牛文杰

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

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考慮樁-彈性地基相互作用的單樁風(fēng)機(jī)自振頻率

牛文杰

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

考慮樁-彈性地基相互作用，采用集中質(zhì)量法和柔度法對(duì)泥面線以上的單樁風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行多自由度動(dòng)力分析，確定單樁風(fēng)機(jī)的自振頻率。通過(guò)算例給出單樁風(fēng)機(jī)的自振頻率值，并與不考慮樁-彈性地基相互作用的單樁風(fēng)機(jī)的自振頻率值進(jìn)行比較。

單樁風(fēng)機(jī)； 自振頻率； 樁基礎(chǔ)和彈性地基的相互作用； 柔度法； 集中質(zhì)量法

0 引言

對(duì)于水平軸風(fēng)力發(fā)電機(jī)[1]，大型風(fēng)力機(jī)塔筒通常都采用變截面的錐形筒體形式，可將其視為頂端受橫向力作用的變截面懸臂梁結(jié)構(gòu)[2]。橫向力由風(fēng)力機(jī)葉片、輪轂和機(jī)艙的迎風(fēng)阻力組成[3]。風(fēng)力發(fā)電機(jī)組運(yùn)行時(shí)，其葉輪上的風(fēng)荷載和風(fēng)機(jī)偏航引起的荷載通過(guò)結(jié)構(gòu)和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)作用在塔架頂端[4-5]。已建成的大部分海上風(fēng)電場(chǎng)都采用單立柱基礎(chǔ)[4-6]。風(fēng)機(jī)塔上作用有自重荷載、波浪荷載、流體流過(guò)立柱的流體壓力荷載[5]以及可能的近海地震作用與浮冰沖擊作用。此外，風(fēng)機(jī)葉片的轉(zhuǎn)速一般是常數(shù)或在某一指定范圍，可通過(guò)閉環(huán)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)[7]。因此，對(duì)于葉片轉(zhuǎn)速一定的風(fēng)機(jī)，當(dāng)以塔筒為研究對(duì)象時(shí)，其上的動(dòng)力荷載還主要有：輪轂等轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加的動(dòng)荷載，其頻率為一定值，記為f；當(dāng)風(fēng)機(jī)葉片在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中遮擋住塔筒時(shí)，改變了環(huán)境流場(chǎng)，會(huì)施加給塔筒荷載，如果是三葉片的風(fēng)機(jī)，則葉片轉(zhuǎn)動(dòng)引起的作用在塔筒上的振動(dòng)荷載頻率是3f[8]。

在上述動(dòng)力荷載作用下，需要通過(guò)工程設(shè)計(jì)，使現(xiàn)場(chǎng)近海單樁風(fēng)機(jī)的自振頻率避開(kāi)上述動(dòng)力荷載的激勵(lì)頻率，以避免近海單樁風(fēng)機(jī)在動(dòng)力荷載作用下發(fā)生共振。另外一個(gè)工程問(wèn)題就是：對(duì)于近海風(fēng)機(jī)這種高而柔的結(jié)構(gòu)物需要承受各種動(dòng)力和循環(huán)荷載，其在長(zhǎng)期的水平荷載作用下，由于樁周土在動(dòng)應(yīng)力作用下的材料弱化，風(fēng)機(jī)的自振頻率會(huì)發(fā)生變化。因此需要研究確定近海單樁自振頻率的計(jì)算方法或?qū)嶒?yàn)方法。

確定近海單樁自振頻率的實(shí)驗(yàn)方法通常采用Bhattacharya等(2011)建議的模型試驗(yàn)，以保證模型與現(xiàn)場(chǎng)風(fēng)機(jī)的相似準(zhǔn)數(shù)一致[9]。

