劉任洋， 李慶民， 李華， 熊宏錦

1. 海軍工程大學 兵器工程系， 武漢 4300332. 海軍工程大學 科研部， 武漢 4300333. 海軍裝備部駐重慶地區(qū)軍事代表局，重慶 400042

多指標約束下考慮報廢的可修復備件攜行方案優(yōu)化

劉任洋1， 李慶民2, *， 李華1， 熊宏錦3

1. 海軍工程大學 兵器工程系， 武漢 4300332. 海軍工程大學 科研部， 武漢 4300333. 海軍裝備部駐重慶地區(qū)軍事代表局，重慶 400042

針對任務期間普遍存在的故障件報廢和備件多指標約束問題，提出了多層級裝備的可用度近似評估方法及攜行備件方案優(yōu)化方法。首先通過忽略維修時間將考慮報廢率的多層級可修件轉(zhuǎn)化為單層級消耗件，進而利用伽馬分布的可加性建立裝備可用度評估模型。在此基礎上以裝備可用度、備件總質(zhì)量為約束指標，以備件總體積最低為目標構(gòu)建多約束備件優(yōu)化模型。模型求解過程中引入拉格朗日因子，并采用邊際算法對約束因子進行動態(tài)調(diào)整。算例中通過與仿真結(jié)果的對比、分析得出：當維修時間取值在部件等效平均壽命的一半以內(nèi)時，提出的近似方法合理可行，平均誤差小于5%。

任務期間； 多指標約束； 報廢率； 可用度； 備件方案

裝備在執(zhí)行任務期間，備件方案的優(yōu)化問題往往受多個指標的制約。例如，飛機在作戰(zhàn)準備階段，飛行基地需要攜帶配套備件以保證一定周期內(nèi)的獨立作戰(zhàn)。由于受攜行能力、空間等條件的限制，對配套備件種類和數(shù)量的確定不僅要考慮裝備可用度等戰(zhàn)備完好性指標，還需要綜合考慮備件的質(zhì)量、體積、數(shù)量規(guī)模等因素。在該情況下，需要在滿足裝備可用度等各項指標的約束下，尋找最為合適的備件攜行方案。因此，在裝備使用階段針對特定應用背景開展多指標約束下的備件優(yōu)化問題具有現(xiàn)實意義。

國內(nèi)外學者針對多約束備件優(yōu)化問題開展了一系列的研究。Bachman和Kline[1]、Robert和Tovey[2-3]在備件質(zhì)量、體積、期望短缺數(shù)等多指標約束下，對航空備件的配置優(yōu)化問題進行研究；衛(wèi)忠等[4]建立了多級庫存控制下協(xié)同供應鏈的多目標優(yōu)化模型，并采用遺傳算法對模型進行求解。各項指標權(quán)重在模型優(yōu)化迭代計算過程中動態(tài)更新，以得到滿足各項指標約束的備件優(yōu)化方案[5-6]；王乃超和康銳[7]建立了單層級裝備的多約束庫存優(yōu)化模型，并利用次梯度法更新拉格朗日乘子求得模型最優(yōu)解；阮旻智等[8]針對各約束指標之間的不同量綱范圍，解決了模型中初始約束因子的確定問題。

然而，以上文獻的研究對象均針對消耗件或完全可修件，而當飛機在執(zhí)行具體任務時，受現(xiàn)場維修條件制約，飛行基地不可能對所有故障情況進行修復，必然有一批故障件會因為得不到修復而報廢[9]。因此，當故障件存在報廢率時，其備件模型如何建立是一個值得研究的問題。

本文針對上述問題，在飛行基地無外界補給的特定保障模式下，結(jié)合任務期間修復概率小于1的實際情況，利用近似等效思想建立了裝備可用度近似評估模型以及多指標約束下的攜行備件方案優(yōu)化模型。在算例中通過仿真方法驗證了本文模型的有效性和適用性，并分析了多約束指標值的設定范圍。研究內(nèi)容可為裝備保障人員在任務期間對裝備保障效能的評估、多約束指標值的設定以及備件方案的制定提供新思路。

