☉浙江師范大學(xué)附屬杭州筧橋?qū)嶒炛袑W(xué)　路亞飛　劉夢蕾☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院朱哲

簡單中發(fā)現(xiàn)，深刻中探究——以“菱形（第一課時）”教學(xué)為例

☉浙江師范大學(xué)附屬杭州筧橋?qū)嶒炛袑W(xué)路亞飛劉夢蕾
☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院朱哲

探究式教學(xué)可以看作是一種簡化的科研活動，它為學(xué)生提供一個自主探究的學(xué)習(xí)環(huán)境，并根據(jù)學(xué)生個別差異提供相應(yīng)的指導(dǎo).探究式教學(xué)模式中教師不直接把教學(xué)目標、學(xué)習(xí)路徑等相關(guān)內(nèi)容告知學(xué)生，而是由學(xué)生自主進行探究新知，促進學(xué)生深化知識內(nèi)在聯(lián)系的理解、探究能力及創(chuàng)新能力等多方面能力的提高.創(chuàng)新能力與實踐能力的培養(yǎng)是現(xiàn)階段基礎(chǔ)教育的重點，也是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容，探究式教學(xué)模式的引入，能夠有效改革傳統(tǒng)教學(xué)，真正落實新課改.

一、熟知背景，確定目標

本節(jié)課教材選自浙教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第五章第二節(jié)“菱形”，之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定.菱形是學(xué)生學(xué)習(xí)了矩形之后的另一個特殊平行四邊形，本節(jié)課主要探究菱形的定義與性質(zhì).菱形屬于初中數(shù)學(xué)幾何模塊的中間過渡部分，它是三角形和四邊形知識模塊的外延，同時為正方形、圓及立體圖形等知識的學(xué)習(xí)做鋪墊.本節(jié)課教學(xué)設(shè)計通過讓學(xué)生動手操作、細心觀察、大膽猜測，最后借助已學(xué)知識進行驗證猜想，從而培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力、演繹推理能力及邏輯思維能力等，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）指出圖形與幾何部分教學(xué)目標是讓學(xué)生經(jīng)歷圖形抽象、性質(zhì)探究等過程，在參與操作、觀察、猜想、論證等數(shù)學(xué)活動中發(fā)展演繹推理能力，能夠獲得解決問題的基本方法，體會方法多樣性，提高對數(shù)學(xué)知識的探究欲，發(fā)展創(chuàng)新意識.基于《課標》對于幾何部分教學(xué)目標的分析，本節(jié)課確定以下三維教學(xué)目標：（1）知識與技能：經(jīng)歷菱形性質(zhì)的探究過程，掌握菱形兩個基本性質(zhì)，并能夠運用性質(zhì)解決問題；（2）過程與方法：經(jīng)歷菱形性質(zhì)的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作、探究推理能力；通過對菱形性質(zhì)進行證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；（3）情感態(tài)度與價值觀：菱形性質(zhì)的探究過程中獲得成功的體驗，提高對數(shù)學(xué)的求知欲、探究欲及學(xué)習(xí)興趣；運用菱形性質(zhì)解決問題，克服困難，建立自信心；體會菱形的圖形美，感受數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系.

二、自主研學(xué)，新知探究

圖形、窗花、墻紙等精美勻稱的菱形圖案是菱形傳統(tǒng)教學(xué)中標準導(dǎo)入，本次教學(xué)導(dǎo)入突破傳統(tǒng)，利用精簡教具小紙片輔助教學(xué)，設(shè)置教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生自主探究菱形的基本性質(zhì).

活動：請同學(xué)們將桌子上兩張相同的矩形紙片（課前準備）交叉重疊放置（如圖1、圖2），請問從你的兩個紙片交叉重疊的四邊形中發(fā)現(xiàn)了怎樣的特殊四邊形？你能證明你的猜想嗎？

