邵水布， 張二川， 孫華飛

(北京理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 北京 100081)

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正定Hermite矩陣流形上代數(shù)Lyapunov方程的信息幾何算法

邵水布， 張二川， 孫華飛

(北京理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 北京 100081)

對于正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程AHX+XA+P=0， 基于流形的黎曼幾何結構， 作者以矩陣-AHX-XA和P之間的測地距離為目標函數(shù)， 提出了代數(shù)Lyapunov方程數(shù)值解的信息幾何算法. 最后，給出了正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程的數(shù)值模擬結果．

代數(shù)Lyapunov方程; 信息幾何算法; 正定Hermite矩陣; 測地距離

許多工程和數(shù)學問題， 如信號處理、機器人控制、計算機圖像處理[1]等， 最終都可以簡化為求解如下代數(shù)Lyapunov方程的數(shù)值解，

(1)

式中：P為正定Hermite矩陣；AH為矩陣A的共軛轉置.

(2)

本文中，考慮正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程的數(shù)值解. 方程(1)的解被描述為矩陣-AHX-XA盡可能接近正定Hermite矩陣P，并且它們之間的距離函數(shù)采用正定Hermite矩陣流形上的測地距離， 以此為目標函數(shù)提出信息幾何算法. 最后， 數(shù)值模擬結果說明了提出的幾何算法的有效性．

1 正定Hermite矩陣流形的幾何結構

若n×n的復矩陣A滿足AH=A且對任意的非0復矩陣X滿足XHAX>0，則稱A為正定Hermite矩陣. 所有n×n的正定Hermite矩陣全體構成一個正定Hermite矩陣流形H(n)，用Ekl表示第k行第l列為1，其余元素為0的基本矩陣，則流形H(n)的基底矩陣可以表示為

(3)

式中：i2=-1；p為由數(shù)對(k，l)按照某種賦值規(guī)則得到的，則任意的正定Hermite矩陣Q∈H(n)可以表示為

(4)

定義1[5]若g表示正定Hermite矩陣流形H(n)上的黎曼度量，對于Q∈H(n)，切空間TQH(n)上的內(nèi)積定義為

(5)

式中M，N∈TQH(n).

易證， 上述定義的度量滿足黎曼度量的基本性質(zhì)并且在切空間的基底變換下保持不變．

定義2[6-7]令γ:[0，1]→M表示流形M上逐段光滑的曲線，則定義γ的長度為

(6)

任意兩點x，y∈M之間的距離定義為連接這兩點曲線(如果存在這樣的曲線)長度的下確界， 即

(7)

命題1[5-7]正定Hermite矩陣流形H(n)上，對于定義的黎曼度量(5)，則得到經(jīng)過點Q且沿X方向的測地線

(8)

于是， 根據(jù)式(7)得到連接兩點Q1，Q2的測地距離

(9)

根據(jù)Hopf-Rinow定理，可以知道正定Hermite矩陣流形是測地完備的，即對于任意兩點Q1，Q2∈H(n)，都存在連接它們的測地線．

2 正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程

考慮正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程(1)的解，將方程(1)的解描述為在流形H(n)上尋找正定Hermite矩陣X，使得矩陣-AHX-XA盡可能接近P(參見圖1)．

為了刻畫矩陣-AHX-XA和P之間的距離，選取它們之間的測地距離為兩矩陣之間的度量，即目標函數(shù)為

(10)

則方程(1)的最優(yōu)解滿足

(11)

為了提出基于下降梯度的信息幾何算法，介紹下面的引理.

引理1[8]設f(X)是n階矩陣X的數(shù)量函數(shù)，若df(X)=tr(WdX)成立，則函數(shù)f(X)關于矩陣X的梯度?Xf(X)為

(12)

定理1 設J(X)是按式(10) 定義的函數(shù)，則J(X)關于正定Hermite矩陣X的梯度為

(13)

于是，

dJ(X)=d(tr(YHY))=tr(dYHY+YHdY).

根據(jù)引理1，目標函數(shù)J(X)關于X的梯度為

證畢.

