劉毓萱

一類(lèi)溫鹽雙擴(kuò)散對(duì)流系統(tǒng)流動(dòng)機(jī)理的參數(shù)化分析（二）

劉毓萱

（北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏銀川，750021）

溫鹽雙擴(kuò)散對(duì)流系統(tǒng)具有豐富的流體形態(tài)和復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，正確理解雙擴(kuò)散對(duì)流機(jī)理可為解決真實(shí)的復(fù)雜問(wèn)題提供理論指導(dǎo)和解決方案。通過(guò)物理模型構(gòu)建、數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)，通過(guò)計(jì)算與觀察開(kāi)展機(jī)理研究，并總結(jié)規(guī)律。結(jié)果表明：隨著浮力比的變化，除了典型的穩(wěn)定層流和中心對(duì)稱流，還存在一種具有奇偶交換周期結(jié)構(gòu)的流場(chǎng)。通過(guò)對(duì)該流場(chǎng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，獲得了高達(dá)11的渦數(shù)。對(duì)計(jì)算流體力學(xué)學(xué)科的發(fā)展有參考價(jià)值。

雙擴(kuò)散對(duì)流；周期流；多胞流；數(shù)值模擬；浮力比；奇偶交換周期結(jié)構(gòu)；計(jì)算流體力學(xué)

引言

雙擴(kuò)散對(duì)流問(wèn)題，如海洋環(huán)流、大氣環(huán)流、地下污染物擴(kuò)散和運(yùn)輸、土壤鹽度擴(kuò)散、溫度擴(kuò)散、大氣污染擴(kuò)散、晶體生長(zhǎng)過(guò)程、核電廠及常規(guī)電廠的熱能輸運(yùn)過(guò)程、磁流體運(yùn)動(dòng)等，廣泛存在于自然環(huán)境當(dāng)中。這些擴(kuò)散、對(duì)流、流動(dòng)等問(wèn)題不含有明顯化學(xué)反應(yīng)過(guò)程，但包含著濃度和溫度的共同作用與擴(kuò)散。

在國(guó)外，Knobloch[1]系統(tǒng)地研究了在溫度擴(kuò)散系數(shù)、鹽度瑞利數(shù)、溫度瑞利數(shù)等影響下，矩形腔體內(nèi)流動(dòng)的非線性周期振蕩到空間混沌的過(guò)程，揭示了周期倍頻分叉的序列過(guò)程。Tsitverblit[2,3]發(fā)現(xiàn)了鹽度瑞利數(shù)變化時(shí)的多種空間流動(dòng)模態(tài)，并在較高瑞利數(shù)下觀測(cè)了對(duì)稱及反對(duì)稱的單胞腔、雙胞腔、三胞腔、四胞腔和五胞腔流動(dòng)，當(dāng)瑞利數(shù)足夠小時(shí)，流動(dòng)總處于層流狀態(tài)，而當(dāng)達(dá)到一定程度后，流動(dòng)會(huì)越發(fā)復(fù)雜。Huang[4]研究了邊界層條件變化對(duì)雙擴(kuò)散對(duì)流過(guò)程Hopf分叉的影響，其方法是采用理想化的海洋鹽度環(huán)流模型，其研究結(jié)果加深了人們對(duì)定常到非定常對(duì)流轉(zhuǎn)捩特征的認(rèn)識(shí)。Jurjen[5]在固定的鹽度瑞利數(shù)下，研究了溫度瑞利數(shù)變化對(duì)流場(chǎng)分叉結(jié)構(gòu)的影響。Xin[6]研究了受幾何外形和瑞利數(shù)影響的傳導(dǎo)到對(duì)流轉(zhuǎn)捩過(guò)程，并給出了劉維爾數(shù)為1.2時(shí)的臨界瑞利數(shù)和叉形分叉過(guò)程。Young[7]把雙擴(kuò)散對(duì)流的過(guò)程分解為兩種流動(dòng)模型：一是非擾動(dòng)的剪切流雙擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)模式，這類(lèi)流動(dòng)在接近垂直壁面時(shí)比較明顯；二是基于平衡狀態(tài)的剪切誘導(dǎo)流動(dòng)模式，并進(jìn)一步討論了流動(dòng)的穩(wěn)定性特征。Ghorayeb[8]討論的是外形比對(duì)流動(dòng)形態(tài)的影響，計(jì)算的高寬比范圍是1～7，并發(fā)現(xiàn)了多種穩(wěn)定的流動(dòng)形態(tài)。Chen[9]研究了外形比對(duì)穩(wěn)定性的影響，并探索出中性曲線對(duì)外形比、劉維爾數(shù)以及普朗特?cái)?shù)的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了超臨界振蕩流動(dòng)、周期倍頻分叉流動(dòng)等復(fù)雜流動(dòng)過(guò)程。 Li[10]討論的是超高雷諾數(shù)情況下的雙擴(kuò)散對(duì)流的非定常流動(dòng)特征。

