張權(quán)， 崔利榮， 韓旸

(1.齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院， 黑龍江，齊齊哈爾 161006；2.北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081；3.北京理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 北京 100081)

?

具有兼職的維修工隨機(jī)退化模型

張權(quán)1，2， 崔利榮3， 韓旸1

(1.齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院， 黑龍江，齊齊哈爾 161006；2.北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081；3.北京理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 北京 100081)

研究具有一個(gè)維修工的可修系統(tǒng)，且這個(gè)維修工有多個(gè)兼職工作. 如果系統(tǒng)失效并且維修工在做兼職工作，則該系統(tǒng)將等待維修直到這個(gè)維修工可用，當(dāng)這個(gè)維修工可用時(shí)，本系統(tǒng)具有優(yōu)先權(quán). 維修后，本系統(tǒng)不能修復(fù)如新. 在這些假設(shè)下，建立模型，利用幾何過(guò)程和補(bǔ)充變量法，推導(dǎo)了一些重要的可靠性指標(biāo)，包括可靠度、可用度、失效發(fā)生率等. 最后，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證得到的結(jié)果．

幾何過(guò)程；補(bǔ)充變量法； 可靠度；可用度；失效發(fā)生率

在可靠性領(lǐng)域，對(duì)簡(jiǎn)單的可修系統(tǒng)的研究一直是很重要的熱點(diǎn)問(wèn)題，一般的假設(shè)均是維修之后修復(fù)如新，這是一個(gè)完美的維修模型，但事實(shí)并非如此，由于系統(tǒng)的年齡、累積損耗等影響，一般的系統(tǒng)均是退化的，假設(shè)維修之后系統(tǒng)的工作時(shí)間會(huì)變得越來(lái)越短，失效之后，系統(tǒng)的維修時(shí)間會(huì)變得越來(lái)越長(zhǎng)，這種假設(shè)是非常合理而實(shí)際的. 對(duì)于這種隨機(jī)現(xiàn)象，Lam[1-2]引入了一個(gè)幾何過(guò)程，在這種模型下，研究了一個(gè)簡(jiǎn)單可修系統(tǒng)的兩種取代策略，一個(gè)是基于系統(tǒng)工作年齡T的，另一個(gè)是基于系統(tǒng)的失效次數(shù)N的. 然后，Zhang[3]考慮了一個(gè)二維取代策略(T，N)，證明了二維取代策略(T，N)是好于策略T和策略N的. 其它關(guān)于幾何過(guò)程的研究包括Stanley[4]， Zhang等[5-6]， Zhang[7-9]， Lam等[10]. 而Li Yuan等[11]研究了維修工具有多個(gè)假期退化系統(tǒng). 基于此，考慮的是維修工具有多兼職，且當(dāng)維修工可用時(shí)，本系統(tǒng)具有優(yōu)先權(quán)的退化系統(tǒng)模型. 由于對(duì)退化模型的假設(shè)，此隨機(jī)現(xiàn)象不是馬氏過(guò)程，采用補(bǔ)充變量的方法得到一個(gè)廣義的馬氏過(guò)程；最終運(yùn)用馬氏理論推導(dǎo)出一些重要的指標(biāo). 如可靠度、可用度、失效發(fā)生率等解析式.

1 模型假設(shè)

假設(shè)1 開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)是新的，如果系統(tǒng)失效，系統(tǒng)可能不會(huì)立即被修復(fù)，系統(tǒng)的第(n-1)次維修和第n次維修被定義為系統(tǒng)的第n次循環(huán)．

假設(shè)2 系統(tǒng)不是修復(fù)如新，看做幾何過(guò)程．

假設(shè)3 設(shè)Xn，Yn，Zn分別是第n次循環(huán)的工作時(shí)間、維修時(shí)間、延誤維修時(shí)間，且Fn，Gn，Sn分別是Xn，Yn，Zn的分布函數(shù)，如下所示

式中：t≥0;n=1，2，…;a≥1，0

假設(shè)4Xn，Yn和Zn是獨(dú)立的．

在這些假設(shè)下，系統(tǒng)的相繼工作時(shí)間{Xn，n=1，2，…}形成一個(gè)具有率a遞減的幾何過(guò)程，相繼維修時(shí)間{Yn，n=1，2，…}構(gòu)成一個(gè)具有率b遞增的幾何過(guò)程.

2 建立模型

設(shè)N(t)是系統(tǒng)在時(shí)間t的狀態(tài)，根據(jù)模型的假設(shè)有

N(t)=0，時(shí)刻t，系統(tǒng)在工作；

N(t)=1，時(shí)刻t，系統(tǒng)失效，維修工忙于兼職；

N(t)=2，時(shí)刻t，系統(tǒng)失效，維修工在維修失效系統(tǒng)．

{N(t)，t≥0}是具有狀態(tài)空間E={0，1，2}的隨機(jī)過(guò)程. 根據(jù)假設(shè)，{N(t)，t≥0}不是馬爾科夫過(guò)程，因此，用補(bǔ)充變量法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題. 設(shè)Y(t)是在時(shí)間t已經(jīng)被維修的時(shí)間，I(t)是在時(shí)間t系統(tǒng)的循環(huán)數(shù). {N(t)，Y(t)，I(t)，t≥0}構(gòu)成一個(gè)廣義的馬爾科夫過(guò)程. 在時(shí)間t，系統(tǒng)的狀態(tài)的概率定義為

