趙征宇，蔡遠文，劉高強，姚靜波，王 剛

(1.裝備學(xué)院 研究生管理大隊，北京 101416；2.裝備學(xué)院 航天裝備系，北京 101416)

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基于運動學(xué)方法的小衛(wèi)星串行編隊模型誤差研究

趙征宇1，蔡遠文2，劉高強1，姚靜波2，王 剛1

(1.裝備學(xué)院 研究生管理大隊，北京 101416；2.裝備學(xué)院 航天裝備系，北京 101416)

針對小衛(wèi)星串行編隊構(gòu)型設(shè)計，采用運動學(xué)方法建立串行編隊相對運動數(shù)學(xué)模型。考慮偏心率等于零與不等于零時的兩種情形，分別對所構(gòu)建的運動學(xué)模型進行分析；采用MATLAB對相對運動學(xué)模型中包含的參考衛(wèi)星半長軸與初始平近點角差進行仿真，將運動學(xué)模型計算結(jié)果與精確模型計算結(jié)果進行對比分析，得出初始平近點角差對編隊模型誤差的影響相對更大，為后續(xù)小衛(wèi)星編隊綜合構(gòu)形設(shè)計奠定基礎(chǔ)。

小衛(wèi)星；串行編隊；運動學(xué)方法；距離誤差；誤差比值

0 引言

現(xiàn)代小衛(wèi)星技術(shù)不斷創(chuàng)新發(fā)展，不但有效彌補了傳統(tǒng)大衛(wèi)星的不足，還在衛(wèi)星應(yīng)用方面推陳出新，使得星座與編隊的發(fā)展前景不斷開闊[1]。衛(wèi)星編隊技術(shù)在國外發(fā)展的相對較早，已經(jīng)進入探索應(yīng)用階段，例如“重力和氣候?qū)嶒炐l(wèi)星”(GRACE-1/2)，目的在于獲取高精度和高空間分辨率的靜態(tài)以及時變重力場，于2002年3月17日發(fā)射升空。國內(nèi)大都還處在理論研究階段，也進行了相關(guān)技術(shù)的探索試驗。

基礎(chǔ)編隊構(gòu)形是編隊構(gòu)形中形式簡單，容易理解與實現(xiàn)的構(gòu)形，充分了解掌握基礎(chǔ)構(gòu)形，有利于進行復(fù)雜的編隊構(gòu)形設(shè)計。其中，串行編隊基礎(chǔ)構(gòu)形是編隊基礎(chǔ)構(gòu)形中最簡單的基礎(chǔ)構(gòu)形。下面應(yīng)用運動學(xué)方法對其進行建模分析，與精確模型進行比較，確定軌道根數(shù)對模型誤差的影響[2]。

1 運動學(xué)方法建模

運動學(xué)方法是基于空間幾何關(guān)系利用參考衛(wèi)星與伴隨衛(wèi)星的軌道根數(shù)差或相對軌道根數(shù)在參考衛(wèi)星坐標系中描述相對運動的方法[3]。采用軌道根數(shù)作為描述參數(shù)分析相對運動，能夠在一定程度上克服相對運動的線性化動力學(xué)方程對問題背景的約束，可以在更廣泛的條件下分析相對運動。此外，采用軌道根數(shù)描述相對運動便于編隊構(gòu)形的設(shè)計與控制。

本節(jié)基于相對運動運動學(xué)方法的優(yōu)勢，應(yīng)用運動學(xué)方法進行小衛(wèi)星編隊的相對運動建模。針對衛(wèi)星各參數(shù)，以下標表示參考衛(wèi)星，以下標表示伴隨衛(wèi)星。將兩衛(wèi)星的軌道根數(shù)差分別記為Δa、Δe、Δi、ΔΩ、Δω、ΔM。所有的角度度量以逆時針方向為正[4]。

分別將地心赤道慣性坐標系、參考衛(wèi)星軌道坐標系與伴隨衛(wèi)星軌道坐標系記為坐標系E、C、B。由此，從地心赤道慣性坐標系到參考衛(wèi)星軌道坐標系和伴隨衛(wèi)星軌道坐標系的轉(zhuǎn)移矩陣[5]分別為：

(1)

(2)

式中，Mj(θ)表示繞瞬時坐標軸j(j=1,2,3)旋轉(zhuǎn)角度的初等轉(zhuǎn)移矩陣：

(3)

(4)

在參考衛(wèi)星軌道坐標系中建立相對運動方程，如公式(5)：

(5)