圖1　

圖2　

分析：本次探究活動的教具比較簡單（紙片），教師和學(xué)生容易獲取，利于探究活動的進行.兩個紙片交叉重疊的情況較多，隨著交叉角度與位置的變化，重疊部分的形狀會各有不同.為了引導(dǎo)學(xué)生進行有效的探究，教師對探究活動設(shè)定了一些限制，例如活動中要求重疊部分的形狀為四邊形，這樣重疊形狀只存在圖1與圖2的兩種情況.圖1中的重疊四邊形比較容易發(fā)現(xiàn)和證明是正方形，對于圖2中的重疊四邊形，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)它是一個平行四邊形，因為矩形紙片的對邊相互平行，但研究的深度還不夠，需要發(fā)現(xiàn)它是一個特殊的平行四邊形（即菱形）.前一節(jié)學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了一個特殊平行四邊形（即矩形），矩形是從角的特殊性（即直角）研究平行四邊形，學(xué)生通過猜想或預(yù)習(xí)容易想到本次探究將從邊的特殊性研究平行四邊形.對于邊的特殊性，能猜想到的只有邊相等，然而平行四邊形的對邊平行且相等，留下的方向只有鄰邊相等，即這節(jié)課所探究的特殊平行四邊形——菱形，即定義為一組鄰邊相等的平行四邊形.

接下來就是證明猜想，對于已知條件，我們首先知道該四邊形是一個平行四邊形，其次兩個矩形的寬是相等的，需要證明平行四邊形的鄰邊相等，如圖3，已知：平行四邊形ABCD，兩矩形寬相等，求證：AB=AD.證明的方法較多，下面介紹一個較為簡單且學(xué)生容易想到的證明方法，首先由矩形等寬可知，平行四邊形ABCD的兩條高相等，即AE=AF（如圖3），再由平行四邊形面積法可知AE·BC=AF·CD，所以BC=CD，即AB=AD，具體證明過程如下.

證明：如圖3，作輔助線AE、AF，使AE垂直于BC且交BC于點E，AF垂直于CD且交CD于點F，由于兩矩形等寬，則AE=AF.

又平行四邊形的面積S=AE· BC，S=AF·CD，所以AE·BC=AF· CD，所以BC=CD.

又四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB=CD、AD= BC，所以AB=AD.

圖3　

三、類比遷移，歸納性質(zhì)

探究菱形的性質(zhì)從復(fù)習(xí)平行四邊形和矩形的定義、性質(zhì)出發(fā)，學(xué)生先前剛剛學(xué)習(xí)了一個特殊平行四邊形——矩形，對于另一個特殊平行四邊形性質(zhì)的探究可參照矩形性質(zhì)探究的方式進行對比研究，通過類比學(xué)習(xí)菱形性質(zhì).教師首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧平行四邊形和矩形的定義、基本性質(zhì)，以及研究平行四邊形與矩形的基本方法，即從邊、角、對角線、對稱性和特殊三角形五個方面探究菱形的基本性質(zhì)，并同時列出平行四邊形和矩形的基本性質(zhì)進行對比（如表1），有助于加深學(xué)生對特殊四邊形的理解和區(qū)分.

表1　平行四邊形、矩形、菱形性質(zhì)

根據(jù)菱形的定義可證明出菱形的基本性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的對角線相互垂直，且每一條對角線平分一組對角.教師引導(dǎo)學(xué)生從菱形的定義出發(fā)，即鄰邊相等的平行四邊形，把菱形的基本性質(zhì)作為結(jié)論進行證明，由于證明難度不大，教師可提問學(xué)生講解多種不同的證明方法，無須嚴格寫出證明過程，故菱形性質(zhì)證明過程省略.

四、變式拓展，靈活應(yīng)用

數(shù)學(xué)運算能力、空間想象能力與邏輯思維能力被認為是數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)中的三大基本能力，同時被人們接受.數(shù)學(xué)應(yīng)用能力作為數(shù)學(xué)能力機構(gòu)中的重要組成部分，是建立在三大基本數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)之上，且缺乏一定的數(shù)學(xué)學(xué)科特點的綜合性數(shù)學(xué)能力.［1］《課標》中也明確指出數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的問題解決能力及實踐應(yīng)用能力.以下將結(jié)合應(yīng)用問題，幫助學(xué)生鞏固菱形基本性質(zhì)的應(yīng)用.

