李煥

整合信息提高實(shí)效——中考數(shù)學(xué)中關(guān)于圖表信息問(wèn)題的探討

李煥

隨著時(shí)代的發(fā)展進(jìn)步，我們的生活越來(lái)越趨向信息化、數(shù)據(jù)化，與之相關(guān)的信息題也在中考數(shù)學(xué)中備受歡迎.中考專(zhuān)家也為此加強(qiáng)了對(duì)圖表信息問(wèn)題的關(guān)注，即通過(guò)對(duì)從實(shí)際生活中獲取的圖表信息進(jìn)行觀察、整理、加工、處理，考查同學(xué)們分析問(wèn)題，處理問(wèn)題的能力.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)題眼，獲取信息，從而解決問(wèn)題.

例1某地區(qū)為了進(jìn)一步緩解交通擁堵問(wèn)題，決定修建一條長(zhǎng)為6千米的公路.平均每天的修建費(fèi)y（萬(wàn)元）與修建天數(shù)x（天）在30≤x≤120之間時(shí)具有一次函數(shù)的關(guān)系.如下表所示：

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）后來(lái)在修建的過(guò)程中計(jì)劃發(fā)生改變，政府決定多修2千米，因此在沒(méi)有增減建設(shè)力量的情況下，修完這條路比計(jì)劃晚了15天，求原計(jì)劃每天的修建費(fèi).

【思路突破】本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用.

（1）通過(guò)仔細(xì)讀題、觀察表格可以設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)原計(jì)劃要m天完成，因?yàn)橛?jì)劃發(fā)生改變后，修完這條路比計(jì)劃晚了15天，則增加2km后用了（m+15）天，根據(jù)每天修建的工作量不變建立方程求出其解，就可以得出計(jì)劃的時(shí)間，然后代入（1）的解析式即可求出答案.

解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將（50，40），（60，38）代入解析式得：

（2）設(shè)原計(jì)劃要m天完成，則增加2km后用了（m+15）天，由題意，得

解得：m=45，經(jīng)檢驗(yàn)m=45是原方程的根.

【解后反思】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的運(yùn)用，也可以從圖像中讀取信息用方程解決.在列分式方程解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可以設(shè)間接未知數(shù)來(lái)解答應(yīng)用題，解答時(shí)建立分式方程求出計(jì)劃修建的時(shí)間是關(guān)鍵.

例2在一條直線上依次有A，B，C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終到達(dá)C港.設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

（1）填空：A，C兩港口間的距離為_(kāi)_____km，a=______；

（2）求圖中點(diǎn)P的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義；

（3）若兩船的距離不超過(guò)10km時(shí)能夠相互望見(jiàn)，求甲、乙兩船可以相互望見(jiàn)時(shí)x的取值范圍.

圖1　

【思路突破】本題考查數(shù)形結(jié)合思想及一次函數(shù)的應(yīng)用.根據(jù)函數(shù)的圖像，我們可以把A，B，C三個(gè)港口的位置用線形示意圖畫(huà)出來(lái)，如圖2，圖像中點(diǎn)P表示當(dāng)甲到達(dá)B港口后又經(jīng)過(guò)了一段時(shí)間，甲、乙兩船與B港口的距離相等（或甲船追上乙船）.所以可以有兩種解法：一種是利用一次函數(shù)的解析式來(lái)求交點(diǎn)坐標(biāo)；另一種則是利用追及問(wèn)題的方法來(lái)解.若用第二種方法可設(shè)甲船追上乙船時(shí)，用了t小時(shí)，則可知甲船t小時(shí)比乙船多行了30km，由圖1容易知道甲、乙兩船的速度分別是于是可列方程60t=30t+30輕松求解.對(duì)于第（3）小題，應(yīng)該通過(guò)分類(lèi)討論來(lái)解決問(wèn)題.

圖2　

解：（1）120；2.

（2）（方法一）設(shè)y2=kx，由點(diǎn)（3，90）代入，求得y2=30x.

當(dāng)x＞0.5時(shí)，設(shè)y1=kx+b，由點(diǎn)（0.5，0），（2，90）代入，求得y1=60x-30.

當(dāng)y1=y2時(shí)，60x-30=30x，解得x=1.

代入得y1=y2=30.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，30）.

所以乙船行駛的路程為30×1=30（km），

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，30）.

P點(diǎn)坐標(biāo)的意義為：當(dāng)兩船出發(fā)1h后，甲船追上乙船，此時(shí)兩船離B港的距離為30km.

（3）①當(dāng)x≤0.5時(shí)，設(shè)y1=kx+b，由點(diǎn)（0，30），（0.5，0）求得y1=-60x+30.

依題意，（-60x+30）+30x≤10，

②當(dāng)0.5＜x≤1時(shí)，依題意，30x-（60x-30）≤10，

③當(dāng)x＞1時(shí)，依題意，（60x-30）-30x≤10，

④當(dāng)2≤x≤3時(shí)，甲船已經(jīng)到了，乙船還在行駛，

【解后反思】本題考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.解題的關(guān)鍵是認(rèn)真讀題、看懂圖，利用線形示意圖確定三個(gè)港口的位置.難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)要分類(lèi)討論.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）