確定近海單樁自振頻率的理論解有以下兩方面的研究：

(1) 計(jì)算近海單樁風(fēng)機(jī)的自振頻率需要考慮樁土相互作用。而關(guān)于樁土相互作用方面的研究有：Zaaijer[10]研究了單樁-土體的動(dòng)力特性，土體被簡(jiǎn)化為一系列彈簧；Padrn等[11]通過(guò)邊界元-有限元耦合模型對(duì)埋在半空間彈性體中的樁和群樁進(jìn)行了動(dòng)力分析，其中樁按照伯努利假設(shè)的梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，而土按照連續(xù)的、半無(wú)限體、各向同性的線彈性介質(zhì)通過(guò)邊界元來(lái)進(jìn)行模擬；Dash等[12]使用數(shù)值方法研究了土體中樁發(fā)生壓-彎耦合時(shí)的性狀。

(2) 牛文杰等[13]使用集中質(zhì)量法，采用剛度法對(duì)近海風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔和泥面線上基礎(chǔ)按照2個(gè)自由度的動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了自由振動(dòng)分析,并得到自振頻率。但考慮地基-風(fēng)機(jī)相互作用時(shí)的計(jì)算模型更加符合實(shí)際。Bhattacharya[14]按照無(wú)限自由度體系，把地基對(duì)塔筒的作用簡(jiǎn)化為轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧和平動(dòng)彈簧，彈簧剛度可使用試驗(yàn)測(cè)得，并使用解析解計(jì)算了風(fēng)機(jī)的自振頻率，模型試驗(yàn)和有限元解的結(jié)果表明計(jì)算結(jié)果是合理的。另外，可使用p-y曲線法對(duì)海洋平臺(tái)的樁土結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析[15]。

上述計(jì)算自振頻率的方法，或過(guò)于簡(jiǎn)略，或過(guò)于復(fù)雜，或需要大量的現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試數(shù)據(jù)，或需要借助于Ansys軟件進(jìn)行分析計(jì)算，因此需要一種快速估算近海單樁風(fēng)機(jī)自振頻率的計(jì)算方法。

風(fēng)力發(fā)電機(jī)的上部塔筒和樁基礎(chǔ)都假定為彈性模量相同的鋼材制成的套筒。通過(guò)張氏法[16-17]得到半無(wú)限長(zhǎng)樁基礎(chǔ)的控制方程；然后通過(guò)歐拉-伯努利經(jīng)典梁理論方程得到泥面線上以上風(fēng)機(jī)上部塔筒的變形控制方程；再通過(guò)計(jì)算變形的疊加原理與套筒在泥面線處的變形連續(xù)性條件，得到泥面線上風(fēng)機(jī)立柱(即套筒)的撓度函數(shù)；最后使用柔度法，給出按照多自由度分析的考慮樁-彈性地基相互作用時(shí)風(fēng)機(jī)的自振頻率值。

1 考慮樁-彈性地基相互作用的自由振動(dòng)理論

1.1 考慮樁土相互作用時(shí)單樁結(jié)構(gòu)物的撓度

圖1所示為單樁風(fēng)力發(fā)電機(jī)。以下分析中，把風(fēng)力機(jī)簡(jiǎn)化為截面和彈性模量都相同的單樁結(jié)構(gòu)物(圖2)。風(fēng)機(jī)高度為h。

當(dāng)水平荷載作用于桿件頂端時(shí)，對(duì)于圖2中的單樁結(jié)構(gòu)物即為等截面桿件在泥面線以上的水平撓度y(x)F。這可按照兩部分來(lái)計(jì)算：一部分是樁底端固定時(shí)的位移曲線函數(shù)y(x)F0；另一部分是假定無(wú)外荷載作用，泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物轉(zhuǎn)角θ0和位移y0引起的樁的水平撓度y(x)F1。最后通過(guò)疊加原理可確定y(x)F。

(1)

圖1 單樁式風(fēng)力發(fā)電機(jī)Fig.1 A mono-pile wind turbine

圖2 單樁結(jié)構(gòu)物頂部(桿件)作用水平荷載FFig.2 Mono-pile structure top under horizontal load F

