陳慧穎

中考數(shù)學(xué)中分類討論思想例析

陳慧穎

分類思想是化整為零、分別對(duì)待、各個(gè)擊破的一種思維策略，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想方法.運(yùn)用的關(guān)鍵在于正確地進(jìn)行分類，即選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行全面分類，確保分類的科學(xué)——既不重復(fù)，也不遺漏.運(yùn)用分類討論，可以把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題拆分成若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，有利于培養(yǎng)同學(xué)們思維的條理性、縝密性、科學(xué)性.現(xiàn)以2015年中考試題為例加以歸類說(shuō)明.

一、方程中的分類討論

例1（2015·臺(tái)州）關(guān)于x的方程mx2+ x-m+1=0，有以下三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)m=0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；②當(dāng)m≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解；③無(wú)論m取何值，方程都有一個(gè)負(fù)數(shù)解，其中正確的是_______.（填序號(hào)）

解：①當(dāng)m=0時(shí)，方程為x+1=0，解之得x=-1，故方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)m≠0時(shí)，Δ=12-4m（-m+1）=（2m-1）2，

③由①知，當(dāng)m=0時(shí)，方程的解為x=-1，

當(dāng)m≠0時(shí)，

∵mx2+x-m+1=（mx+1-m）（x+1），

∴方程mx2+x-m+1=0的解為：

x1=-1，x2=

∴無(wú)論m取何值，方程都有一個(gè)負(fù)數(shù)解x=-1.

綜上所述，正確的結(jié)論是①③.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于含字母系數(shù)的方程，如果沒(méi)有明確說(shuō)明是一元二次方程還是一元一次方程，要分方程是一元二次方程和一元一次方程兩種情況討論.所以，對(duì)于含有字母系數(shù)的方程問(wèn)題，要根據(jù)字母系數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論.

二、函數(shù)中的分類討論

例2（2015·黃石）一食堂需要購(gòu)買盒子存放食物，盒子有A，B兩種型號(hào)，單個(gè)盒子的容量和價(jià)格如表.現(xiàn)有15升食物需要存放且要求每個(gè)盒子要裝滿，由于A型號(hào)盒子正做促銷活動(dòng)：購(gòu)買三個(gè)及三個(gè)以上可一次性返還現(xiàn)金4元，則購(gòu)買盒子所需最少費(fèi)用為_(kāi)______元.

解：設(shè)購(gòu)買A種型號(hào)盒子x個(gè)，購(gòu)買盒子所需要費(fèi)用為y元，

①當(dāng)0≤x＜3時(shí)，

∵k=1＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，最小值為30元；

②當(dāng)x≥3時(shí)，

∵k=1＞0，∴y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值，最小值為29元.

綜合①②可得，購(gòu)買盒子需要的最少費(fèi)用為29元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最小值的問(wèn)題.由于沒(méi)有明確購(gòu)買盒子的個(gè)數(shù)情況，所以要分0≤x＜3和x≥3兩種情況分類討論，然后再取舍.

三、等腰三角形中的分類討論

例3（2015·西寧）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是______.

解：此題要分情況討論：

①當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部，

所以根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+20°=110°；

②當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，頂角是90°-20°=70°.

故答案為：110°或70°.

【點(diǎn)評(píng)】由于沒(méi)有明確說(shuō)明三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，所以要分兩種情況討論.如果原三角形是鈍角三角形，則高在三角形外；若原三角形是銳角三角形，則高在三角形內(nèi).若等腰三角形已知的邊沒(méi)有明確是底邊還是腰，或者已知的角沒(méi)有明確是底角還是頂角，都要分情況討論.同時(shí)要考慮三邊的長(zhǎng)是否滿足三角形的三邊關(guān)系，即對(duì)解的情況要進(jìn)行檢驗(yàn)，以保證最后的解正確無(wú)誤，防止犯“顧此失彼”的錯(cuò)誤.

四、直角三角形中的分類討論

例4（2015·南昌）如圖1，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為_(kāi)______.

