江蘇省海門市能仁中學(xué)　馬　麗

化歸方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

江蘇省海門市能仁中學(xué)馬麗

在解決高中數(shù)學(xué)問題時，可以采用某種方法將問題等價轉(zhuǎn)換為新的簡單化的問題，如函數(shù)y=x6+x3+k，可以等價轉(zhuǎn)換為y=a2+a+k（a=x3），將六次函數(shù)簡化為二次函數(shù)，這就是簡單的化歸的解題方法。通?；瘹w方法解題是將陌生問題熟知化，繁雜問題簡易化，抽象問題直觀化。

一、數(shù)與數(shù)之間的化歸

我們在高中數(shù)學(xué)中常用的換元法就是一種數(shù)與數(shù)之間的化歸。換元法解題的關(guān)鍵在于問題有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征（即方程式、不等式、函數(shù)式等中的代數(shù)式），將相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征適當(dāng)變換為一個新的變量，這樣就能夠?qū)⒃紗栴}化難為易、刪繁就簡，實現(xiàn)問題的化歸。因此，解決這類問題需要培養(yǎng)學(xué)生注意分析問題的相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，對已知函數(shù)中的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，洞察題目中的特殊數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用這些特殊數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行代換。

求證：m1+m2+m3=m1m2m3。

【分析】學(xué)生往往采用求證的等式左邊通分化簡，右邊乘積化簡，然后讓結(jié)果相同而達(dá)到證明。雖然這種計算化簡在理論上是可行的，在實際計算中卻是“工程浩大”。我們可以采用將已知條件進(jìn)行變形，然后通過數(shù)與數(shù)之間的化歸，走出一條捷徑。

故等式成立。

數(shù)與數(shù)之間的化歸最關(guān)鍵的地方在于將陌生問題化歸為熟知，在應(yīng)用我已有的知識或經(jīng)驗將代數(shù)式變形代換，轉(zhuǎn)換為簡易的算式進(jìn)行運算，從而達(dá)到解題的目的。

二、形與形之間的化歸

在幾何中，解決立體幾何問題要有較強(qiáng)的空間感，有靈活的抽象思維能力。而立體幾何問題往往都是依靠平面幾何的定理、定律來解決的。假如我們利用割形、補缺、折疊、鋪展、作輔助線等方法處理幾何圖形，將一個復(fù)雜的立體問題化歸為平面問題，這樣來解決立體幾何的問題就能化繁為易，事半功倍。

例2在下圖中，已知正三棱錐P-ABC中，各條棱的長都是2，E是側(cè)棱PC的中點，有一只蝸牛從A點出發(fā)，走過側(cè)面PAB和側(cè)面PBC到達(dá)E點，求蝸牛走過的最短距離。

【分析】眾所周知，平面上兩點間的距離最短。解決三棱錐中兩點間的側(cè)面上最短距離時可以將圖形鋪展開來（如下圖），這樣，就可以將一個立體幾何問題化歸為一個平面問題。

將立體圖形鋪展開來就是將空間圖形剪開攤平成一個平面圖形，在數(shù)學(xué)中我們求圓錐、圓臺的側(cè)面積都使用過這類方法。但很多數(shù)學(xué)問題并不是這種“圓滑無棱”的空間幾何體，需要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，能使某種在空間圖形中不容易察覺的幾何體元素的數(shù)學(xué)特征在平面圖形中清楚易見。

三、數(shù)與形之間的化歸

數(shù)與形之間的化歸包括“數(shù)”構(gòu)建“形”和“形”凸顯“數(shù)”兩個部分。主要應(yīng)用在函數(shù)與其圖象的關(guān)系、復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義以及解析幾何中曲線與方程的概念等等方面。

1.“數(shù)”構(gòu)建“形”。一些代數(shù)方面的問題通過仔細(xì)觀察分析可發(fā)現(xiàn)它具有某種特定的幾何含義，這種幾何含義就是數(shù)與形之間的新關(guān)系，是將代數(shù)問題化歸為幾何問題的切入點。

例3x、y滿足方程x2+y2-4x=1=0，求的兩個最值。

【分析】首先根據(jù)函數(shù)x2+y2-4x=1=0，構(gòu)建與解析幾何的關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)它就是一個圓的方程，將其化解為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-2）2+y2=3，可以發(fā)現(xiàn)實際上就是圓上的點（x，y）與原點連線的斜率，這樣就可將代數(shù)問題化歸為幾何問題速戰(zhàn)速決。

2.“形”凸顯“數(shù)”。這是一種將幾何問題代數(shù)化，以量化到達(dá)形化，從而使數(shù)學(xué)問題達(dá)到成功解決的方法。這里就不再狗尾續(xù)貂了。

總之，在應(yīng)用化歸方法解決數(shù)學(xué)問題時，沒有什么固定的模式，需要培養(yǎng)學(xué)生具有靈活頭腦和發(fā)散的思維。化歸的實質(zhì)就是等價轉(zhuǎn)化，是對數(shù)學(xué)問題深入分析、對比聯(lián)想等的思維過程。將問題相同或相似的部分用數(shù)學(xué)的手段進(jìn)行等價變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個熟知新問題，這其實是一種成功的秘訣。