☉江蘇省無(wú)錫市廣豐中學(xué)　何心芳

從差異處著手，在課堂中生長(zhǎng)——從“三角形內(nèi)角和”一課談起

☉江蘇省無(wú)錫市廣豐中學(xué)何心芳

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教學(xué)活動(dòng)要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，努力使全體學(xué)生達(dá)到課程目標(biāo)的要求.學(xué)生的差異是多方面的，且是動(dòng)態(tài)發(fā)展的，從教學(xué)的角度更關(guān)注學(xué)生智能的差異，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與學(xué)習(xí)興趣的差異，學(xué)習(xí)風(fēng)格、方式的差異，以及認(rèn)知準(zhǔn)備的差異等.出色的教師要做發(fā)現(xiàn)學(xué)生差異的有心人，不僅能客觀承認(rèn)這種差異，而且還能對(duì)自己學(xué)生的差異準(zhǔn)確分辨，在關(guān)注學(xué)生不同的學(xué)習(xí)需求后，用差異化的教學(xué)策略讓學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上得到最大的發(fā)展，這是教學(xué)的最終目的.

學(xué)生由于學(xué)習(xí)環(huán)境、生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)儲(chǔ)備等方面的不同，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必然存在著差異.所以教學(xué)目標(biāo)既照顧差異又對(duì)每個(gè)學(xué)生都應(yīng)有挑戰(zhàn)性.

下面就以“三角形的內(nèi)角和為180°的探索和證明”為例作一個(gè)闡釋.

一、承認(rèn)差異，制定有差異的教學(xué)目標(biāo)

先分析該知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)體系：本節(jié)內(nèi)容是三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，揭示的是三角形三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，是今后學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和、外角和及三角形外角性質(zhì)等許多知識(shí)的基礎(chǔ)和依據(jù)；是計(jì)算角度和證明角相等的常用方法之一.到了初中，不僅要向?qū)W生說(shuō)明證明的必要性，還要讓學(xué)生感受用幾何符號(hào)語(yǔ)言說(shuō)理的過(guò)程，明白添加輔助線是解決幾何問(wèn)題的常用方法.

再分析學(xué)生銜接的前知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系：在小學(xué)四年級(jí)蘇教版的教科書(shū)上已經(jīng)讓學(xué)生通過(guò)不同的實(shí)踐操作去感知這個(gè)內(nèi)容，只是還不知道這樣做的原因.學(xué)生已有的幾何語(yǔ)言知識(shí)是七年級(jí)上冊(cè)最后一章和下冊(cè)第一章有關(guān)平行線的識(shí)別和性質(zhì)，學(xué)生最困難的是“把角的移動(dòng)怎么變成線的平移”這一輔助線的出現(xiàn).

介于以上兩點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)目標(biāo).

（1）通過(guò)回顧，讓學(xué)生回憶得到三角形內(nèi)角和為180°的實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程.

預(yù)設(shè)三個(gè)學(xué)生可能的回答：①用量角器測(cè)量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)再相加；②把三個(gè)內(nèi)角撕下拼成一個(gè)平角；③可以將三角形折成一個(gè)長(zhǎng)方形.其中①②是知識(shí)性目標(biāo)，每個(gè)學(xué)生都要會(huì)操作；③是能力性目標(biāo)，在教學(xué)教科書(shū)上有介紹，但學(xué)生估計(jì)已經(jīng)遺忘，需要通過(guò)教師的動(dòng)手操作演示給學(xué)生看，只要學(xué)生了解就可以了.

（2）掌握三角形內(nèi)角和為180°的證明和推論，并能用它們解決有關(guān)角度計(jì)算的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.此目標(biāo)全體要求掌握，其中對(duì)于證明的方法，學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生掌握最簡(jiǎn)單的一種即可.

（3）初步體會(huì)如何分析幾何證明思路，感受“輔助線”的方法，形成“言必有據(jù)”的推理習(xí)慣.此目標(biāo)需要學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生理解.

由于是建立在多方分析的基礎(chǔ)之上，對(duì)學(xué)生所要達(dá)到的目標(biāo)有層次的差異，因此課堂教學(xué)的針對(duì)性必然就會(huì)增加，各環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)也緊緊圍繞目標(biāo)而開(kāi)展.

二、照顧差異，設(shè)計(jì)有差異的“問(wèn)題串”

在承認(rèn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力差異客觀存在的基礎(chǔ)上，為了讓不同能力層次的學(xué)生在課堂上都能有所思考和訓(xùn)練，我們?cè)诿恳唤虒W(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上可以設(shè)計(jì)一些有梯度的問(wèn)題，以滿足學(xué)生的不同需求.