在圖2中，以泥面線與桿件的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，記x是泥面線上桿件某點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。根據(jù)材料力學(xué)，可確定y(x)F0：

(2)

在圖2中，泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物的轉(zhuǎn)角和位移引起的單樁結(jié)構(gòu)物在泥面線以上的水平撓度

(3)

式中：θ0和y0分別是泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物立柱的轉(zhuǎn)角和撓度(圖2)。

綜合式(1)、(2)和(3)，可得圖2中單樁結(jié)構(gòu)物在頂部作用有水平集中荷載時(shí)的水平撓度：

(4)

(1) 泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物的轉(zhuǎn)角和位移

圖2中以泥面線與單樁結(jié)構(gòu)物的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，記z是泥面線下樁基礎(chǔ)某點(diǎn)與原點(diǎn)的距離， 即樁基礎(chǔ)的水平撓度。當(dāng)單樁結(jié)構(gòu)物頂部作用有水平集中力F時(shí)，泥面線以下半無(wú)限長(zhǎng)樁在坐標(biāo)z處的水平撓度y的控制方程為[16-17]：

(5)

式(5)中物理量的含義可查找文獻(xiàn)[16-17]。

泥面線位置處：

(6)

將式(6)代入式(5)，得出泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物的撓度：

(7)

在單樁結(jié)構(gòu)物發(fā)生小撓度的假定下，單樁結(jié)構(gòu)物軸線的轉(zhuǎn)角θ在任一點(diǎn)滿足以下關(guān)系：

(8)

觀察圖2可發(fā)現(xiàn)：

(9)

由式(5)可得單樁結(jié)構(gòu)物軸線在泥面線以下任一點(diǎn)的轉(zhuǎn)角的正切值為：

(10)

泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物軸線的縱坐標(biāo)滿足式(6)，將式(6)代入式(10)，得出泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物軸線轉(zhuǎn)角的正切值：

(11)

由式(9)和(11)得出在圖2所示的水平力F作用下，泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物軸線轉(zhuǎn)角的正切值為：

(12)

根據(jù)式(8)和(12)得泥面線位置處單樁結(jié)構(gòu)物軸線轉(zhuǎn)角:

(13)

(2) 單樁結(jié)構(gòu)物的水平撓度y(x)F

結(jié)合式(4)、(7)和(13)，得出在圖2所示的單樁結(jié)構(gòu)物在頂部作用有水平集中荷載F時(shí)，泥面線以上的水平撓度：

(14)

單樁結(jié)構(gòu)物頂端的位移為：

(15)

因此，式(14)代入式(15),得出單樁結(jié)構(gòu)物頂端的水平撓度為：

(16)

1.2 多自由度分析

按照柔度法對(duì)圖1的結(jié)構(gòu)進(jìn)行自振頻率計(jì)算。記機(jī)艙、輪轂和葉片的總重量為m0，泥面線以上套筒質(zhì)量為M0。按照集中質(zhì)量法[20]，在圖3中m1=0.25*M0+m0,m2=0.5*M0。

泥面線以上塔筒高度為h。根據(jù)式(16)和(14),圖3中在水平集中力F作用下，集中質(zhì)量位置處的水平撓度分別為：

圖3 計(jì)算m1位置處的柔度系數(shù)Fig.3 Computation of flexibility coefficient at the position of m1

因此在圖3中,柔度系數(shù)[21]

根據(jù)式(16),圖4中在水平集中力F的作用下，集中質(zhì)量位置處的水平撓度為：

(17)

根據(jù)式(14), 圖4中m2以下位置處的撓度函數(shù)為

(18)

圖4 計(jì)算m2 位置處的柔度系數(shù)Fig.4 Computation of flexibility coefficient at the position of m2

(19)

將式(17)和(18)代入式(19)，得：

(20)

因此在圖4中，柔度系數(shù)[21]

(21)

(22)