1 模型描述及參數(shù)定義

1.1 模型描述與假設

裝備一般包含多個結(jié)構(gòu)層次，根據(jù)在裝備系統(tǒng)所處的不同結(jié)構(gòu)層次，備件分為現(xiàn)場可更換單元(Line Replacable Unit，LRU)、車間更換單元(Shop Replacable Unit，SRU)等，圖1為一個典型的多層次結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

圖1 裝備層次結(jié)構(gòu)Fig. 1 Hierarchical structure of equipment

下面以裝備中包含LRU、SRU為例，描述其維修保障過程。在任務周期內(nèi)，若裝備發(fā)生故障，原因是所屬的第1層級部件LRU故障導致，采用換件維修的方式將故障LRU拆卸。如果現(xiàn)場有該LRU備件，則立刻進行更換完成裝備的修理，如果沒有LRU備件，就發(fā)生一次LRU備件短缺。受維修條件限制，拆下的故障LRU存在一定的修復概率，如果不能維修則報廢。對故障LRU進行維修，故障原因是其所屬的SRU故障導致。如果現(xiàn)場有該SRU備件，則將其安裝到LRU上從而完成對LRU的修理，如果沒有SRU備件，則會造成LRU的修理延誤。故障SRU的維修和報廢過程與LRU相同。當一件LRU修理成功，備件短缺事件就得以解決[10]。

為了簡化建模過程，在上述保障過程描述的基礎上做出如下幾點假設和說明：

1) 所有備件需求率均服從泊松分布。

2) 故障件的定位以及備件的更換在瞬間完成，時間均忽略不計。

3) 對故障件維修時不考慮故障單元之間的維修優(yōu)先權(quán)，采用先到先維修的策略，不考慮重測完好率、虛警率等維修參數(shù)的影響。

4) 現(xiàn)場維修渠道無限，不會因為維修渠道被占滿而出現(xiàn)維修等待的現(xiàn)象。

5) LRU的故障只是由于其所屬SRU之一故障所致，不考慮多個SRU同時故障的情況。

6) 部件均存在一定的修復概率，無法維修則報廢，不考慮外部補給的情況。

7) 部署于飛機上的多臺同型裝備之間為獨立關(guān)系，工作時相互不受影響；裝備中同一層級部件之間為串聯(lián)關(guān)系。

1.2 重要參數(shù)定義及符號說明

i：部件項目編號，i=1,2,…,I，I為部件類型總數(shù)。

c：部件層級編號，c=0,1,…,C，c=0表示裝備系統(tǒng)，c=1表示第1層級部件LRU，c=C表示處于裝備中最底層部件；c=2,3,…,C-1表示處于中間結(jié)構(gòu)層級部件；

Inden(c)：在裝備結(jié)構(gòu)中處于第c層次的項目集合。

Sub(i)：部件i所屬下一層級的分組件集合。

Aub(i)：部件i上面所有層級的母體集合。

MTBFi：部件i的平均壽命。

ri：部件i的維修概率。

Zi：部件i在其母體中的單機安裝數(shù)量。

Si：備件i的庫存量。

mi：備件i的質(zhì)量。

vi：備件i的體積。

T：裝備在任務周期內(nèi)的計劃工作時間。

N：裝備在飛機上的部署數(shù)量。

A：裝備可用度。

2 考慮報廢的多層級可修件近似等效模型

2.1 報廢條件下可修件的消耗件近似等效

對于存在一定報廢概率的可修件，從其工作到報廢的整個壽命周期看，除了中間的若干次維修過程，與消耗件存在相似的壽命過程。兩者的本質(zhì)區(qū)別在于前者是間斷工作直至報廢，而消耗件是連續(xù)工作直至報廢。間斷工作的原因由維修造成，通過分析可知：維修時間對備件模型的本質(zhì)影響是產(chǎn)生維修延誤，而維修延誤在很多情況下都會被充足的備件抵消或降低。因此，為了便于建模和工程應用，本節(jié)提出忽略維修時間，將間斷工作的可修件等效為連續(xù)工作的消耗件處理。

對于單項可修件，在任務時間周期內(nèi)發(fā)生故障的平均次數(shù)為

(1)

