鄭 捷， 左河山， 陳景恒， 曹文平， 鄭山鎖

(西安建筑科技大學(xué) 建筑設(shè)計(jì)研究院，陜西 西安 710055)

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高強(qiáng)高性能混凝土損傷的細(xì)觀數(shù)值演化

鄭 捷， 左河山， 陳景恒， 曹文平， 鄭山鎖

(西安建筑科技大學(xué) 建筑設(shè)計(jì)研究院，陜西 西安 710055)

在細(xì)觀層次上，混凝土可以被看作由水泥基、分散粒子和界面過渡層組成的三相復(fù)合材料。首先，基于骨料分布和形態(tài)的隨機(jī)特性，將瓦拉文公式推廣應(yīng)用于確定二維混凝土試件截面凸多邊形骨料分布，提出圓形骨料模型中以圓骨料的面積為控制參數(shù)，以圓內(nèi)接多邊形為基架的凸多邊形隨機(jī)骨料算法。進(jìn)而以C80高強(qiáng)高性能混凝土為例，對(duì)數(shù)值試樣進(jìn)行單軸受壓的數(shù)值模擬，得到相應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和損傷演化圖。數(shù)值模擬結(jié)果與物理試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表明本文提出的數(shù)值模型合理可行。

高強(qiáng)高性能混凝土； 隨機(jī)骨料模型； 細(xì)觀數(shù)值模擬； 損傷演化； 損傷有限元

0 引言

已有描述混凝土斷裂損傷的細(xì)觀模型，如格構(gòu)模型、隨機(jī)粒子模型、隨機(jī)骨料模型等，都是針對(duì)普通混凝土，并假定混凝土是由砂漿基質(zhì)、骨料和二者之間的黏結(jié)帶組成的三相復(fù)合材料，從而采用細(xì)觀層次上的簡單本構(gòu)關(guān)系來模擬材料復(fù)雜的宏觀斷裂過程[1-3]。

本文借鑒普通混凝土的細(xì)觀層次研究思路，對(duì)高強(qiáng)高性能混凝土(HSHPC)的細(xì)觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的簡化，運(yùn)用MATLAB軟件建立隨機(jī)骨料模型，基于損傷有限元分析方法，利用APDL語言編譯損傷有限元計(jì)算程序，生成可進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)的“高強(qiáng)高性能混凝土數(shù)值試樣”并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與課題組前期所獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，以驗(yàn)證數(shù)值模型的準(zhǔn)確性[4-6]。

1 隨機(jī)骨料模型的建立

1.1 骨料粒徑的計(jì)算

三維富勒級(jí)配曲線和工程中常用的級(jí)配曲線吻合較好[7]，然而空間的模擬計(jì)算量十分巨大。瓦拉文(Walraven J.C.)公式[8]建立了混凝土試件空間內(nèi)骨料級(jí)配及含量與其截面所切割的骨料面積的關(guān)系，使得混凝土細(xì)觀分析能夠在二維平面內(nèi)進(jìn)行，從而大大減少了計(jì)算量：

(1)

式中:Pk為粗骨料和細(xì)骨料體積之和與混凝土總體積之比，取值范圍在0.6～0.8之間；Pc(D

根據(jù)瓦拉文公式，將三維富勒骨料級(jí)配曲線轉(zhuǎn)化為二維骨料級(jí)配曲線，從而可以確定填充區(qū)域內(nèi)不同粒徑的骨料顆粒數(shù)Ni：

(2)

式中:A為試件的截面積；Ai為該骨料的截面面積。

1.2 圓形隨機(jī)骨料模型生成算法

首先確定混凝土試件的平面范圍，然后在其平面內(nèi)利用MATLAB軟件RAND函數(shù)隨機(jī)確定骨料的圓心位置。圓形骨料可以通過圓的直徑和圓心坐標(biāo)值(x,y)確定。值得注意的是，當(dāng)一個(gè)新骨料產(chǎn)生時(shí)必須確定該骨料和先前骨料之間不會(huì)出現(xiàn)位置的重疊或交叉，還需保證該骨料在混凝土試件平面之內(nèi)。