在國(guó)內(nèi)，詹杰民[10]較早開(kāi)展了相關(guān)數(shù)值計(jì)算研究，發(fā)展了一系列高精度格式，并推導(dǎo)了非均勻網(wǎng)格下的控制方程，研究了邊界變化對(duì)流動(dòng)的影響。Qin[11]構(gòu)造了擴(kuò)展的4階/5階組合迎風(fēng)格式，提高了多尺度分辨能力，計(jì)算了不同溫度瑞利數(shù)下的流場(chǎng)非定常特征，得到了臨界瑞利數(shù)和大量非定常計(jì)算結(jié)果。

本文的主要論述內(nèi)容如下：（1）物理模型和數(shù)值方法[12]；（2）層流、中心對(duì)稱流和最新提出的奇偶交換結(jié)構(gòu)等幾種流場(chǎng)。

1　物理模型和數(shù)值方法

為了更好描述雙擴(kuò)散對(duì)流問(wèn)題，需構(gòu)建物理模型，并利用數(shù)值方法對(duì)該模型進(jìn)行求解。

如圖1所示，該實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑橐粋€(gè)封閉的二維矩形方腔，腔內(nèi)為牛頓流體，滿足Boussinesq假設(shè)。左右垂直壁面存在濃度（溫度）差（左高右低），上下壁面為非滲透無(wú)滑移邊界。

圖1　實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

雙擴(kuò)散對(duì)流系統(tǒng)滿足不可壓縮Navier Stokes方程，忽略熱輻射的影響，考慮二維情況：

其中，Ψ, ζ, T, C分別代表流函數(shù)、渦量、溫度、濃度。

流函數(shù)和渦量滿足：

反映流體密度、溫度和濃度關(guān)系的狀態(tài)方程為：

其中，T0, C0, ρ0分別代表參考溫度、參考濃度、參考密度。

無(wú)量綱參數(shù)定義如下：

無(wú)量綱邊界條件如下：

在本文中，設(shè)定溫度（鹽度）瑞利數(shù)RaT=105，普朗特?cái)?shù)Pr=1，劉維爾數(shù)Le=2，高寬比A=8，溫鹽浮力比 的變化范圍為 。利用數(shù)值方法求解控制方程（1）～（4），其中七階迎風(fēng)緊致格式（UCD7）用于去離散非線性對(duì)流項(xiàng)；八階對(duì)稱緊致格式（SCD8）用于離散擴(kuò)散項(xiàng)；三階Runge-Kutta格式用于離散控制方程的半離散空間近似值的常微分方程。網(wǎng)格設(shè)計(jì)與網(wǎng)格獨(dú)立性詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

2　流場(chǎng)結(jié)構(gòu)

