǒng)結(jié)構所決定。系統(tǒng)的生產(chǎn)效率是各子系統(tǒng)生產(chǎn)效率的最小值。當系統(tǒng)在t時段的生產(chǎn)效率高于設定的效率閾值WR時，系統(tǒng)在t時段是可用的，否則系統(tǒng)失效。

系統(tǒng)采用基于狀態(tài)的維修(Condition-based Maintenance)，包括檢測間隔、預防性維修和故障維修均需要根據(jù)設備的狀態(tài)決定，設備狀態(tài)只能通過檢測確定。當?shù)竭_檢測時間點時，子系統(tǒng)會對所有的設備進行檢測，并得出設備的狀態(tài)。根據(jù)子系統(tǒng)中設備的最差狀態(tài)(Jij=max(Xij1,Xij2,…,XijMi))判斷是否對該子系統(tǒng)進行維修。如子系統(tǒng)需要維修，可通過各個設備的狀態(tài)來選擇各自維修的類型，包括預防性維修和故障維修。各種維修均能使設備恢復如新，并且維修時間與工作時間相比可忽略不計。進而得出維修后各設備狀態(tài)[Yij1Yij2…YijMi]，令Kij=max(Yij1,Yij2,…,YijMi)，并利用Kij判斷該子系統(tǒng)下一次檢測的間隔。如不需要維修，直接通過Jij來判斷該子系統(tǒng)下次檢測間隔。因此，引入了設備狀態(tài)的相關性。設在一次停機中可以對該子系統(tǒng)中多個設備進行維修。例如對一個設備進行故障維修，對另一個設備進行預防性維修，只產(chǎn)生一次停機費用。因此，引入了經(jīng)濟分析的相關性。

2 系統(tǒng)分析

2.1 系統(tǒng)維修策略

維修策略是按照子系統(tǒng)中的設備狀態(tài)來確定維修方式以及檢測間隔的。當子系統(tǒng)運行到檢測點時，會通過檢測得出各設備的狀態(tài)，并依據(jù)維修閾值LM,ij和機會維修閾值LOM,ij選擇維修方式。當Jij≥LM,ij時，將對該子系統(tǒng)中所有狀態(tài)超過LOM,ij的設備進行維修，其中，對故障的設備(Xijl=Sij)進行故障維修，對其余的設備進行預防性維修，對于狀態(tài)未超過LOM,ij的設備不進行維修，維修后找出Kij；當JijLOM,ij也不用維修，此時Kij=Jij。為避免不必要的檢測，采用多檢測閾值Ld,ij，其中d=1,2,…,NIij, NIij是子系統(tǒng)檢測閾值的個數(shù)，并且最大檢測間隔是NIij+1。檢測間隔需要根據(jù)Kij進行判斷。因此，子系統(tǒng)i的維修策略為

(1)

式中：Sij≥LM,ij≥LOM,ij≥L1,ij≥L2,ij≥…≥LNIij,ij≥1。

由于Θij為降序向量，所以可以根據(jù)編號θij來調(diào)用Θij。例如當Sij=2、NIij=2時，θij和Θij的對應關系如表1所示。

表1 維修策略編號Table 1 Coding of maintenance policy

2.2 子系統(tǒng)在半再生點的穩(wěn)態(tài)概率

從檢測閾值的定義可以看出，并不是每一個時間段都需要檢測，進一步可以得出，維修也不是每一個時間段都發(fā)生，因此，Xij(t+1)不僅與Xij(t)有關，還與t+1時段開始時刻子系統(tǒng)是否維修有關。而當前檢測點的子系統(tǒng)狀態(tài)只與上一檢測結(jié)果有關，子系統(tǒng)的狀態(tài)在狀態(tài)檢測點服從嵌入馬爾可夫過程。因此，這一系列檢測時間點SR可看成半再生點。

2.3 子系統(tǒng)維修費用

E(CCM,ij(θij))+E(CPM,ij(θij))]/

E(TSR,ij(θij))

(2)

式中：CST,ij、CCM,ij和CPM,ij分別表示設備的停機費用、故障維修費用和預防性維修費用。

E(CST,ij(θij))=

(3)

式中：SSij為子系統(tǒng)i狀態(tài)的個數(shù)；I(·)為指示函數(shù)。

(4)

E(CCM,ij(θij))=

(5)

(6)

E(TSR,ij(θij))表示子系統(tǒng)i在維修策略θij下的檢測間隔期望。檢測間隔與子系統(tǒng)通過檢測維修后的狀態(tài)有關。

(7)