在不考慮維修時間的條件下，可將該可修件近似等效為平均壽命為MTBFe的消耗件，其中MTBFe即首項為MTBF，公比為r，項數(shù)為n(對n取整)的等比數(shù)列之和：

MTBFe=MTBF+MTBF·r+

MTBF·r2+···+MTBF·rn-1=

(2)

式(2)描述了任務期間在一定維修概率下，可修件經(jīng)歷若干次故障、維修以及正常工作的壽命周期過程。通過上述壽命等效過程，具有維修概率r，平均故障間隔時間為MTBF的可修件則近似等效為平均壽命為MTBFe的消耗件。而對于忽略維修時間的可行性和誤差分析，將在后面的算例中進行討論。

2.2 多層級備件的單層級等效

由多層級裝備的維修過程可知，由于下層級的子備件完全用于維修故障的母體部件，使母體部件產(chǎn)生新的備件，因此若能提前算出所有下層子備件所能維修的對應故障母體部件的總數(shù)量，就能將該母體部件的維修總量作為母體備件去代替所有下層級的子備件。即將下層級的子備件數(shù)量折算成上層級的母體備件數(shù)量，實現(xiàn)裝備多層級的扁平化處理。

對于底層部件i(i∈Inden(C))，利用2.1節(jié)方法將其等效為消耗件，考慮機裝數(shù)和上面所有層級母體部件l(l∈Aub(i))維修概率的影響，等效后的平均壽命為

(3)

等效消耗件備件數(shù)量為底層部件i的原始備件數(shù)量：

Sei=Si

(4)

對于中間層級部件i(i?Inden(C),i?Inden(1))，當部件i發(fā)生故障，其故障原因是所屬的某個子部件z(z∈Sub(i))故障所致的條件概率為

(5)

則對故障部件i維修一次所消耗子備件z的數(shù)量為

(6)

將所有子備件消耗量等效折算為部件i的備件增加量，即

(7)

下面給出部件i累積備件增加量的計算流程：

步驟3更新當前各子備件庫存量：Sz=Sz-ΔSz,z∈Sub(i)。

(8)

通過以上折算過程，將部件i等效為消耗件，其平均壽命為

(9)

對于頂層部件LRUi(i∈Inden(1))，其等效備件數(shù)量和平均壽命的計算過程與中間層級部件相同，但由于考慮裝備部署數(shù)量，由式(8)計算得到的等效備件數(shù)量還需要在各裝備之間平均分配。因此，對式(8)進行修正得到頂層部件LRUi(i∈Inden(1))的等效備件數(shù)量為

(10)

其等效平均壽命則由式(9)得到。

裝備組成中各層級部件的等效備件數(shù)量和等效平均壽命均可根據(jù)上述步驟進行遞推，遞推計算由底層部件i(i∈Inden(C))開始，直至頂層部件(第1層級LRU)，從而將復雜的多層級備件問題轉(zhuǎn)換為只需考慮第1層級LRUi(i∈Inden(1))的單層級消耗件問題。

3 可用度評估模型

裝備可用度是評價備件方案好壞、評估裝備保障效能的常用指標，其定義為裝備期望工作時間與總?cè)蝿諘r間之比。由第2節(jié)方法計算得到的頂層LRUi等效備件數(shù)量Sei(i∈Inden(1))通常為非整數(shù)，直接利用指數(shù)型可用度計算模型將面臨備件數(shù)量的近似取整問題，從而會導致一定的誤差。由伽馬分布的性質(zhì)可知，指數(shù)分布是伽馬分布的特例，利用這一性質(zhì)，可將指數(shù)型部件轉(zhuǎn)化為伽馬型部件處理。

對于服從Ga(a,b)的伽馬分布，當a=1時，伽馬分布即為指數(shù)分布。因此，平均壽命為MTBFei(i∈Inden(1))的指數(shù)型LRU部件與參數(shù)為(1,MTBFei)的伽馬型LRU部件完全等效。根據(jù)伽馬分布的可加性[11]：服從參數(shù)(1,MTBFei)的伽馬型LRU部件，忽略備件更換時間，在Sei次換件下的壽命仍服從伽馬分布，其參數(shù)為(1+Sei,MTBFei)，這里形狀參數(shù)1+Sei可以取值非整數(shù)，很好地避免了指數(shù)型備件數(shù)量需近似取整的問題。由此得到LRUi在Sei個備件下的可靠度函數(shù)為