根據(jù)以上分析有

即

(1)

即

(2)

即

(3)

當(dāng)k=1時(shí)，有如下的微分方程

(4)

(5)

(6)

邊界條件初始條件

對(duì)式(1)(6)的兩端作L變換得

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由邊界條件得

(13)

由式(8)得

(14)

由式(9)得

(15)

將式(15)代入式(7)得

(16)

由式(10)得

(17)

由式(15)～(17)得

(18)

(19)

(20)

當(dāng)k=1時(shí)，

(21)

(22)

(23)

3 主要結(jié)論

3.1 系統(tǒng)可用度

在時(shí)間t系統(tǒng)可用度的定義如下

那么

由托貝爾定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

顯然，當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，穩(wěn)態(tài)可用度趨于0，這是符合實(shí)際的，這是因?yàn)樵O(shè)備老化故障率增高，因此隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，系統(tǒng)逐漸不可用．

3.2 失效發(fā)生率(系統(tǒng)瞬時(shí)故障頻度)

設(shè)mf(t)表示瞬時(shí)故障頻度，則

因此

3.3 維修工修理本系統(tǒng)的概率

設(shè)pR(t)表示維修工修理本系統(tǒng)的概率，則

對(duì)此方程兩邊做L變換得

當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，pR(t)→1，也就是說(shuō)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，維修工會(huì)一直忙于修理本系統(tǒng)，其它兼職沒(méi)時(shí)間去做．

3.4 系統(tǒng)的可靠性

由第2部分分析得到

(24)

初始條件：Q01(0)=1.

對(duì)式(24)取L變換得

即

(25)

對(duì)式(25)取L的逆變換得可靠性函數(shù)為

(26)

系統(tǒng)首次失效的平均時(shí)間為

(27)

tMTTFF=∫∞0R(t)dt=lims→0 R*(s)=(λ+γ)-1.

4 結(jié) 論

本文針對(duì)非馬爾科夫型可修系統(tǒng)，建立了一個(gè)幾何過(guò)程模型，通過(guò)引進(jìn)補(bǔ)充變量，使討論的問(wèn)題變?yōu)橐粋€(gè)廣義的馬爾科夫過(guò)程.并運(yùn)用馬氏過(guò)程的理論，推導(dǎo)了一些重要的可靠性指標(biāo)解析式.充分體現(xiàn)了補(bǔ)充變量法在非馬氏隨機(jī)模型中的重要地位．

[1] Lam Y. Geometric processes and replacement problem[J]. Acta Math Appl Sin， 1988，4(4):366-377．

[2] Lam Y. A note on the optimal replacement problem[J]. Adv Appl Probab， 1988，20：479-482．

[3] Zhang Y L. A bivariate optimal replacement policy for a repairable system[J]. J Appl Probab， 1994，31：1123-1127.

[4] Stanley A D J. On geometric processes and repair replacement problems[J]. Microelectronics Reliability， 1993，33(4):489-491．

[5] Zhang Y L， Yam R C M， Zuo M J. Optimal replacement policy for a deteriorating production system with preventive maintenance[J]. Inter J Systems Sci， 2001，32(10) :1193-1198．

[6] Zhang Y L， Yam R C M， Zuo M J. Optimal replacement policy for a multistate repairable system[J]. J Oper Res Soc， 2002，53：336-341．

[7] Zhang Y L. A geometric-process repair-model with good-as-new preventive repair[J]. IEEE Trans Reliab，2002，51(2):223-228．

[8] Zhang Y L. An optimal replacement policy for a three-state repairable system with a monotone process model[J]. IEEE Trans Reliab， 2004，53:452-457.

[9] Zhang Y L. A geometric-process repair model for a repairable system with delayed repair[J]. Computers and Mathematics with Applications， 2008，55:1629-1643.

[10] Lam Y， Zhang Y L. A geometric-process maintenance model for a deteriorating system under a random environment[J]. IEEE Trans Reliab，2003，52(1):83-89．

[11] Li Yuan， Jian Xu. A deteriorating system with its repairman having multiple vacations[J]. Applied Mathematics and Computation， 2011，7:217-219.

(責(zé)任編輯：李兵)

Stochastic Deteriorating Model for a Repairman with Multiple Jobs

ZHANG Quan1，2， CUI Li-rong3， HAN Yang1

(1.Science College，Qiqihaer University，Qiqihaer，Heilongjiang 161006，China; 2.School of Mathematics and Statistics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China; 3.School of Management & Economics，Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

In this paper， a repairable system with a repairman who has multiple jobs was studied. If the system fails and the repairman is working， it will wait for repairing until the repairman is available. When the repairman is available， the system has priority. After repairing， the system is not “as good as new”. Under these assumptions， using the supplementary variable method and the geometric process， some important indexes were derived， such as the system reliability， availability， rate of occurrence of failures， etc. Finally， a numerical example was given to illustrate our results．

geometrical process; supplementary variable method; reliability; availability; rate of occurrence of failures

2014-09-22

十二五國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013BAK12B0803);黑龍江省教育廳資助項(xiàng)目(12541900)

張權(quán)(1978—)，男， 博士生，講師，E-mail:zhangquan122400@163.com .

O 213； O 211.62

A

1001-0645(2016)02-0197-04

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.02.017