其中：Rc和Rb分別為參考衛(wèi)星和伴隨衛(wèi)星的地心距，采用軌道根數(shù)的形式表示如公式(6)：

(6)

公式(5)是相對運動的運動學(xué)方程，它利用兩顆衛(wèi)星的軌道根數(shù)，在參考星軌道坐標系中描述了伴隨衛(wèi)星的相對運動。如果已知兩顆衛(wèi)星的軌道根數(shù)，則可由該式精確求解伴隨衛(wèi)星相對于參考衛(wèi)星的相對運動軌跡。該方法是基于坐標變換的集合方法，原理通俗易懂，但不足之處在于展開式比較復(fù)雜，不利于開展相對運動的特性分析，需要進一步進行簡化。

若為小量，則有：

(7)

因為Δi、ΔΩ、Δu均為小量，于是有如下線性化表示：

(8)

其中：

(9)

(10)

將公式(8)～(10)代入公式(2)，并略去高階項，可得公式(11)：

(11)

其中：

(12)

將公式(11)帶入公式(5)，可得公式(13)：

(13)

2 串行編隊構(gòu)形建模

串行編隊是編隊構(gòu)形中最基礎(chǔ)的編隊構(gòu)形，其特點是兩顆小衛(wèi)星在同一軌道上，相距需求的距離，一前一后串行飛行。其軌道根數(shù)如下要求：除平近點角不同之外，其余5個軌道根數(shù)完全相同。

下面針對串行編隊相對運動運動學(xué)模型誤差，分為兩種情況分別進行仿真分析。

2.1 偏心率為零時的串行編隊構(gòu)形

依據(jù)運動學(xué)方法建?？芍?/p>

(14)

由于參考星與伴隨星的軌道偏心率都為零，可得公式(15)與公式(16)：

(15)

(16)

則相對運動運動學(xué)方法所建立的串行編隊構(gòu)形模型如公式(17)：

(17)

當參考軌道為圓軌道時，參考星與伴隨星之間的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 參考星與伴隨星幾何關(guān)系圖

圖中

oA

與

OB

垂直；∠

oOB

與∠

AoC

相等，都等于

β

；

oA

為參考星與伴隨星之間的距離

r

。所以，

ΔM

=∠

oOA

，由圖1可知：

(18)

(19)

(20)

當參考軌道的半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點赤經(jīng)、近地點幅角都確定的情況下，通過改變初始平近點角來改變兩星之間的相對距離，并分析運動學(xué)方法所建立模型的誤差。

當半長軸固定為7 000 km時，改變兩星初始平近點角差，應(yīng)用運動學(xué)模型計算得到相對距離與各軸方向的分量，通過與精確幾何模型計算所得的結(jié)果進行對比分析其誤差。其中精確幾何模型計算所得數(shù)據(jù)以下標1表示，運動學(xué)模型計算所得數(shù)據(jù)以下標2表示。表1是運動學(xué)模型相對距離的誤差變化情況表。

表1 運動學(xué)模型相對距離的誤差變化表

由表1可知，隨著初始平近點角差的增加，運動學(xué)模型計算所得的相對距離與精確相對距離之間的誤差逐漸增加，距離誤差相對于精確相對距離的比值也逐漸變大；同時可以得出，模型誤差相對于半長軸可忽略不計，相對于相對距離量級保持在10-4以上，可以進行簡化處理。表2是運動學(xué)模型x軸向距離誤差隨初始平近點角差變化情況表。

表2 運動學(xué)模型x軸向距離的誤差變化表

由表2可知，隨著初始平近點角差的增加，運動學(xué)模型計算所得的x軸向距離與精確x軸向距離之間的誤差也在增加，距離誤差相對于精確相對距離的比值也在變大。初始平近點角差小于1.047708851°時，模型x軸向距離誤差相對于精確相對距離比值保持在10-3以上；初始平近點角差在2.095505297°與8.389045462°之間時，模型x軸向距離誤差相對于精確距離的比值保持在10-2量級上。表3是運動學(xué)模型y軸向距離誤差隨初始平近點角差變化情況表。

表3 運動學(xué)模型y軸向距離的誤差變化表

由表3可知，隨著初始平近點角差的增加，運動學(xué)模型計算所得的y軸向距離與精確y軸向距離之間的誤差也在增加，距離誤差相對于精確相對距離的比值也在變大；同時可以得出模型誤差相對于半長軸為小量可以忽略不計，相對于相對距離來說也是小量，量級保持在10-3，可以進行簡化處理。