上述柔度系數(shù)確定后，即可建立集中質(zhì)點(diǎn)在慣性力作用下的位移方程，進(jìn)而根據(jù)柔度法計(jì)算出圖3和圖4中2個(gè)自由度動(dòng)力系統(tǒng)的自振頻率。

2 算例

圖1中，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔和基礎(chǔ)都假定為彈性模量[18]E=2.1×1011N/m2的鋼材制成的套筒。

套筒直徑d=4 000 mm,泥面線以上高度h=90 m,樁入土110 m。參考文獻(xiàn)[19]中水下樁的樁徑和壁厚的比值，圖1中套筒的壁厚采用52 mm。根據(jù)環(huán)形截面慣性矩計(jì)算公式得I=1.256 m4。因此鋼套筒的環(huán)形截面抗彎剛度EI=2.1×1011N/m2×1.256 m4=2.6×1011N·m2。

通過(guò)計(jì)算，按照鋼材密度7.85×103kg/m3,計(jì)算出泥面線以上套筒質(zhì)量M0=4.5×105kg。機(jī)艙重量1.0×105kg,輪轂重量0.2×105kg，葉片重量3×0.1×105kg[19]，則機(jī)艙、輪轂和葉片的總重量m0=1.5×105kg。

上述設(shè)計(jì)參數(shù)都是根據(jù)相關(guān)參考文獻(xiàn)的設(shè)計(jì)值組合得到的，與文獻(xiàn)[13]的數(shù)據(jù)相同，但其自振頻率分析沒(méi)有考慮樁基礎(chǔ)以及樁土相互作用。這些設(shè)計(jì)參數(shù)是否滿足初步設(shè)計(jì)要求，需根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)記錄的荷載統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行套筒的彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力計(jì)算，然后根據(jù)材料力學(xué)的強(qiáng)度理論進(jìn)行判斷，最后逐步進(jìn)行精確有限元分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。

假設(shè)地基土的水平反力系數(shù)[16]k=200 kPa，即地基土的水平反力系數(shù)比極軟淤泥的水平反力系數(shù)還小，根據(jù)集中質(zhì)量法及算例參數(shù)可知：

m1=0.25*M0+m0=2.625*105kg，

m2=0.5*M0=2.25*105kg,

h=90m，EI=2.6×1011N·m2，β=0.030m-1

根據(jù)柔度法[21]，即可計(jì)算出圖1泥面線以上結(jié)構(gòu)的自振頻率(計(jì)算過(guò)程見(jiàn)附錄的fortran源程序)：

第一頻率為1.141 Hz,第二頻率為8.421 Hz。

3 討論

3.1 與其他算法計(jì)算的自振頻率的比較

對(duì)于參數(shù)完全相同的結(jié)構(gòu)(圖1), 當(dāng)不考慮樁土相互作用時(shí)，牛文杰等[13]使用集中質(zhì)量法，采用剛度法對(duì)近海風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔和泥面線上基礎(chǔ)按照2個(gè)自由度的動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行自由振動(dòng)分析, 得到自振頻率，經(jīng)過(guò)驗(yàn)算，文中M應(yīng)為(0.25*M0+m0),m應(yīng)為0.5*M0。重新根據(jù)剛度法計(jì)算，第一頻率是2.050 Hz,第二頻率是13.559 Hz；根據(jù)柔度法計(jì)算，第一頻率是1.928 Hz,第二頻率是13.597 Hz。在地面按照9.8sin(4.626t)的規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)(單位m)，質(zhì)點(diǎn)M的位移幅值A(chǔ)M=-15.084 m，質(zhì)點(diǎn)m的位移幅值A(chǔ)m=-4.505 m。

而本文考慮樁土相互作用，計(jì)算出理論上更加精確的自振頻率：第一頻率1.141 Hz,第二頻率8.421 Hz。

3.2 影響自振頻率的因素

在自振頻率的計(jì)算過(guò)程中，通過(guò)觀察知泥面線以上風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的自振頻率取決于樁的慣性矩EI、樁徑d、地基土的水平反力系數(shù)k、樁基礎(chǔ)入土深度、風(fēng)機(jī)在泥面線以上的高度h及泥面線以上風(fēng)機(jī)的質(zhì)量分布。