式中：Δij(w,θij)為在維修策略θij下Xij(t)=w時的檢測間隔。其表達式為

(8)

(9)

2.4 系統(tǒng)可用度

利用通用生函數(shù)(Universal Generating Function，UGF)方法計算系統(tǒng)可用度，方法簡要介紹如下。更多的系統(tǒng)性描述和數(shù)學方法參看文獻[16-18]。

系統(tǒng)i中的設備l利用UGF描述為

(10)

式中：Aijk(θij)表示當子系統(tǒng)i采用θij維修策略時，設備狀態(tài)為k的概率；wijk為其相對應的工作效率。

子系統(tǒng)i中所采用設備是相同的，因此，子系統(tǒng)的UGF描述為

(11)

式(11)利用多項式展開可得

(12)

式中：Wijv為子系統(tǒng)i的第v個工作效率，并且，Wij1<…

Pijv(θij)=

(13)

(14)

式中：Ew,ij(θij)為檢測間隔內(nèi)子系統(tǒng)停留在狀態(tài)w的時間期望，其計算公式為

(15)

式(15)的兩個部分分別表示經(jīng)過檢測維修之后，在第1個單位時間和該檢測間隔內(nèi)其他時間子系統(tǒng)處于狀態(tài)w的時間期望。

N個子系統(tǒng)串聯(lián)在一起，利用UGF方法可以得到

(16)

式(16)也可以展開成為多項式形式，令NPRO表示系統(tǒng)的狀態(tài)個數(shù)，則

(17)

式中：Wv為系統(tǒng)的第v個生產(chǎn)效率，并且W1

系統(tǒng)生產(chǎn)效率閾值為WR，則系統(tǒng)可用度A定義為

(18)

3 系統(tǒng)優(yōu)化模型

3.1 設計變量

系統(tǒng)中變量包括系統(tǒng)結(jié)構與維修策略兩大類。由于系統(tǒng)中子系統(tǒng)的個數(shù)N是確定的，所以，只需考慮子系統(tǒng)結(jié)構即可，而子系統(tǒng)中的結(jié)構變量為設備個數(shù)Mi和設備型號ji。維修策略在2.1節(jié)中已詳述。整個系統(tǒng)的設計變量O為

O=[j1M1θij1j2M2θij2…JNMNθijN]

(19)

3.2 目標函數(shù)及約束條件

(20)

式中：TS為系統(tǒng)運行時間與單位時間的比值。該系統(tǒng)模型的要求是CS最小，與此同時在整個系統(tǒng)運行時間內(nèi)系統(tǒng)可用度AS不低于可用度需求值A0。故約束條件為

AS≥A0

(21)

4 算例分析

4.1 算例1

4.1.1 問題描述

算例中系統(tǒng)包含4個串聯(lián)在一起的子系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)均由若干個相同的設備并聯(lián)而成，每個子系統(tǒng)的設備均有4種不同的型號可供選擇，子系統(tǒng)1中設備的退化過程服從離散時間的馬爾可夫過程，4個不同型號的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為

為減小文章篇幅，其他子系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和子系統(tǒng)1相同，各子系統(tǒng)在不同型號下的生產(chǎn)效率、購置費用和維修費用如表2所示，表2中費用的單位為萬元。生產(chǎn)效率需求WR為3.8，系統(tǒng)需求可用度A0分別被設定為0.90、0.95 和0.99。系統(tǒng)運行時間為1年，每個單位時間為1個月，那么TS=12月。系統(tǒng)的最大檢測間隔為3個月，那么子系統(tǒng)維修策略將包含維修閾值LM,ij，機會維修閾值LOM,ij和兩個檢測閾值Ld,ij(d=1,2)。

表2 子系統(tǒng)在不同型號下的生產(chǎn)效率以及購置與維修費用Table 2 Production efficiency, purchase cost and maintenance cost for different version equipments in each subsystem

4.1.2 結(jié)果分析

通過優(yōu)化程序得到的優(yōu)化結(jié)果如表3所示，優(yōu)化方法可以采用遺傳算法(GA)、粒子群算法(PSO)[19]、或多目標遺傳算法(NSGA-II)[20]等算法。