首先，通過(guò)設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”，激發(fā)不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).本節(jié)課的重、難點(diǎn)是證明“三角形內(nèi)角和為180°”的方法，而學(xué)生最缺乏的就是證明的思路.所以通過(guò)以下問(wèn)題串讓不同層次的學(xué)生都有所思考.①請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，我們?cè)?jīng)用什么方法探索了三角形內(nèi)角和為180°？②我們學(xué)過(guò)的知識(shí)中哪些是和180°有關(guān)的？③有什么辦法可以把它們聯(lián)系在一起？這三個(gè)問(wèn)題的關(guān)系是遞進(jìn)的，適合不同層次的學(xué)生.問(wèn)題②可以和平角及平行線的同旁內(nèi)角聯(lián)系起來(lái)，問(wèn)題③是為畫(huà)輔助線理下伏筆.

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

其次，通過(guò)設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”，找到突破重、難點(diǎn)的方法，讓學(xué)生有選擇地完成證明過(guò)程.在整個(gè)拼圖過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生有不同的發(fā)現(xiàn)，通過(guò)有效的活動(dòng)形式，學(xué)生能出現(xiàn)的結(jié)果有四種情況.如：圖1和圖3都可以體會(huì)移動(dòng)角和畫(huà)平行線的關(guān)系.設(shè)計(jì)的問(wèn)題是：①請(qǐng)學(xué)生觀察，圖中有特殊位置的線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.②像這樣通過(guò)移動(dòng)角我們得到了平行線，那么如果我們先作平行線，是否可以移動(dòng)角呢？這樣證明的輔助線就產(chǎn)生了，重、難點(diǎn)也得以突破.在證明的過(guò)程中也要兼顧學(xué)生的差異，在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，在小組內(nèi)先交流想法，然后利用圖1和圖3讓學(xué)生闡述自己的思路，教師在特別需要強(qiáng)調(diào)的地方適當(dāng)補(bǔ)充和完善.只有在讓學(xué)生暴露證明方法的過(guò)程中，才能知道學(xué)生的問(wèn)題所在，才能給予學(xué)生最有效的幫助，讓學(xué)生在不斷的學(xué)習(xí)和反思中得以提高.最后學(xué)生可以選擇一種完成證明過(guò)程.

最后，通過(guò)設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力.問(wèn)題①：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們是怎樣找到證明思路的？問(wèn)題②：通過(guò)拼圖活動(dòng)，我們又是如何發(fā)現(xiàn)證明思路的？在教師的追問(wèn)中，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，通過(guò)歸納總結(jié)證明的思路體會(huì)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.這是學(xué)生第一次接觸輔助線的添加，因此如何敘述輔助線的添加和證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)規(guī)范是需要教師的示范作用的.課堂教學(xué)要給不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供思考和學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，并給予適當(dāng)?shù)膸椭?設(shè)問(wèn)的難度要循序漸進(jìn)，要求不宜一下子提得過(guò)高，層次落差不宜太大.要保證不同層次的學(xué)生都有提高.

三、憑借差異，開(kāi)展有差異的學(xué)習(xí)歷程

首先，組織學(xué)習(xí)互助小組，把能力強(qiáng)弱進(jìn)行異質(zhì)小組安排，以便于他們交流互助.如上述四種拼圖的方法，就是在小組合作交流的基礎(chǔ)上完成的.在設(shè)計(jì)小組活動(dòng)時(shí)，既要考慮到組內(nèi)學(xué)生的差異，估計(jì)學(xué)生可能出現(xiàn)的結(jié)果和應(yīng)對(duì)的策略，是交由組內(nèi)探討還是老師點(diǎn)撥；還要考慮到活動(dòng)的目的性，設(shè)計(jì)好階梯型的活動(dòng)要求，以幫助反應(yīng)快速和部分緩慢的同學(xué)都可以通過(guò)活動(dòng)體驗(yàn)結(jié)果，經(jīng)歷屬于他們的相對(duì)完整的學(xué)習(xí)歷程.

如拼圖活動(dòng)的要求是：①學(xué)生獨(dú)立完成；②組內(nèi)交流；③小組展示.對(duì)于部分學(xué)生還設(shè)計(jì)了友情提醒：從三角形ABC中撕下∠B、∠C，拼到∠A處.你還有其他拼法嗎？

其次，提供差異展示的機(jī)會(huì).通過(guò)小組交流或全班交流，給學(xué)生提供相互學(xué)習(xí)的平臺(tái).學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生可以得到解題方法的提示，學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生可以獲得解題方法的積累，學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生可以收獲解題思維的拓展.而在實(shí)施過(guò)程中，學(xué)生在異質(zhì)的交流和分享中得到了能力的學(xué)習(xí)與互補(bǔ).如在大家都在分享兩種證明方法的喜悅時(shí)，有一位學(xué)生給出了如圖5所示的證明方法：利用平行線的同旁內(nèi)角互補(bǔ)來(lái)證明.