2.1穩(wěn)定層流

浮力比N=0.800時(shí)，如圖2a所示。流場(chǎng)為溫度控制場(chǎng)，由于壁面存在溫度差和濃度差，左壁面高溫高濃度流體上浮，右壁面低溫低濃度流體下沉，且二次渦和主渦連在一起，一起在流場(chǎng)中呈順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。流場(chǎng)中同時(shí)存在溫度和濃度的對(duì)流，這種對(duì)流作用對(duì)垂直壁面處的速度產(chǎn)生影響，使得流場(chǎng)水平方向的等值線在遠(yuǎn)離中心處不再平行。而且，由于腔體高寬比的影響，流體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在靠近垂直面處的速度急劇下降，等值線更密集。在中心處，溫度和濃度的等值線不是水平平行，而是相互背離中心位置。

浮力比N=1.206時(shí)，如圖2b所示。流場(chǎng)為濃度控制場(chǎng)，在腔體中產(chǎn)生逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而且長(zhǎng)腔兩端位置存在一對(duì)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的二次渦。由于左壁面溫度膨脹產(chǎn)生的浮力不足以使?jié)舛扰蛎洠虼烁×ο蛳乱苿?dòng)，高溫和高濃度聚集于右下，然后向右移動(dòng)，造成了溫度和濃度等值線總體扭曲，僅在中心部位平行，且輪廓線呈現(xiàn)明顯的分層結(jié)構(gòu)。

圖2　穩(wěn)定層流

2.2中心對(duì)稱流

圖3　中心對(duì)稱流

圖3為浮力比為N=1.168時(shí)的流場(chǎng)圖。流場(chǎng)的完整周期為從圖3a到圖3p，此刻流場(chǎng)呈空間上中心對(duì)稱，周期是0.050 3。同時(shí)，該流場(chǎng)也是濃度支配場(chǎng)，流場(chǎng)中含有單FF，包含一個(gè)單獨(dú)主渦，而主渦與兩個(gè)二次渦相連，且它們逐漸遠(yuǎn)離主渦，分別向左上、右下移動(dòng)，并逐漸變?nèi)跸?。主渦則逐漸分裂為兩個(gè)二次渦，隨后中心又會(huì)生成一個(gè)主渦。在變化期間，位于右上和左下的兩個(gè)渦沒(méi)有明顯變化。

2.3奇偶交換結(jié)構(gòu)

圖4　奇偶交換結(jié)構(gòu)

圖4為浮力比N=1.070的流場(chǎng)曲線，此刻只包括基頻FF和倍頻mFF，其周期為0.047 7。序列1～23是一個(gè)完整周期。首先可以觀察出其中心對(duì)稱性，而且最多渦數(shù)可達(dá)到11。在流場(chǎng)變化過(guò)程中，序列1經(jīng)歷一個(gè)周期變成了序列2，而序列2經(jīng)歷了一個(gè)周期又變成了序列1。從圖4中可以看出，奇數(shù)序列流場(chǎng)圖中，較小的6個(gè)渦漸漸變?nèi)?，最后消失，致?1個(gè)渦逐漸變成了5個(gè)渦。偶數(shù)序列則與奇數(shù)序列相反。本文稱這種變化為奇偶交換結(jié)構(gòu)。

3　結(jié)論

通過(guò)幾種典型流場(chǎng)比較研究可知：當(dāng)浮力比N比較小時(shí)，為溫度支配場(chǎng)，包含了順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的渦；當(dāng)浮力比N較大時(shí)，為濃度支配場(chǎng)，流場(chǎng)往往包含二合一的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)渦；當(dāng)浮力比N趨近于1時(shí)，流場(chǎng)最為復(fù)雜，本文觀察到了多達(dá)11個(gè)渦的流場(chǎng)。

[1]Edgar. Transitions to chaos in two-dimensional double-diffusive convection[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1986, 166(5): 409-448.

[2]Tsitverblit N, Kit E. The multiplicity of steady flows in confined double-diffusive convection with lateral heating [J]. Physics of Fluids A: Fluid Dynamics, 1993, 5(4): 1062-1072.