3.3 改進(jìn)方向

在自振頻率的計(jì)算中，文獻(xiàn)[9,22]考慮了葉片、機(jī)頭等部件的重力作用，這使得計(jì)算結(jié)果更加符合實(shí)際。在考慮重力作用的情況下，根據(jù)柔度法，單樁結(jié)構(gòu)物的水平撓度會(huì)增大。實(shí)際上也應(yīng)該考慮塔筒、樁基礎(chǔ)的重力作用，但其計(jì)算過(guò)程會(huì)更加復(fù)雜。

另外，對(duì)風(fēng)機(jī)整體，當(dāng)葉片的回轉(zhuǎn)直徑達(dá)到91.6m時(shí)，若風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片、機(jī)頭等部件簡(jiǎn)化為一集中質(zhì)量塊進(jìn)行自振頻率的計(jì)算，其結(jié)果是否合理還需實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。風(fēng)機(jī)的支撐結(jié)構(gòu)截面一般都是從下到上逐漸變化的(變小)，還需在今后計(jì)算時(shí)進(jìn)行改進(jìn)。

樁實(shí)際上是有一定長(zhǎng)度的，樁端的支撐條件對(duì)風(fēng)機(jī)體系的自振頻率存在一定影響。本文將樁作為半無(wú)限長(zhǎng)考慮是一種工程假定，實(shí)際近海風(fēng)機(jī)樁基礎(chǔ)的入土深度需要根據(jù)近海地質(zhì)資料、海洋環(huán)境荷載和正常使用極限等因素確定。實(shí)際工程中地基大多數(shù)是由不同巖土層組成的(例如海砂-軟土互層)，因此地基對(duì)樁的橫向支撐剛度也必然是隨深度變化的，本文沒(méi)有考慮這一變化，與實(shí)際情況不符，需在今后加以考慮，例如使用p-y曲線而非張氏法考慮樁土相互作用。樁周土在復(fù)雜動(dòng)應(yīng)力[23]作用下會(huì)發(fā)生應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的變化，進(jìn)而影響單樁風(fēng)機(jī)的自振頻率，也需在今后計(jì)算中加以考慮[24]。

4 結(jié)論

以泥面線以上的風(fēng)機(jī)上部結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，給出快速估算近海單樁風(fēng)機(jī)自振頻率的計(jì)算方法。按照集中質(zhì)量法，把泥面線以上的風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)按照多自由度動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行分析，計(jì)算出更加精確的自振頻率值。

觀察自振頻率的計(jì)算過(guò)程，可知泥面線以上風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的自振頻率取決于樁的慣性矩EI、樁徑d、地基土的水平反力系數(shù)k、樁基礎(chǔ)入土深度、風(fēng)機(jī)在泥面線以上的高度h及泥面線以上風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布。

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附錄 計(jì)算圖1泥面線以上結(jié)構(gòu)自振頻率的FORTRAN源程序

REAL M1,M2,H,EI,BETA,F11,F21,F22,F12,LMDA1,LMDA2,OMIGA1,OMIGA2

M1=2.625*100000

M2=2.25*100000

H=90

EI=2.6*100000*100000*10

BETA=0.030

F11=-H*H*H/(6*EI)+H*H*H/(2*EI)+((1+BETA*H)/(2*EI*BETA*BETA)+H/(2*EI*BETA))*H+(1+BETA*H)/(2*EI*BETA*BETA*BETA)

F21=-H*H*H*0.5*0.5*0.5/(6*EI)+H*0.5*H*0.5*H/(2*EI)