圖5　

在三角形內(nèi)角和為180°的教學(xué)中，共設(shè)計(jì)了兩處小組合作環(huán)節(jié).一處是拼圖，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，要得到拼圖的所有情況是困難的，所以通過(guò)合作不僅讓組內(nèi)學(xué)生在交流中完善拼圖的方法，更重要的的是為后面的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，否則學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)就很難跟上；第二處是證明，交流不僅可以得到思維上的拓展，還可以讓不同層次的學(xué)生都能有所收獲.學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生獲得的是多幫一的機(jī)會(huì)，有助于他們掌握最基本的方法，嘗試到解題成功的喜悅.其他學(xué)生在組內(nèi)交流講解過(guò)程中，更明晰了自身的思考路徑，學(xué)習(xí)獲得的有效性更高.

四、延伸差異，選擇有差異的測(cè)試要求

由于不同能力水平的學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和反映效果是不一樣的，因此教師應(yīng)根據(jù)各層次學(xué)生的水平，設(shè)置有彈性的要求、可選擇的作業(yè).

一般可分為三個(gè)層次：作業(yè)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)題為主，同時(shí)配有少量的提高題和拓展題.學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生是基礎(chǔ)性作業(yè)和提高題、拓展題；學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生是基礎(chǔ)性作業(yè)和提高題，選做拓展題；學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生是基礎(chǔ)性作業(yè)為主.考慮到學(xué)生做作業(yè)時(shí)的方便，會(huì)設(shè)計(jì)作業(yè)紙.針對(duì)不同層次的作業(yè)目標(biāo)，可以規(guī)定凡完成自己所屬層次任務(wù)的，均能得“良”；凡完成任務(wù)突出或達(dá)到高一層目標(biāo)的，可得“優(yōu)”；未完成所屬層次任務(wù)的，只能得“中”或“差”.這樣一來(lái)，學(xué)習(xí)能力較弱和一般的學(xué)生都有機(jī)會(huì)得“優(yōu)”，而學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生如果不努力也有可能得“中”.而對(duì)于有些題目不能分開(kāi)時(shí)，就采用特別標(biāo)注的方法.例如，已知∠A、∠B、∠C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角.①若∠A=90°，∠C=40°，則∠B=____；②若∠C=2∠A，∠A+∠C=120°，則∠A=____，∠B= ____，∠C=____；③若∠A=70°，∠B-∠C=20°，則∠B= ____，∠C=____.其中②③是提高題，就會(huì)用圈題號(hào)或打星號(hào)來(lái)標(biāo)注.

一單元學(xué)完后，均安排一次過(guò)關(guān)考核.根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平，同一份試卷擬定出不同層次的測(cè)試題，基本框架也是和作業(yè)一樣，但考試的要求不一樣.對(duì)于學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，要求完成基礎(chǔ)題后面批，個(gè)別輔導(dǎo).對(duì)于考完后的試卷，要分析不同層次的學(xué)生.學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生分析基本題的得分和失分，學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生分析基礎(chǔ)題的失分和提高題的得分，找到失分的原因和提高題中沒(méi)突破的困惑，學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生分析拓展題外的失分原因，暴露拓展題的思維過(guò)程，已經(jīng)想明白了哪些問(wèn)題，還有什么困惑，面談或紙上交流.這樣給自己的試卷講評(píng)帶來(lái)的差異性，能讓學(xué)生講的題目我就不講，我只講學(xué)生要求我講的題目.有時(shí)還可以對(duì)知識(shí)的前后聯(lián)系、處理歸納作一下點(diǎn)撥.

總之，我們必須認(rèn)可學(xué)生差異的客觀存在性，不管是在課前還是課中乃至課后都不能無(wú)視它，在設(shè)計(jì)每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容時(shí)都要考慮到不同層次學(xué)生的需求，精心為學(xué)生設(shè)計(jì)能讓他們有成就感的環(huán)節(jié)和活動(dòng).差異教學(xué)追求的價(jià)值是每個(gè)學(xué)生最大限度的發(fā)展，所以我們必須尊重差異，理解差異，將差異作為一種資源，使我們的學(xué)生都接受有效的教育.

1.章建躍.中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

2.王光明.數(shù)學(xué)教育要培養(yǎng)效率意識(shí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2006（5）.Z