將上述投放流程由MATLAB進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，得到100mm×100mm矩形框內(nèi)的混凝土二維圓形隨機(jī)骨料分布模型，骨料含量分別為43%[圖1(a)]、53%[圖1(b)]和63%[圖1(c)]。

圖1 圓形隨機(jī)骨料模型Fig.1 Cricular random aggregate model

1.3 多邊形隨機(jī)骨料模型生成算法

已有二維任意形狀骨料的投放算法生成骨料的速度太慢[9-10]，本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，以提高骨料的生成效率，并使得數(shù)值模擬的骨料更加符合真實(shí)骨料形狀。對(duì)算法的改進(jìn)包括：

(1) 基骨料從三角形變?yōu)槲暹呅?，五邊形決定了最終生成骨料的粒徑和形狀趨勢(shì)。與三角形相比，五邊形具有面積大、形狀飽滿、更容易達(dá)到投放面積的優(yōu)點(diǎn)。多次程序調(diào)試與運(yùn)行表明，五邊形比三角形更有利于加快程序運(yùn)行效率。

(2) 凸多邊形判斷時(shí)，對(duì)于“非凸性點(diǎn)”，程序不采用“剔除法”，而采用“替代法”?！疤娲ā钡膬?yōu)勢(shì)在于避免重新生成新點(diǎn)，減少了運(yùn)算量。實(shí)踐證明算法改進(jìn)后程序運(yùn)行效率有了顯著地提高。

1.3.1 生成隨機(jī)五邊形基骨料

在圓形骨料基礎(chǔ)上，把圓平均分成五段圓弧，在每段圓弧上隨機(jī)生成一個(gè)點(diǎn)，連接生成五邊形ABCDE(按照逆時(shí)針方向)，如圖2(a)所示。

圖2 五邊形生成任意多邊形骨料過程Fig.2 Process from pentagon to general polygon aggregate

1.3.2 骨料延伸方式

Step1：在五邊形ABCDE上計(jì)算各個(gè)邊長，選取最長的邊，假設(shè)為DE，如圖2(a)所示；

Step2：作DE的中垂線得到FF1，并使得Kmax>FF1>Kmin(Kmax和Kmin為常數(shù))，連結(jié)DF、EF形成新的邊，此為骨料的第一次延伸，如圖2(b)所示。在延伸過程中，中垂線上點(diǎn)F應(yīng)在五邊形形成面域之外選取，骨料延伸方式遵循凸多邊形侵入準(zhǔn)則和判定準(zhǔn)則；

Step3：在六邊形ABCDFE上計(jì)算各個(gè)邊長，選取最長的邊，假設(shè)為BC，并按照Step2的方法生成新的點(diǎn)G，此為骨料的第二次延伸，如圖2(c)所示；

Step4：重復(fù)Step2和Step3，生成新的多邊形；

Step5：當(dāng)新生成的多邊形骨料面積所占圓面積百分比高于N(N為常數(shù))，該骨料即停止生長，并進(jìn)行下一個(gè)骨料的生成。

1.3.3 凸多邊形判定及“替代法”

真實(shí)世界的碎石一般為凸多邊形。在骨料生成過程中，如何保證生成的多邊形為凸多邊形是關(guān)鍵的一步。對(duì)于凸多邊形和凹多邊形的判斷可以從三角形面積正負(fù)入手。如圖3所示，p為多邊形邊a2a3上方的頂點(diǎn)(延伸點(diǎn))，如果p與邊a2a3鄰邊a3a4、a1a2連成的三角形Δpa1a2、Δpa2a3按照式(3)算得的面積均為正，則點(diǎn)p為“凸性點(diǎn)”；如果p與邊a2a3鄰邊a3a4、a1a2連成的三角形Δpa1a2、Δpa2a3按照式(3)算得的面積不全是正值，則點(diǎn)p為“凹性點(diǎn)”。所以圖3(a)中的p點(diǎn)為“凸性點(diǎn)”，圖3(b)中的p點(diǎn)為“凹性點(diǎn)”。