[3]Tsitverblit N. Bifurcation phenomena in confined thermosolutal convection with lateral heating: Commencement of the doublediffusive region [J]. Physics of Fluids, 1995, 7(4): 718-736.

[4]Huang R X, Dewar W K. Haline Circulation: Bifurcation and Chaos [J]. Journal of Physical Oceanography, 1996, 26(10): 2093-2106.

[5]Kranenborg E J, Dijkstra H A. The structure of (linearly) stable double diffusive flow patterns in a laterally heated stratified liquid [J]. International Journal of Multiphase Flow, 1995, 22(3): 139.

[6]Xin S, Quéré P L, Tuckerman L S. Bifurcation analysis of double-diffusive convection with opposing horizontal thermal and solutal gradients [J]. Physics of Fluids, 1998, 10(4): 850-858.

[

7]Young Y, Rosner R. Linear and weakly nonlinear analysis of doubly diffusive vertical slot convection [J]. Phys.rev.e, 1998, 57(5): 5554-5563.

[8]Ghorayeb K, Mojtabi A. Double diffusive convection in a vertical rectangular cavity [J]. Physics of Fluids, 1997, 9(8): 2339-2348.

[9]Chen Z W, Zhan J M, Li Y S, et al. Onset of double-diffusive convection in a rectangular cavity with stress-free upper boundary [J]. Physics of Fluids, 2010, 22(12): 3670-3686.

[10]Li Y S, Zhan J M, Luo Y Y. Unsteady Phenomena in the Double-Diffusive Convection Flows at High Rayleigh Number [J]. Numerical Heat Transfer Applications, 2008, 54(54): 1061-1083.

[11]Qin Q, Xia Z A, Tian Z F. High accuracy numerical investigation of double-diffusive convection in a rectangular enclosure with horizontal temperature and concentration gradients [J]. International Journal of Heat & Mass Transfer, 2014, 71(4): 405-423.

[12]Liang X, Liang X, Fu D, et al. Complex Transition of Double-Diffusive Convection in a Rectangular Enclosure with Heightto-Length Ratio Equal to 4: Part I [J]. Communications in Computational Physics, 2009, 6(2): 247-268.

Parametric Analysis on Flow Mechanism of a Kind of
Thermohaline Double Diffusive Convection System (Part II)

LIU Yu-xuan
(School of Mathematics and Information Science, Beifang University of Nationalities, Yinchuan, Ningxia, 750021, China)

The thermohaline double diffusive convection system has abundant flow patterns and complicated dynamic behavior. Adequate understanding of mechanism of double diffusive convection can provide us theoretical guidance and resolution in solving actual complicated problems. By establishing physical model, realizes numerical methods, to carry out mechanism research and summarize principles through computation and observation. The results show that, with the variation of buoyancy ratio, besides representative steady laminar flow and centric symmetric flow, there is also an innovative flow pattern with periodic even/odd structure. Through modeling of such a flow pattern, we obtain the number of vortex up to 11, promoting the development of computational fluid dynamics.

Double Diffusive Convection; Periodic Flow; Multi-vortex Flow; Numerical Modeling; Buoyancy Ratio; Periodic Even/odd Structure; Computational Fluid Dynamics

O357

A

2095-8412 (2016) 05-929-04工業(yè)技術(shù)創(chuàng)新 URL: http://www.china-iti.com

10.14103/j.issn.2095-8412.2016.05.027

劉毓萱(1996-)，女，新疆石河子人。北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2013級(jí)本科生，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，研究方向?yàn)榻鹑诠こ獭?015年作為負(fù)責(zé)人承擔(dān)國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目“一類(lèi)溫鹽雙擴(kuò)散對(duì)流系統(tǒng)流動(dòng)機(jī)理的參數(shù)化分析”，研究方向?yàn)橛?jì)算流體力學(xué)。