F21=F21+((1+BETA*H)/(2*EI*BETA*BETA)+H/(2*EI*BETA))*0.5*H+(1+BETA*H)/(2*EI*BETA*BETA*BETA)F22=H*H*H*0.5*0.5*0.5/(3*EI)+((1+BETA*0.5*H)/(2*EI*BETA*BETA)+0.5*H/(2*EI*BETA))*0.5*H+(1+BETA*0.5*H)/(2*EI*BETA*BETA*BETA)

F12=H*H*H*0.5*0.5*0.5/(3*EI)+H*0.5*H*0.5*0.5*H/(2*EI)

F12=F12+((1+BETA*0.5*H)/(2*EI*BETA*BETA)+0.5*H/(2*EI*BETA))*H+(1+BETA*0.5*H)/(2*EI*BETA*BETA*BETA)

LMDA1=F11*M1+F22*M2

LMDA1=LMDA1+SQRT((F11*M1+F22*M2)*(F11*M1+F22*M2)-4*(F11*F22-F12*F12)*M1*M2)

LMDA1=LMDA1/2

LMDA2=F11*M1+F22*M2

LMDA2=LMDA2-SQRT((F11*M1+F22*M2)*(F11*M1+F22*M2)-4*(F11*F22-F12*F12)*M1*M2)

LMDA2=LMDA2/2

OMIGA1=SQRT(1/LMDA1)

OMIGA2=SQRT(1/LMDA2)

WRITE(*,*)F11

WRITE(*,*)F21

WRITE(*,*)F22

WRITE(*,*)F12

WRITE(*,*)LMDA1

WRITE(*,*)LMDA2

WRITE(*,*)OMIGA1

WRITE(*,*)OMIGA2

end program

Natural Frequency of Mono-pile Wind Turbine Considering Interaction between Pile and Elastic Foundation

NIU Wen-jie

(SchoolofMechanicsandEngineering,LiaoningTechnicalUniversity,Fuxin123000,Liaoning,China)

In this paper, we analyze the mono-pile wind turbine, comprising blade bodies, a hub, a cabin, a conical shell tower, a transition piece, and a mono-pile foundation. Our study objective was to determine the natural frequency of the mono-pile wind turbine above the mudline. We assumed the conical shell tower, transition piece, and mono-pile foundation to be a vertical steel tube (VST) with a uniform cross section and with the same elastic modulus. We used the lumped-mass method to simplify the mono-pile wind turbine above the mudline as two concentrated masses. One concentrated mass at the VST top is the summation of the mass of the blade bodies, hub, cabin and one-fourth the mass of the VST above the mudline. The other concentrated mass at the middle of the VST is one-half the mass of the VST above the mudline. Taking the mono-pile foundation below the mudline as a semi-infinite long pile, we used Zhang’s method to obtain the horizontal stiffness and rotational stiffness of the pile top. In this way, we can determine the deflection of the VST under horizontal load at any point of the wind turbine above the mudline. The flexibility coefficient of the unit horizontal load at any position of the VST can be determined accordingly. Then, using both the flexibility and lumped-mass methods, we can determine the natural frequency of the mono-pile wind turbine above the mudline. Lastly, with an example, we retrieved the natural frequency value of the mono-pile wind turbine above the mudline. We then compared the analysis result with the mono-pile wind turbine natural frequency obtained without considering the interaction between the pile and elastic groundwork, and found little difference between them. The new theory we propose in this paper is more accurate theoretically and should be validated experimentally.

mono-pile wind turbine; natural frequency; interaction between pile and elastic foundation; flexibility method; lumped-mass method

2016-04-26

遼寧工程技術(shù)大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金(11-415)

牛文杰(1982-)，男，河南漯河人，副教授，博士，從事近海單樁風(fēng)機(jī)工程中巖土力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)和流體力學(xué)問(wèn)題的研究。E-mail: nwj1982@sohu.com。

TU352.2; TU411.3; TU473.1

A

1000-0844(2016)05-0713-07

10.3969/j.issn.1000-0844.2016.05.0713