圖3 凸性點(diǎn)判別Fig.3 Judgment of the convex point

(3)

式中：(xi,yi)、(xi+1,yi+1)分別為圖3所示凸多邊形頂點(diǎn)ai和ai+1的坐標(biāo)；(x,y)為圖3所示凸多邊形平面內(nèi)任一點(diǎn)p的坐標(biāo)；S為圖3中所連成的三角形Δpaiai+1(i=1,2,…1)的面積，其正負(fù)值由p、ai、ai+1的排列順序決定：若三個(gè)點(diǎn)按逆時(shí)針排列，則S為正，若三個(gè)點(diǎn)按順時(shí)針排列，則S為負(fù)。

對(duì)于圖3(b)的“凹性點(diǎn)”p，如果根據(jù)傳統(tǒng)的“剔除法”直接剔除并重新生成，將耗費(fèi)較多的CPU資源，且程序的運(yùn)行速度也會(huì)大打折扣。本文提出“替代法”，具體為：直接連接點(diǎn)p和點(diǎn)a1，用點(diǎn)p替代點(diǎn)a2，這樣多邊形由a1a2a3a4a5a6變?yōu)閍1pa3a4a5a6，多邊形的邊長數(shù)量未變，但面積增大了(Spa2a3、Spa1a2)。這種改進(jìn)的算法有利于避免形成“凹多邊形”，還能加快多邊形的生成以滿足面積要求，從而提高了生成效率。

單個(gè)骨料的生成程序流程見圖4。投放流程由MATLAB進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，得到100 mm×100 mm矩形框內(nèi)的混凝土二維多邊形隨機(jī)骨料分布模型(圖5)，骨料含量分別為43%[圖5(a)]、53%[圖5(b)]和63%[圖5(c)]。

圖5中所生成多邊形骨料和實(shí)際的碎石骨料比較相似，且分布較均勻，從而證明了算法的正確性與可靠性。

圖4 多邊形隨機(jī)骨料投放程序基本流程Fig.4 The basic process of delivery program for polygon random aggregate

圖5 任意多邊形骨料模型Fig.5 General polygon aggregate model

2 HSHPC隨機(jī)骨料模型計(jì)算實(shí)例

2.1 高強(qiáng)高性能混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的簡化

對(duì)于普通混凝土，骨料-硬化砂漿界面通常被認(rèn)為是其材料性能發(fā)展的薄弱環(huán)節(jié)，而本研究中用于型鋼混凝土組合結(jié)構(gòu)的高強(qiáng)高性能混凝土，由水泥、粗骨料、細(xì)骨料、水、活性礦物摻合料以及高效外加劑組成，且課題組對(duì)配合比進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)[4-6]，高強(qiáng)高性能混凝土在達(dá)到強(qiáng)度的90%～95%時(shí)才會(huì)出現(xiàn)開裂現(xiàn)象，而在這之前基本沒有黏結(jié)裂縫出現(xiàn)，骨料與水泥砂漿具有更高的黏結(jié)強(qiáng)度，使得HSHPC中骨料與水泥砂漿在整個(gè)受力過程中基本能夠共同工作。因此本文假設(shè)混凝土組成成分中骨料和砂漿能協(xié)同工作，忽略骨料-砂漿界面層對(duì)模型的影響，高強(qiáng)高性能混凝土細(xì)觀模型被簡化為由骨料單元和硬化水泥砂漿單元組成。

2.2 細(xì)觀材料本構(gòu)模型

本文在分析混凝土細(xì)觀尺度的變形、損傷和破壞過程中認(rèn)為混凝土是一種準(zhǔn)脆性材料[12]，其受力后在宏觀上呈現(xiàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的非線性是由于受力后不斷損傷引起裂紋萌生和擴(kuò)展造成的，而不是由于其塑性變形引起的?；诖?，彈性損傷力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系可以用來描述混凝土的細(xì)觀單元各相的力學(xué)性質(zhì)。