(11)

由于假設裝備各LRU組件為串聯(lián)的可靠性關(guān)系，對于串聯(lián)系統(tǒng)可用度的求解，大部分參考文獻及資料均認為系統(tǒng)(裝備)可用度為各LRU可用度之積，如頗具權(quán)威性的GJB4355[12]以及METRIC理論的相關(guān)經(jīng)典文獻和著作[13-14]，即

(12)

實際上，用式(12)計算串聯(lián)系統(tǒng)可用度是不準確的。因為對于串聯(lián)系統(tǒng)而言，只存在系統(tǒng)可靠度為各部件可靠度之積這一性質(zhì)：

(13)

由于裝備可用度為任務時間內(nèi)的平均可靠度[15]，則有

(14)

對比式(12)、式(14)，顯然有A≥A′，因而對于串聯(lián)系統(tǒng)，用單元可用度之積去計算系統(tǒng)可用度將導致結(jié)果偏低，從而得到保守的備件方案。

4 多指標約束下的備件方案優(yōu)化模型

4.1 優(yōu)化模型的建立

在規(guī)劃任務期間空運攜行備件方案時，受飛機攜行能力及空間的制約，備件方案的制定常常受到多項指標因素的約束，除了裝備可用度約束外，還有備件質(zhì)量、體積等。因此，建立備件優(yōu)化模型時需要對這些指標進行綜合權(quán)衡，在滿足各項指標的同時使備件方案達到最優(yōu)。所建優(yōu)化模型為

(15)

式中：M0為規(guī)定的總質(zhì)量指標；A0為規(guī)定的可用度指標。

4.2 模型的求解方法

通過引入拉格朗日乘子處理上述多指標約束問題[3]，將備件的單位質(zhì)量約束轉(zhuǎn)化為體積約束，得到包含備件質(zhì)量和體積的資源規(guī)模為

di=vi+θmmi

(16)

式中：θm為拉格朗日質(zhì)量因子。采用邊際優(yōu)化算法[16]對模型進行求解，在確定邊際效應值時，用備件資源規(guī)模約束di代替只考慮體積約束的vi，具體步驟如下：

步驟1構(gòu)造備件方案矩陣S=[S1S2…SI]，并初始化令S=0。

步驟2計算第i項備件的邊際效應值為

(17)

式中：ones(i)為第i項備件庫存量為1，其他全為0的矩陣。

步驟3將δ(i)值最大者所對應的備件i庫存量加1，由此得到新的庫存量矩陣S。

步驟4計算在新庫存方案S下的裝備可用度A，并與規(guī)定的可用度指標A0比較，如果A≥A0，算法結(jié)束，此時的S即為最優(yōu)備件方案；反之則轉(zhuǎn)入步驟 2進行迭代。

由于拉格朗日因子θm在上述求解過稱中為未知參數(shù)，因此，在模型優(yōu)化前首先需要確定θm的值，方法如下：

步驟1令θm=0，通過上述邊際優(yōu)化算法得到只考慮體積約束下的備件方案矩陣S0。

步驟2計算在該方案下的備件總質(zhì)量M(S0)和總體積V(S0)。

步驟3確定θm的初始值，記為θm0：

θm0=V(S0)/M(S0)

(18)

步驟4計算在θm0下的備件方案矩陣S以及對應的M(S)和V(S)。

步驟5如果滿足M(S)≤M0，算法結(jié)束，S即為最優(yōu)方案。如果M(S)>M0，說明備件方案未滿足質(zhì)量指標要求，需要增大θm的值，其增量確定方法為

(19)