定理2 對于在正定Hermite矩陣流形上， 基于下降梯度的信息幾何迭代算法的迭代公式為

(14)

按照正定Hermite矩陣流形上的黎曼指數(shù)映射易得上述結論．

根據(jù)以上的討論，給出求解正定Hermite矩陣流形上Lyapunov方程數(shù)值解的信息幾何算法．

對于正定Hermite矩陣流形H(n)，代數(shù)Lyapunov方程(1)的信息幾何迭代算法如下:

① 輸入初始矩陣X0，步長μ和計算的允許誤差界ε>0;

② 按照式(13)計算目標函數(shù)J(X)的梯度?XJ(X);

③ 如果J(X)<ε，則停止迭代輸出結果;

④ 按照式(14)更新X并返回步驟②．

3 數(shù)值模擬

現(xiàn)考慮正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程

AHX+XA+P=0，

式中：

數(shù)值模擬中取初始矩陣X0為

步長μ=0.1， 則在計算誤差限ε=10-4的情況下經(jīng)過71步迭代得到最優(yōu)解為

實際這個例子中，正定Hermite矩陣流形上Lyapunov方程的精確解為

于是得到誤差矩陣的譜半徑隨迭代步數(shù)增加的趨勢圖(如圖2所示).

進一步對比不同步長下的算法計算效率，圖3中的曲線分別對應步長μ=0.1，0.2，0.3時，目標函數(shù)J(X)和迭代次數(shù)的下降關系，其迭代次數(shù)分別為39，23，15．

從圖3中可以看出步長μ較小， 算法迭代步數(shù)多， 收斂相對較慢. 但步長不宜過長， 模擬結果表明， 步長過長容易造成算法發(fā)散. 因此， 在實際計算當中可適當調(diào)整步長參數(shù)以獲得合適的收斂速度．

4 結 論

文中作者考慮了正定Hermite矩陣流形上的代數(shù)Lyapunov方程的數(shù)值解， 以矩陣-AHX-XA和P之間的測地距離為目標函數(shù)， 基于下降的黎曼梯度提出求解該問題的信息幾何算法. 最后，用數(shù)值模擬的結果說明了提出算法的有效性. 類似于文獻[5-6]的討論可以驗證， 信息幾何算法明顯優(yōu)于其它算法．

[1]CohnSE，ParrishDF.ThebehaviorofforecastcovariancesforaKalmanfilterintwodimensions[J].MonWeaRev， 1991，119(8):1757-1785.

[2]RanACM，ReuringsMCB.Afixedpointtheoreminpartiallyorderedsetsandsomeapplicationstomatrixequations[J].ProcAmMathSoc， 2003，132:1435-1443.

[3]LiJR，WhiteJ.Low-ranksolutionofLyapunovequations[J].SIAMJMatrixAppl， 2002，24(1):260-280.

[4]JbilouK.ADIpreconditionedKrylovmethodsforlargeLyapunovmatrixequations[J].LinearAlgAppl， 2010，432(10):2473-2485.

[5]DuanX，SunH，PengL，etal.AnaturalgradientdescentalgorithmforthesolutionofdiscretealgebraicLyapunovequationsbasedonthegeodesicdistance[J].AppliedMathematicsandComputation， 2013，219(19):9899-9905.

[6]DuanX，SunH，ZhangZ.AnaturalgradientalgorithmforthesolutionofLyapunovequationsbasedonthegeodesicdistance[J].JournalofComputationalMathematics， 2014，32(1):93-106．

[7]LuoZ，SunH.ExtendedHamiltonianalgorithmforthesolutionofdiscretealgebraicLyapunovequations[J].AppliedMathematicsandComputation， 2014，234:245-252．

[8]ZhangX.Matrixanalysisandapplication[M].Beijing:TsinghuaandSpringerPublishingHouse， 2004．

(責任編輯：李兵)

An Information Geometric Algorithm for Algebraic Lyapunov Equation on Positive-Definite Hermitian Matrix Manifold

MUHAMMADShoaibArif，ZHANGEr-chuan，SUNHua-fei

(School of Mathematics and Statistics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China )

For the algebraic Lyapunov equation AHX+XA+P=0 on the positive-definite Hermitian matrix manifold， the information geometric algorithm for the numerical solution of the algebraic Lyapunov equation was given via the Riemannian geometric structure of the manifold. In this algorithm， the geodesic distance between the matrix -AHX-XAandPwasadoptedasthecostfunction.Finally，theinformationgeometricalgorithmwasillustratedforthealgebraicLyapunovequationonthepositive-definiteHermitianmatrixmanifoldbysomenumericalsimulationexamples．

algebraicLyapunovequation;informationgeometricalgorithm;positive-definiteHermitianmatrix;geodesicdistance

2014-10-07

國家自然科學基金資助項目(61779031，10932002)

邵水布(1982—)， 男， 博士生，E-mail：shoaib@bit.edu.cn.

孫華飛(1958—)，男，教授，博士生導師，E-mail：huafeisun@bit.edu.cn .

O

A

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.02.019