對序號2進行詳細解釋，系統(tǒng)可用度要求A0為0.95，優(yōu)化后的系統(tǒng)可用度AS為0.953 2，運行費用CS為15.12萬元/年。此時，系統(tǒng)結(jié)構與維修策略為：系統(tǒng)子1采用4型號設備1個，維修策略為16([4 1 1 1])；子系統(tǒng)2采用2型號設備2個，維修策略為10([3 3 1 1])；子系統(tǒng)3采用1型號設備2個，維修策略為3([2 2 1 1])；子系統(tǒng)4采用4型號設備2個，維修策略為35([4 4 4 4])。

對于子系統(tǒng)2來說，如果檢測得到X221=2、X222=4，根據(jù)維修策略10([3 3 1 1])，J22=4 >LM,22=3，故子系統(tǒng)需要維修。因為X221X222>LOM,22，所以只對設備2進行預防性維修。維修后設備2的狀態(tài)恢復如新，即Y222=1，故子系統(tǒng)狀態(tài)向量為[2 1]。再根據(jù)維修策略，K22=2>L1,22=L2,22=1，故檢測間隔為1，也就是說在下一個時間點上子系統(tǒng)1仍然需要檢測。

表3 算例1的優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results for computational example 1

4.2 算例2

算例2為算例1的對比算例。目前的研究方法多是從系統(tǒng)結(jié)構已確定的前提下研究系統(tǒng)的維修策略，從而割斷了系統(tǒng)結(jié)構與維修策略的相關性。對比算例分別從生產(chǎn)線設計和使用兩個階段來展現(xiàn)這種相關性的優(yōu)點。

4.2.1 設計階段

根據(jù)以往的研究來看，設計生產(chǎn)線通常是根據(jù)類似的生產(chǎn)線結(jié)構來設計新的生產(chǎn)線，而維修策略優(yōu)化通常是在系統(tǒng)結(jié)構確定后進行的[11,15]。

設計一生產(chǎn)線要求需求可用度A0=0.95，生產(chǎn)效率閾值WR=3.8。

不妨假設目前已知算例1中序號1(A0為0.90 時的最優(yōu)結(jié)構)和序號3(A0=0.99時的最優(yōu)結(jié)構)的系統(tǒng)結(jié)構作為算例2.1，結(jié)果如表4所示。序號1表示在其他條件不變的情況下，借用A0=0.90時系統(tǒng)最優(yōu)化的結(jié)構，將A0從0.90變?yōu)?.95。從結(jié)果看，即使每個子系統(tǒng)均采用維修策略1這樣的極端維修策略(每個月均對所有設備進行維修)，也未能將系統(tǒng)可用度提升到0.95。序號2就是算例1中的序號2結(jié)果，表示以A0=0.95為約束的前提下，同時設計系統(tǒng)結(jié)構和維修策略的結(jié)果。序號3表示借用算例1中A0=0.99 的系統(tǒng)最優(yōu)結(jié)構，降低A0到0.95的維修策略優(yōu)化結(jié)果。序號2與序號3相比，一年共節(jié)省1.77萬元，其中，維修費用節(jié)省1.22萬元。說明在相同可用度要求下，同時設計系統(tǒng)結(jié)構和維修策略要比在確定結(jié)構下設計維修策略更具經(jīng)濟價值。隨著運行時間越長，維修費用也越來越多，因此，序號2的結(jié)構優(yōu)勢也會日益明顯。

表4 算例2.1對比結(jié)果Table 4 Comparison results for computational example 2.1

4.2.2 使用階段

系統(tǒng)運行后，系統(tǒng)所需要的生產(chǎn)能力可能會因市場的因素發(fā)生變化，假設產(chǎn)品需求分為旺、淡兩季，如果不做出相應調(diào)整勢必會對生產(chǎn)造成一定不良影響。對于確定的系統(tǒng)結(jié)構，只可調(diào)整系統(tǒng)維修策略來降低維修成本。在系統(tǒng)結(jié)構可變的情況，可根據(jù)旺季需求來設計系統(tǒng)結(jié)構與維修策略，而在淡季可通過改變設備運行數(shù)量和調(diào)整維修策略并舉的方式降低維修成本。

設計一系統(tǒng)要求A0=0.99，生產(chǎn)效率閾值分別為WR1=3.8、WR2=1，旺、淡兩季時間相等(算例2.2)。

因為算例2.2中旺季的設計條件與算例1序號3相同，所以此對比算例中3個對比項在旺季的系統(tǒng)結(jié)構和維修費用也就相同。因此只需要對比系統(tǒng)在淡季的維修費用。如表5所示。