本文中損傷閥值應(yīng)用最大拉應(yīng)變準(zhǔn)則表示。該準(zhǔn)則認(rèn)為當(dāng)細(xì)觀單元的最大拉伸主應(yīng)變達(dá)到給定的極限值時(shí)，該單元開始發(fā)生拉伸損傷。細(xì)觀單元的彈性損傷本構(gòu)關(guān)系如圖6所示。

對(duì)于圖6所給出的本構(gòu)曲線，損傷變量的表達(dá)式[10]為

(4)

式中：ft為混凝土試樣各組分的抗拉強(qiáng)度；ftr為各相破壞單元的抗拉殘余強(qiáng)度，ftr=λft，λ為殘余強(qiáng)度系數(shù)，0<λ≤1；εt0為單元應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度時(shí)的主拉應(yīng)變；εtr為與抗拉殘余強(qiáng)度相對(duì)應(yīng)的殘余應(yīng)變，εtr=ηεt0，η為殘余應(yīng)變系數(shù)，對(duì)于混凝土試樣各組分，1<η≤5；εtu為極限拉應(yīng)變，εtu=ξεt0，ξ為極限應(yīng)變系數(shù)，ξ>η；εmax為單元加載歷史上主拉應(yīng)變的最大值。依據(jù)課題組前期試驗(yàn)數(shù)據(jù)[4-6]，各參數(shù)的數(shù)值見表1。

表 1 高強(qiáng)高性能混凝土細(xì)觀單元力學(xué)參數(shù)

2.3 計(jì)算實(shí)例

以C80高強(qiáng)高性能混凝土立方體試件為例(截面尺寸為100 mm×100 mm)模擬其在單軸受壓載荷作用下的力學(xué)行為，并與相應(yīng)物理試驗(yàn)對(duì)比，以驗(yàn)證隨機(jī)骨料模型的正確性。

2.3.1 骨料顆粒的計(jì)算

依據(jù)高強(qiáng)高性能混凝土配合比實(shí)驗(yàn)[4-6]，粗骨料代表粒徑分別為27.5、22.5、17.5和12.5 mm，粒徑分布滿足富勒級(jí)配曲線，最大骨料粒徑為30 mm。高強(qiáng)高性能混凝土試驗(yàn)配合比數(shù)據(jù)見表2。

表 2 C80混凝土試驗(yàn)配合比(單位：kg/m3)

根據(jù)瓦拉文公式可計(jì)算得到C80高強(qiáng)高性能混凝土粗骨料顆粒數(shù)如表3所列[4-6]。

表 3 C80混凝土粗骨料顆粒數(shù)

2.3.2 有限元網(wǎng)格剖分

通過MATLAB軟件建立高強(qiáng)高性能混凝土隨機(jī)骨料幾何模型，利用AUTOCAD的紐帶作用，將幾何模型導(dǎo)入至ANSYS，以形成APDL語言，并對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)和完善。對(duì)幾何模型進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，為使結(jié)果更好地收斂，骨料平面采用映射網(wǎng)格劃分技術(shù)；砂漿平面為極不規(guī)整平面，利用映射劃分技術(shù)根本無法形成可以計(jì)算的網(wǎng)格，故采用自由網(wǎng)格劃分技術(shù)。高強(qiáng)高性能混凝土平面試樣有限元模型如圖7所示，其單元總數(shù)為9 280。