圖4　

問題1：如圖4，兩張矩形紙片疊放在一起，重疊部分為菱形ABCD，那么兩張矩形紙片的寬度有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

分析1：問題1是菱形定義探究活動的逆向研究，問題設(shè)計為半開放性，能夠有效提升學(xué)生的思維活躍度，避免傳統(tǒng)問題解決的單一、枯燥及形式化等.由菱形定義的探究活動過渡到問題1，實質(zhì)上是問題與結(jié)論的互換，學(xué)生對于兩張矩形紙片寬度相等的猜想不存在難度，猜想的證明同樣可用探究活動中的逆向思維進行證明.證明方法較多，以下列舉三種最常用的證明方法（具體的證明過程省略）：（1）等積法，作菱形兩條高AE、AF（如圖4），通過菱形面積的兩種計算方式，即S=AE·BC=AF·CD，同時利用菱形的基本性質(zhì)四條邊相等，即AB=BC=CD=AD，所以菱形的兩條高相等，即AE=AF，可知兩張矩形紙片寬度相等；（2）角平分線定理，連接對角線AC（如圖4），由菱形的基本性質(zhì)每條對角線平分一組對角可知AC為角平分線，由角平分線定理可知AE=AF，所以兩張矩形紙片寬度相等；（3）三角形全等，由菱形基本性質(zhì)可知AB= AD、∠ABC=∠ADC，又∠AEB=∠AFD=90°，所以△ABE≌△ADF，故AE=AF，所以兩條矩形紙片寬度相等.

圖5　

問題2：如圖5，兩張寬度相等的矩形紙片重疊在一起，其中較小的夾角為60°，寬AE=3cm，你能得出哪些結(jié)論？

分析2：本題設(shè)計為開放性問題，學(xué)生可找出較多的結(jié)論，且難度不一，比如菱形邊長AB、△ACD為正三角形、對角線AC的長度及對角線BD的長度等（證明略），對于不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生都能夠找出不同難度的結(jié)論，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和興趣.開放性試題答案的多樣性，反映學(xué)生在解決問題時的不同數(shù)學(xué)體驗，體現(xiàn)了學(xué)生的個體差異性，同時能夠幫助教師了解學(xué)生的思維狀態(tài)及數(shù)學(xué)思維水平.開放性試題的設(shè)置，有利于學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，促進學(xué)生主動構(gòu)建知識體系，同時理解其中的數(shù)學(xué)思想方法，形成良好的認知結(jié)構(gòu)和深刻的數(shù)學(xué)觀，加強對數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系與內(nèi)在規(guī)律的認識，從而形成開放式的課堂教學(xué)模式，全面推進素質(zhì)教育.［2］

圖6　

問題3：如圖6，兩張寬度相等的矩形紙片重疊在一起形成的四邊形ABCD，若P是對角線BD上的一個動點，連接PE、PC，求PE+PC的最小值.

分析3：本題是動點問題，主要考查的是菱形基本性質(zhì)中的對角線平分一組對角，也是對學(xué)生所學(xué)知識的綜合考查，相對于前部分的練習(xí)題，難度有所提升.動點最值試題屬于初中數(shù)學(xué)中綜合性較強的問題，是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是近些年各地中考的熱點.這類試題的設(shè)置，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和創(chuàng)新思維意識，提高學(xué)生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，促進數(shù)學(xué)思維能力的提高.

動點最值類試題解決的關(guān)鍵在于作出定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，或者動點關(guān)于動點所在直線的對稱點.對于動點最值類試題的解決，抓住關(guān)鍵點，能夠起到事半功倍的效果.根據(jù)上述分析，問題3的具體解決過程如下.

如圖6，作點E關(guān)于對角線BD的對稱點E1，連接C、E1交BD于點P1.

由四邊形ABCD為菱形，可知對角線BD平分∠ADC.

又點E在線段CD上，所以E1在線段AD上.

又點P是E與E1對稱軸上一動點，所以PE=PE1，所以PE+PC=PE1+PC.

又點P在對角線BD上運動，所以PE1+PC≥P1E1+P1C.

所以當點P運動到點P1的位置時，PE1+PC（即P1E1+ P1C）的值最小，即PE+PC的最小值為P1E1+P1C.