表5 算例2.2對比結(jié)果Table 5 Comparison results for computational example 2.2

表5中序號1表示旺季系統(tǒng)運行的狀態(tài)，系統(tǒng)的維修費用為11.01萬元/年，如果系統(tǒng)不作任何改變的話，那么在淡季系統(tǒng)的維修費用會保持不變。在淡季，生產(chǎn)需求有所降低，如果只通過調(diào)整系統(tǒng)的維修策略來降低維修費用，結(jié)果如序號2所示，在淡季系統(tǒng)的維修費用降低到7.78萬元/年，降低了29.34%。如果在優(yōu)化系統(tǒng)維修策略的同時還可以改變系統(tǒng)中設備運行的數(shù)量，結(jié)果如序號3所示，子系統(tǒng)4中運行設備數(shù)從4個降低到2個，同時對維修策略進行調(diào)整，那么在淡季維修費用降低到了6.53萬元/年，降低了40.69%。從淡季的兩種運行方式中可以看出，設備運行數(shù)量與維修策略相結(jié)合的調(diào)整方式要比單一的維修策略調(diào)整方式更具有經(jīng)濟價值。

5 結(jié) 論

1) 在系統(tǒng)結(jié)構冗余設計理論的基礎上，增加了設備狀態(tài)變更條件，考慮了基于狀態(tài)的檢測和機會維修對于系統(tǒng)狀態(tài)的影響，建立了結(jié)構與維修策略相關聯(lián)的串并聯(lián)系統(tǒng)運行費用計算模型。

2) 設計系統(tǒng)時，根據(jù)以往經(jīng)驗來設計系統(tǒng)結(jié)構，可能會導致系統(tǒng)資源浪費，甚至導致設計系統(tǒng)無法滿足生產(chǎn)可用度的需求。

3) 投產(chǎn)后，如果生產(chǎn)需求發(fā)生改變，將維修策略考慮進來的系統(tǒng)結(jié)構優(yōu)化方式更有利于節(jié)約維修成本。

提出的模型能夠合理優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構與維修策略，可保證系統(tǒng)可用度，降低維修費用，為生產(chǎn)部門制定合理的生產(chǎn)計劃與維修方案提供決策依據(jù)。參考文獻

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印明昂男， 博士， 講師。主要研究方向： 系統(tǒng)可靠性。

Tel.: 024-83687620

E-mail: yinma@me.neu.edu.cn

孫志禮男， 博士， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 可靠性。

Tel.: 024-83687620

E-mail: sunzhl@mail.neu.edu.cn

*Correspondingauthor.Tel.：024-83687620E-mail:yinma@me.neu.edu.cn

Structureandmaintenancepolicyofamulti-stateseries-parallelsystem

YINMing’ang*,SUNZhili,WANGJian,ZHANGYu

SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation,NortheasternUniversity,Shenyang110004,China

Toconstructtheassociationbetweensystemstructureandequipmentmaintenanceinproductionsystem,basedonredundancyallocationproblems(RAP),theopportunisticmaintenancepolicyandstate-dependentinspectionintervalsbasedonsystemreliabilitywereintroducedtoestablishjointmodelofsystemstructureandmaintenancepolicywithminimumtotalcostofequipmentpurchasingandmaintenance.Onthepremiseofensuringsystemproductionefficiencyandavailability,thetotalcostwasreduced.Markovprocessanduniversalgeneratingfunction(UGF)wereusedtosolvethesteadyprobabilityvectorsatinspectionpoints,maintenancecostandsystemavailability.Thecomputationalexamplesindicatethatitismoreeconomicaltocomprehensivelyconsiderbothsystemstructureandmaintenancepolicythanseparatelynomatterbeforesystemdesignoraftersystemoperation.

series-parallelsystem;state-dependentmaintenance;RAP;UGF;Markovprocess

2015-11-11；Revised2016-04-04；Accepted2016-04-15；Publishedonline2016-04-290832

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160429.0832.006.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(5120505)；TheFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities(N140303010)

2015-11-11；退修日期；2016-04-04；錄用日期2016-04-15； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡出版時間

時間：2016-04-290832

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160429.0832.006.html

國家自然科學基金 (5120505)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金 (N140303010)

*

.Tel.：024-83687620E-mailyinma@me.neu.edu.cn

印明昂， 孫志禮， 王健， 等. 多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構與維修策略J. 航空學報,2016,37(11):3395-3403.YINMA,SUNZL,WANGJ,etal.Structureandmaintenancepolicyofamulti-stateseries-parallelsystemJ.AeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(11):3395-3403.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0122

V221+.1； TB114.3

A

1000-6893(2016)11-3395-09