圖7 高強(qiáng)高性能混凝土平面試樣有限元模型Fig.7 Finite element model of HSHPC specimens

2.3.3 HSHPC單軸受壓過程數(shù)值模擬

根據(jù)彈性損傷本構(gòu)關(guān)系，將高強(qiáng)高性能混凝土各相組分的力學(xué)參數(shù)(表1)分配給有限元模型中相應(yīng)的細(xì)觀單元，得到混凝土材料數(shù)值試樣，并對(duì)該試樣進(jìn)行單軸受壓數(shù)值模擬(加載方式以及邊界條件見圖8，底部節(jié)點(diǎn)橫向自由度全部約束住，頂部節(jié)點(diǎn)施加一個(gè)位移荷載)。為避免產(chǎn)生剛體位移，將底部坐標(biāo)為(0,0)的節(jié)點(diǎn)縱向自由度約束住。

圖8 單軸受壓數(shù)值試驗(yàn)加載及約束Fig.8 Loading mode and constraint under uniaxial compression numerical test

圖9為HSHPC單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯?，曲線的上升段基本為直線，表明在數(shù)值模擬中上升段的細(xì)觀單元很少發(fā)生損傷。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到峰值后曲線驟然下跌，表現(xiàn)出明顯的脆性，作者認(rèn)為原因有兩個(gè)：(1)砂漿單元和骨料單元的抗拉強(qiáng)度、泊松比及彈性模量等力學(xué)性質(zhì)相近導(dǎo)致單元損傷或破壞幾乎同時(shí)發(fā)生，從而導(dǎo)致試件的剛度矩陣急劇下降；(2)骨料單元產(chǎn)生了損傷和破壞，裂縫的發(fā)展不再受到骨料的制約，應(yīng)力-應(yīng)變曲線迅速回落，形成陡峭的尖峰，應(yīng)力-應(yīng)變曲線形成的面積明顯減小。

圖9 HSHPC單軸受壓過程應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.9 Stress-strain curves of HSHPC under uniaxial compression

圖10為HSHPC單軸受壓細(xì)觀單元損傷演化圖。高強(qiáng)高性能混凝土試件在大部分時(shí)候處于彈性狀態(tài)，損傷單元和黏結(jié)裂縫非常少；當(dāng)達(dá)到開裂臨界應(yīng)力(第190荷載步)時(shí)損傷單元突然大面積出現(xiàn)，當(dāng)達(dá)到峰值應(yīng)力時(shí)破壞單元開始大面積出現(xiàn)，其在受拉和受壓數(shù)值模擬中均存在骨料單元破壞，且破壞主裂縫均穿過骨料，這與高強(qiáng)高性能混凝土中骨料和基體的強(qiáng)度相近，甚至基體的強(qiáng)度高于骨料，骨料已經(jīng)成為HSHPC薄弱環(huán)節(jié)的結(jié)論是一致的[4]；最后形成從上至下的宏觀主裂縫，傾角大概在70°。

圖10 HSHPC單軸受壓細(xì)觀單元損傷演化圖Fig.10 Damage evolution of mesoscopic units of HSHPC under uniaxial compression

2.3.4 單元數(shù)目的影響

以上分析都是針對(duì)單元數(shù)目為9 280的試樣進(jìn)行的。本小節(jié)研究當(dāng)模型尺寸相同而單元數(shù)目不同時(shí)分析結(jié)果的差別。圖11給出了不同單元數(shù)模型立方體試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

圖11 單元數(shù)目對(duì)數(shù)值試樣應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響Fig. 11 Effect of unit number on stress-strain curves of specimens

由圖11可知，減少單元數(shù)目將提高數(shù)值試樣應(yīng)力-應(yīng)變曲線的韌性，而降低其脆性；增加單元數(shù)目將降低其韌性，而提高其脆性。這一現(xiàn)象與普通混凝土數(shù)值模擬結(jié)果類似[11]。究其原因，單元的數(shù)目基本不影響數(shù)值試樣的峰值強(qiáng)度和初始彈性，但增加單元數(shù)目會(huì)提高總體的均勻性。