問題4：兩張寬度相等的矩形紙片重疊在一起形成菱形，若矩形紙片的長是9cm，寬是3cm，那么菱形的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，請求出；如果不存在，請簡要說明理由.

分析4：最值問題是學(xué)生在積累了一定的幾何與代數(shù)知識后的一類綜合型試題，這類試題難度較大、解題的靈活性較強、綜合知識運用能力要求較高，在數(shù)學(xué)中考試題中出現(xiàn)的頻率在逐步提升，逐漸凸顯出在初中數(shù)學(xué)中的重要地位.幾何類的最值問題的解決，需要盡可能運用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，根據(jù)題設(shè)條件找出關(guān)系式，再結(jié)合圖形進行分析.對于問題4，首先找出不變的量，即菱形ABCD的高AE=3cm（如圖7），再確定菱形邊長AD與菱形高AE的關(guān)系式，結(jié)合圖形可知，當兩張矩形紙片移動到兩個頂點重合的位置時（如圖7），邊長AD的值最大為5cm，所以菱形ABCD周長的最大值為20cm（計算過程略）.

圖7　

五、自我反思，回顧總結(jié)

教材是教學(xué)的基礎(chǔ)和出發(fā)點，但并不意味著局限于教材進行教學(xué).教師應(yīng)充分挖掘教材的價值，結(jié)合對教材的理解，形成凸顯教師智慧的教學(xué)設(shè)計.［3］本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計以教材為基礎(chǔ)，進行了突破性改進，比如新知探究過程、菱形性質(zhì)的應(yīng)用等方面，幾乎脫離了教材.圖形、窗花、墻紙等精美勻稱的菱形圖案是菱形傳統(tǒng)教學(xué)中標準導(dǎo)入，本次教學(xué)設(shè)計打破傳統(tǒng)，設(shè)計一個自主探究活動.

探究活動借助兩張紙片交叉重疊，抽象出幾何圖形構(gòu)造出菱形，并在此基礎(chǔ)上進行菱形基本性質(zhì)的探究及性質(zhì)應(yīng)用例題的設(shè)計，跨度小且貫穿整節(jié)課，凸顯出課堂教學(xué)的整體性，有助于學(xué)生進行知識構(gòu)建.其次，借鑒平行四邊形與矩形性質(zhì)的探究方式，對于菱形基本性質(zhì)的探究難度不大.菱形性質(zhì)的應(yīng)用例題的設(shè)計由易到難、由淺入深、層層遞進，例如，問題1進行固定結(jié)論的猜想證明、問題2開放性結(jié)論、問題3上升為動點最值問題、問題4為圖形移動最值問題.問題設(shè)計由結(jié)論單一到多樣性，再上升到動態(tài)最值，逐步提升問題深度，引導(dǎo)學(xué)生思維逐漸深入，提升學(xué)生的思維參與度，拓寬學(xué)生的思維空間.

本節(jié)課從兩條紙片出發(fā)，通過不斷的深入挖掘其內(nèi)在的價值，使之與菱形發(fā)生“化學(xué)反應(yīng)”，貫穿整個教學(xué)過程.兩條紙片引入新課探究，兩條紙片幫助學(xué)生歸納菱形基本性質(zhì)，兩條紙片圖形化變式鞏固性質(zhì)應(yīng)用，看似簡單的一節(jié)課，通過兩條紙片串聯(lián)起來，使得這節(jié)課不簡單.兩條紙片貫穿一節(jié)課，在知識教學(xué)層面，幫助學(xué)生把零散的數(shù)學(xué)知識串起來，有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，形成知識系統(tǒng)；在教育層面，引導(dǎo)學(xué)生認識小事物大用處，通過認真努力，微小簡單的平常事也能夠賦予其非凡的意義.學(xué)生在學(xué)校受教育不僅僅是學(xué)習(xí)知識，更重要的是培養(yǎng)良好的習(xí)慣、樹立正確的人生價值觀及思維水平的提高等.

1.孫勇.關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用能力若干問題的探討［J］.課程·教材·教法，2010（8）.

2.陳建仁.數(shù)學(xué)開放題教學(xué)模式探討［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2005（10）.

3.路亞飛，朱哲.追本溯源，逆向探究——以角平分線教學(xué)為例［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2015（9）.