得到調(diào)整后的θm值后轉(zhuǎn)入步驟 4。

需要指出的是，由于各指標之間的相互制約，可能存在不論怎么調(diào)整θm0的值都得不到滿足所有約束指標的備件方案，此時則需要考慮適當放寬約束條件。

5 算例分析

5.1 案例想定

假設某飛行裝備執(zhí)行空中偵察任務，任務期間計劃總工作時間T=1 500 h。裝備的層次結(jié)構(gòu)如圖1所示，部署數(shù)量N=1。裝備所含部件均存在一定修復概率。現(xiàn)要求制定該裝備的配套備件攜行方案，使裝備可用度不低于0.95，備件總質(zhì)量不高于460 kg。備件的相關(guān)輸入?yún)?shù)如表1所示(Ti為部件i的維修時間)。

表1 備件輸入?yún)?shù)Table 1 Input parameters of spare parts

5.2 攜行備件方案優(yōu)化結(jié)果與仿真驗證

為了驗證本文近似可用度評估方法的正確性，采用MATLAB平臺構(gòu)造仿真模型與近似結(jié)果進行對比。仿真次數(shù)設為1 000，單次仿真的主要流程如圖3所示，分別統(tǒng)計每次仿真的累計停機時間Td，則可用度為1-Td/T，取1 000次仿真所得的可用度均值作為最終輸出結(jié)果。將表2的備件攜行方案輸入仿真模型，得到裝備可用度評估結(jié)果為0.931 9，與仿真結(jié)果相比，近似結(jié)果的相對誤差為2.64%，在合理的誤差范圍內(nèi)。

表2 最優(yōu)備件攜行方案Table 2 Optimal carrying project of spare parts

圖2 多指標約束下的備件優(yōu)化曲線 Fig. 2 Optimization curve of spare parts under multi-constraints

圖3 單次仿真的主要流程Fig. 3 Main simulation process of single time

5.3 多約束指標值設定分析

在設置多約束指標值時，由于各指標間的相互制約，如果指標值設置不合理，模型則無法求解。實際上，對于本文的多約束問題，當其中一個約束指標值確定后，其他約束指標均存在在該指標約束值下的上限值，只有當其他約束指標設定的規(guī)定值不超過它們各自的上限值，才有可能求出滿足條件的最優(yōu)解。因此，通過求解其他指標的上限值可以判斷規(guī)定的約束指標值是否設置合理，也可以為各指標值的設定提供參考。

以可用度達到0.95為約束指標，計算質(zhì)量和體積指標的上限值。方法為分別以備件總質(zhì)量最小、備件總體積最小為優(yōu)化目標，利用單指標的邊際優(yōu)化算法，得到如圖4所示的優(yōu)化迭代曲線。所得質(zhì)量指標的上限值為458 kg，體積指標的上限值為3 m3。因此，要使可用度達到0.95，在設置質(zhì)量或體積的指標值M0、V0時，應盡量滿足M0≥458 kg，V0≥3 m3。

圖4 不同優(yōu)化目標下的迭代曲線Fig. 4 Iteration curves under different optimization objective

5.4 近似方法適用性分析

為了探究本文近似方法的適用性以及維修時間Ti對可用度評估的影響。在表2所求最優(yōu)備件方案S下，令任務周期計劃工作時間T以500 h為間隔，在[1 000,10 000] h區(qū)間內(nèi)取值，比較近似方法與仿真方法的可用度評估結(jié)果如圖5(a)所示，圖中兩條曲線基本重合，相對誤差最大發(fā)生在T=3 000 h時，其值為3.12%，在合理范圍內(nèi)。由此可以看出，相對于漫長的任務期，算例中由80 h的維修時間產(chǎn)生的維修延誤時間(即由于故障件維修或等待維修造成的裝備停機時間)極短甚至可以忽略不計，從而對可用度的影響不大。

圖5 不同維修時間下的可用度評估結(jié)果對比 Fig. 5 Comparison of availability results at different maintenance time

將所有部件的維修時間進一步延長，分別設為150 h、300 h，得到近似結(jié)果和仿真結(jié)果如圖5(b)和圖5(c)所示。同圖5(a)進行綜合對比可以看出，隨著維修時間的增加，近似評估曲線逐漸偏離仿真曲線，近似結(jié)果相對誤差最大值分別增加至5.86%和8.79%。這是由于維修時間的增加造成維修延誤的逐漸累積，當維修延誤時間累積增加到一定程度時將對可用度造成較大影響。

