孟憲彪

（濟(jì)寧一中，山東濟(jì)寧 272100）

淺談導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可解問題的求解對策

孟憲彪

（濟(jì)寧一中，山東濟(jì)寧 272100）

在遇到函數(shù)有關(guān)問題時(shí)，如函數(shù)極值問題、函數(shù)最值問題、函數(shù)單調(diào)性問題、函數(shù)不等式證明問題等，我們學(xué)生常常會選用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行解決問題，因而導(dǎo)數(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的一種極為有用的數(shù)學(xué)工具。而在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解問題時(shí)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)常常是關(guān)鍵點(diǎn)，只要求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，則函數(shù)問題班會隨之而解，如函數(shù)最值、函數(shù)極值等。但是，在我們高中生解答函數(shù)問題過程中，卻有時(shí)會遇到一些超越型函數(shù)，因而導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)變成了不可解問題，如果不能有效解答出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，則數(shù)學(xué)問題便就此停止，無法繼續(xù)進(jìn)行下去。基于此，本文便對導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可解問題進(jìn)行了研究，已提出一些求解對策。

導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn) 不可解問題 求解對策

在對函數(shù)最值問題、函數(shù)極值問題進(jìn)行求解過程中，我們常常會選擇運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解，因此，這是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)非常重要的運(yùn)用。一般來說，如果 x0滿足f'（x0）=0，同時(shí)在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)為異號，則x0即為f（x）的極值點(diǎn)，其極值為f（x0），另外，在 x0兩側(cè)，假如f'（x）滿足左側(cè)為正、右側(cè)為負(fù)，則x0即為f（x）的極大值點(diǎn)，其極大值為f（x0）；在x0兩側(cè)，假如f'（x）滿足左側(cè)為負(fù)、右側(cè)為正，則x0即為f（x）的極小值點(diǎn)，且其極小值為f（x0）。因此，在對函數(shù)極值進(jìn)行求解時(shí)，通常思路就是要要對方程f'（x）=0進(jìn)行求解。不過，如果方程 f'（x）=0為超越方程，高中生目前還無法運(yùn)用現(xiàn)學(xué)習(xí)到的知識來解決問題，在這種情況下，我們?nèi)绾谓鉀Q呢？基于此，針對f'（x）=0不可解問題，本文將介紹一種求解方法。

當(dāng)運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識，無法解決f'（x）=0問題時(shí)，我們可以換一個(gè)解決思路，即假設(shè) x=t是f'（x）=0的解，接下來對f（t）使f（x）的最小值還是最小值進(jìn)行判斷，而此時(shí)，f（t）是含有t的式子，然后根據(jù)f'（t）=0，進(jìn)行有效化簡。

1 導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn) （類型1）

例1：設(shè)函數(shù)為f（x）=e2x-alnx

（1）f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，試分析f'（x）共有多少個(gè)零點(diǎn)；

解析：本題目主要對函數(shù)基礎(chǔ)性知識進(jìn)行考察，包括導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)，同時(shí)還對學(xué)生對運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)邏輯推理能力進(jìn)行考察，且對學(xué)生是否具有一定的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行考察，包括數(shù)學(xué)整合思想、分類思想、數(shù)學(xué)歸納思想、函數(shù)方程思想等。

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）不存零點(diǎn)。

（2）根據(jù)第（1）問，假設(shè)在（0，+∞）中 ，x0為f'（x）的一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x∈（0，x0）中，f（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí) ，f'（x）＞0。所以在（0，x0）中 ，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，而在（x0，+∞）中時(shí)，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）存在最小值，其最小值為f（x0）。因?yàn)?，所以所以?dāng)a＞0時(shí)，

例2：已知函數(shù) f（x）= ax2+xlnx（a∈ R）的函數(shù)圖象，在函數(shù)點(diǎn)為（1，f（1））處，直線 x+3 y=0和該點(diǎn)處函數(shù)切線是互相垂直的。則：

（1）求出實(shí)數(shù)a的值；

（2）如果存在k ∈Z ，使f （x） ＞ k 恒成立，求出實(shí)數(shù)k 的最大值。

解析：本題主要對導(dǎo)數(shù)的一些基礎(chǔ)性知識進(jìn)行考察，包括導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，同時(shí)對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行考察，包括數(shù)學(xué)歸納思想、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)方程思想等，且考察學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，包括數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)論證能力、數(shù)學(xué)推理能力等。

第（1）問，a=1.

第（2）問，由（I）知 f （x）=x2+xlnx，x∈（0，+∞），

故f'（x）=2x+lnx +1，x∈（0，+∞）.

令g（x）=2x+lnx +1，x∈（0，+∞），

由g'（x）＞0對x ∈（0，+∞）恒成立，

故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

且當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g（x）＜0，即f'（x）＜0，

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）＞0，即f'（x）＞0，

所以在（0，x0）中，f （x）為單調(diào)遞減函數(shù)，在（x0，+∞）中，f （x）為單調(diào)遞增函數(shù)，

因此，當(dāng)x=x0時(shí)，f （x）取得最小值，值最小值為f（x0），又

由于f（x）＞k 恒成立，因此kf（x0）＞0.

由g（x0）=0，得2x0+lnx0+1=0，∴l(xiāng)n x0=-1-2x0，

故k的 最大值為-1.

2 導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（類型2）

（1）求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解析：本題主要對導(dǎo)數(shù)的一些基礎(chǔ)性知識進(jìn)行考察，包括導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，同時(shí)對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行考察，包括數(shù)學(xué)歸納思想、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)方程思想等，且考察學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，包括數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)論證能力、數(shù)學(xué)推理能力等。

由f'（x）=0在內(nèi)有解，

故f（x）在（0，α）上 單調(diào)遞增，在（1，α）上 單調(diào)遞減，在（1，β）上單調(diào)遞減，在（β，+∞）上單調(diào)遞增.

由x1∈（0，1），得f（x1）≤f（α）=

由x2∈（1，+∞），得f（x2）≥f（β）=

所以f（x2）-f（x1）≥f（β）-f（α）.

因?yàn)棣痢う?1，α+β=α+2，

所以h（β）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

例4：已知函數(shù) f（x） =x2-ax，g（x）=lnx.

（1）對于定義域中的任何x ，假如f （x） ＞ g（x）恒成立，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）假設(shè)h（x） = f（x） + g（x） h（x） =f（x）+g（x）中存在兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為 x1，x2，同時(shí)求證：

解析：本題主要對導(dǎo)數(shù)的一些基礎(chǔ)性知識進(jìn)行考察，包括導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，同時(shí)對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行考察，包括數(shù)學(xué)歸納思想、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)方程思想等，且考察學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，包括數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)論證能力、數(shù)學(xué)推理能力等。

第（1）問 ，a∈（-∞，1］.

第（2）問，h（x）=x2-ax+lnx，

［1］吳沛東，盧焱堯，彭杰.高中生在導(dǎo)數(shù)問題解決中的困難調(diào)查與對策研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（03）.

［2］吳沛東，盧焱堯，夏小剛.“數(shù)學(xué)化”思想在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（13）.

［3］李紅玲.現(xiàn)有大學(xué)文科數(shù)學(xué)教材中存在不足的思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（01）.

［4］馬峰.基于實(shí)踐的高中微積分課程比較研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（06）.

［5］張榮，過榴曉，徐振源.從對比中更好地把握微積分的教學(xué)改革［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2011（01）.