圖1　

圖2　

解：分三種情況討論：

①如圖2，點(diǎn)P在三角形內(nèi)且∠APB=90°，

∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO=BO=2，

又∵∠AOC=60°，∴△APO是等邊三角形，

∴AP=2；

圖3　

圖4　

②如圖3，點(diǎn)P在三角形外且∠APB=90°，

∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2，

又∵∠AOC=60°，∴∠BAP=30°，

③如圖4，點(diǎn)P在三角形外且∠ABP=90°，

∵BO=AO=2，∠BOP=∠AOC=60°，

【點(diǎn)評(píng)】在Rt△PAB中，由于∠PAB不可能是直角，而在∠PBA與∠APB中沒(méi)有明確哪個(gè)角是直角，所以要根據(jù)∠PBA=90°和∠APB=90°兩種情況討論.對(duì)于∠APB=90°，動(dòng)點(diǎn)P可能在△ABC的外部，也可能在△ABC的內(nèi)部，所以還要對(duì)動(dòng)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論.

五、平行四邊形中的分類討論

例5（2015·綏化）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在AB上.若將△DAP沿DP折疊，使點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線上的A′處，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

解：①點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上，如圖5，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，

設(shè)AP=x，則BP=4-x，

∵BP2=BA′2+PA′2，

∴（4-x）2=22+x2，解得

圖5　

圖6　

②點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上，如圖6，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知DP⊥AC，

【點(diǎn)評(píng)】由于沒(méi)有明確點(diǎn)A落在矩形的哪條對(duì)角線上，所以要分點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上和點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上兩種情況討論.當(dāng)點(diǎn)A′在BD上時(shí)，需構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決，當(dāng)點(diǎn)A′在AC上時(shí)，需構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決.以對(duì)角線為依據(jù)來(lái)確定點(diǎn)的位置是解決平行四邊形問(wèn)題最常用的方法.

六、圓中的分類討論

例6（2015·梅州）如圖7，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（0，3）.

（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖7　

解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（0，3），

設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，代入函數(shù)解析式得：

（2）∵OA=4，OB=3，∴AB=5.

①如圖7，⊙M與直線l相切，切點(diǎn)為N，點(diǎn)N在點(diǎn)B的上方，連接MN，則MN⊥AB，

∴OM=OB+BM=5.5，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，5.5）.

②⊙M與直線l相切，切點(diǎn)為N′，點(diǎn)N′在點(diǎn)B的下方，連接MN′，則MN′⊥AB，

∴∠MN′B=90°，

同理可得BM=2.5，∴OM=OB-BM=0.5，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0.5）.

綜上可得：當(dāng)⊙M與此直線l相切時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，0.5）或（0，5.5）.

【點(diǎn)評(píng)】圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，在沒(méi)有明確圖形位置的情況下，符合題意的圖形可能有多種，因此應(yīng)注意圓的問(wèn)題的多樣性，不要忘記分情況討論.直線與圓相切，圓可能在直線上方，也可能在直線下方，所以本題應(yīng)分兩種情況討論.

七、運(yùn)動(dòng)圖形中的分類討論

例7（2015·葫蘆島）如圖8，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P、Q分別是CD、AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)，沿P→D→Q運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速度相同.設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像是（）.

圖8　

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)動(dòng)態(tài)幾何的分析必須找準(zhǔn)變化過(guò)程的分界點(diǎn)，逐段討論.在動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng)，正確確定分類對(duì)象，進(jìn)行合理分類是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

所以，周密思考，運(yùn)用分類思想，以防止漏解是十分必要的.對(duì)于分類討論解決問(wèn)題的方法，要弄清為什么要分類和怎樣分類這兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.只有抓住分類的動(dòng)因，把握分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到分類時(shí)條理清楚、標(biāo)準(zhǔn)一致，在解答問(wèn)題時(shí)就不會(huì)重復(fù)和遺漏，保證解題正確無(wú)誤.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）