2.3.5 試驗(yàn)驗(yàn)證

由圖12可知，對(duì)于應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段，數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，但數(shù)值模擬的彈性模量和峰值應(yīng)力較試驗(yàn)數(shù)值高，這是因?yàn)樵跀?shù)值模擬中沒有考慮初始損傷；對(duì)于曲線下降段，由于高強(qiáng)高性能混凝土的脆性性質(zhì)和試驗(yàn)機(jī)的剛度不足等原因使得下降段只能得到一部分，故下降段無法比較。由表4可知[4-6]，數(shù)值模擬結(jié)果(包括峰值應(yīng)變、彈性模量等)均處在三組試驗(yàn)結(jié)果范圍內(nèi)，表明本文建立的細(xì)觀數(shù)值模型能較好地模擬高強(qiáng)高性能混凝土的單軸受壓力學(xué)行為。

圖12 數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比(應(yīng)力-應(yīng)變曲線)Fig.12 Comparison between simulation results and test results (stress-strain curves)

3 結(jié)語

(1) 基于骨料形態(tài)和分布的離散特點(diǎn)，將瓦拉文公式應(yīng)用于確定二維混凝土試件截面粗骨料的分布，提出以圓形隨機(jī)骨料模型中圓骨料的面積為控制參數(shù)，以圓內(nèi)接五邊形為基架的凸多邊形隨機(jī)骨料算法。凸多邊形骨料分布的骨料顆粒級(jí)配及其在試件截面內(nèi)的面積與圓形骨料均相同。

表 4 數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

(2) 建立點(diǎn)與多邊形及多邊形與多邊形的貫穿和侵入的幾何關(guān)系，分別利用MATLAB語言和APDL語言編制隨機(jī)骨料模型生成程序和損傷有限元計(jì)算程序。通過C80高強(qiáng)高性能混凝土單軸受壓數(shù)值模擬的計(jì)算實(shí)例驗(yàn)證本文建立的數(shù)值模型的正確性。

(3) 數(shù)值模型中僅僅模擬了骨料分布的隨機(jī)性，沒有考慮混凝土各相力學(xué)特性參數(shù)在計(jì)算域內(nèi)的隨機(jī)分布，故材料發(fā)生破壞的荷載水平較試驗(yàn)高。

(4) 本文建立的損傷本構(gòu)模型僅適用于單元壓伸情況，而在混凝土發(fā)生單軸受拉過程中，極少數(shù)單元會(huì)發(fā)生剪切損傷破壞，這方面本構(gòu)模型的選取需要基于有關(guān)試驗(yàn)結(jié)果的觀察分析得出。

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Meso-scale Numerical Analysis of Damage Evolution of High-strength and High-performance Concrete

ZHENG Jie, ZUO He-shan, CAO Wen-ping, CHEN Jing-heng, ZHENG Shan-suo

(ArchitecturalDesign&ResearchInstitute,Xi'anUniversityofArchitectureandTechnology,Xi'an710055,Shaanxi,China)

On a meso-level, concrete can be seen as a three-phase composite material comprising a cement base, aggregate, and a transitional zone between the cement and aggregate. In this study, based on the random characteristics of the aggregate distribution and morphology, the Walraven formula is applied to determine the convex polygonal aggregate distribution of the two-dimensional concrete specimen's cross-section. Subsequently, an algorithm for the random convex polygon aggregate is proposed, in which an area of round aggregate is used as the control parameter and the inscribed polygon of the round aggregate is used as the framework. A numerical experiment is conducted on specimens under uniaxial compression by using the high-strength and high-performance concrete C80 as an example, and corresponding stress-strain curves and damage evolution pictures are drawn. A comparison between results of the numerical simulation and the physical test show that the numerical model proposed in this paper is both reasonable and feasible.

high strength and high performance concrete; random aggregate model; mesoscale numerical simulation; damage evolution; damage finite element

2016-10-08

國家科技支撐計(jì)劃(2013BAJ08B03)；國家自然科學(xué)基金(51678475)；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20136120110003)

鄭 捷(1988-)，女，陜西西安人，碩士，從事建筑與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究。E-mail：julie1314fl@126.com。

TU528.01

A

1000-0844(2016)05-0745-06

10.3969/j.issn.1000-0844.2016.05.0745