通過大量試驗表明，當維修時間取值在部件等效平均壽命的一半以內(nèi)時，本文近似評估方法能保證一定的精度(平均誤差5%以內(nèi))；當維修時間超過部件等效平均壽命時，近似方法無法實現(xiàn)定量評估，但可以作為定性評估備件方案好壞和可用度高低的有效手段。另外，作為一種工程近似的解析方法，其對可用度的評估耗時僅為仿真方法的十分之一，在面對大批量備件優(yōu)化問題時具有一定優(yōu)勢。

6 結(jié) 論

本文結(jié)合任務期間普遍存在的故障件報廢問題，研究了多指標約束下攜行備件方案的優(yōu)化方法，并對各約束指標值的設定范圍進行了分析。通過與大量仿真結(jié)果的對比驗證表明：本文近似可用度評估方法能對維修時間不是太長(在部件等效平均壽命的一半以內(nèi))的一般情況進行較準確的定量評估，平均誤差在5%以內(nèi)，且維修時間越短，精度越高。

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劉任洋男，博士研究生。主要研究方向：裝備綜合保障。

E-mail: 463572090@qq.com

李慶民男，博士，教授，博士生導師。主要研究方向：裝備綜合保障仿真技術(shù)，海軍水中兵器對抗仿真與試驗等。

Tel: 027-83442947

E-mail: licheng001@hotmail.com

李華男，博士，高級工程師。主要研究方向：裝備綜合保障仿真技術(shù)，海軍水中兵器對抗仿真與試驗等。

E-mail: akbng094nba@163.com

熊宏錦男，博士。主要研究方向：裝備保障和維護。

E-mail: andy_sto@163.com

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160118.1642.012.html

Optimizationmethodofcarryingprojectforrepairablespareswithscrapundermulti-constraints

LIURenyang1,LIQingmin2,*,LIHua1,XIONGHongjin3

1.DepartmentofWeaponryEngineering,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China2.OfficeofResearch&Development,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China3.MilitaryRepresentativeOfficeofNavalEquipmentDepartmentinChongqing,Chongqing400042,China

Forthewidelyexistedproblemofthescrapforfaultpartsandsparescarryingundermulti-constraintsduringthemission,approximationmethodofavailabilityevaluationandsparesoptimizationformulti-indentureequipmentareproposed.First,repairablespareswithscrapwhichcontainmulti-indentureareconvertedtonon-repairablespareswhichonlycontainsingle-indenturebyomittingthemaintenancetime.Then,evaluationmodelofavailabilityisobtainedbasedontheadditivepropertyofGammadistribution.Afterwards,theoptimizationmodelofsparesisbuiltwiththelowestvolumeunderconstraintsofavailabilityandmass.Lagrangefactorstowhichdynamicadjustmentismadebymarginalalgorithmareintroducedduringthemodelsolving.Inactualexamplecomparedwithsimulationresults,theapproximationmethodisreasonableandfeasiblewhenmaintenancetimeislessthanhalfoftheequivalentaveragelife,whichmakestheaverageerrorlessthan5%.

duringthemission;multi-constraints;scraprate;availability;sparepartconfiguration

2015-10-29;Revised2015-11-19;Accepted2016-01-04;Publishedonline2016-01-181642

s：NationalDefensePre-researchFoundationofChina(51304010206,51327020105)

.Tel.:027-83442947E-maillicheng001@hotmail.com

2015-10-29;退修日期2015-11-19;錄用日期2016-01-04; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡出版時間

時間:2016-01-181642

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160118.1642.012.html

國防預研項目 (51304010206，51327020105)

.Tel.:027-83442947E-maillicheng001@hotmail.com

劉任洋， 李慶民， 李華， 等．多指標約束下考慮報廢的可修復備件攜行方案優(yōu)化J. 航空學報,2016,37(10):3131-3139.LIURY,LIQM,LIH,etal.Optimizationmethodofcarryingprojectforrepairablespareswithscrapundermulti-constraintsJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(10):3131-3139.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0018

V125.7 ; E911； TJ761.1

A

1000-6893(2016)10-3131-09