綜合對比分析可知：

1)在同一條件下，運動學(xué)模型計算所得的相對距離誤差在數(shù)值與比值都是最小的，y軸向次之，x軸向最大，由此可以看出在運動學(xué)模型公式推導(dǎo)過程中x軸向簡化的相對較多，導(dǎo)致模型在x軸向模型誤差相較于相對距離與y軸向都大。

2)基于串行編隊構(gòu)形特點，三軸向距離在相對距離中所占的比重不同，其中y軸向距離數(shù)值最大，所占比重最大，對于相對距離的影響最大，所以相對距離的誤差與y軸向的誤差最接近。

3)在初始平近點角差逐漸增大的前提下，保持半長軸不變，運動學(xué)模型計算所得的相對距離、x軸向距離與y軸向距離的誤差都在增加，運動學(xué)模型在相對距離與y軸向距離誤差更小，在x軸向距離誤差相對于前兩者較大；相對于半長軸來說，模型誤差都可以忽略，但相對于相對距離來說，x軸向需要進行適當考慮，以減少模型誤差。

上面對初始平近點角差進行了分析，下面對半長軸進行計算分析。保持初始平近點角差不變，改變半長軸，觀測模型相對距離、x軸向與y軸向的距離誤差變化情況。保持初始平近點角差，則模型的相對距離、x軸向距離與y軸向距離誤差隨半長軸變化情況如表4～表6所示。

表4 運動學(xué)模型相對距離的誤差變化表

表5 運動學(xué)模型x軸向距離的誤差變化表

表6 運動學(xué)模型y軸向距離的誤差變化表

由表中數(shù)據(jù)可知，當初始平近點角差保持不變，半長軸逐步增加時，運動學(xué)模型計算所得相對距離、x軸向距離與y軸向距離誤差逐漸增加，但其相對于精確相對距離之間的比值基本保持穩(wěn)定，在相同量級上存在微小差別。

綜上分析可知，半長軸的變化對運動學(xué)模型計算所得的相對距離與各軸向距離的誤差影響基本保持不變；相對于初始平近點角差變化對模型距離誤差的影響小。所以，在進行串行編隊構(gòu)形設(shè)計時，需要充分考慮初始平近點角差，以減少模型誤差對于編隊構(gòu)形的設(shè)計中帶來的誤差。

2.2 偏心率不為零時的串行編隊構(gòu)形

當參考星軌道偏心率為一階小量并略去二階及以上小量時，有：

E≈M+esinM

(21)

f≈M+2esinM

(22)

則相對運動運動學(xué)方法所建立的串行編隊基礎(chǔ)構(gòu)形模型如下：

(23)

其中：

(24)

(25)

取半長軸為7 000 km，偏心率為0.001，使初始平近點角差從0.008185111366°變化到8.389045462°，應(yīng)用MATLAB進行仿真，來分析x軸向、y軸向、z軸向與相對距離的誤差變化情況。

首先，對x軸向距離誤差進行仿真。x軸向距離誤差數(shù)值變化情況如圖2所示，圖中a、b、c、d分別表示選擇ΔM=0.008185111366°、0.06548089444°、0.5238489515°、8.389045462°時，x軸向距離誤差的變化情況。

圖2 x軸向距離誤差隨時間t變化

由圖2可知，x軸向距離誤差隨著初始平近點角差的增加逐漸增加，量級從10-5增加到10-1。而其距離誤差相對于精確模型中的相對距離的比值如圖3所示。

圖3 x軸向距離誤差與精確相對距離比值隨時間t變化

由圖3可知，

x

軸向距離誤差與精確相對距離的比值隨著初始平近點角差的增加而增加，比值的量級沒有數(shù)值的量級變化那么大，比值量級從10

-5

變化到10

-2

。

其次，對y軸向進行仿真，y軸向距離誤差變化情況如圖4所示。

圖4 y軸向距離誤差隨時間t變化

由圖4可知，y軸向距離誤差隨著初始平近點角差的增加逐漸增加，量級從10-3增加到100。相較于x軸向距離誤差來說，變化幅度沒有x軸向大。而其距離誤差相對于精確模型中的相對距離的比值如圖5所示。

圖5 y軸向距離誤差與精確相對距離比值隨時間t變化

由圖5可知，

y

軸向距離誤差與精確相對距離的比值沒有隨著初始平近點角差的增加而增加，比值的量級基本保持不變，在10的負3次量級上。說明

y

軸向的距離誤差相較于相對距離來說是一個小量。對比

x

軸向可知，

y

軸向誤差比值相對于

x

軸向誤差比值變化小。

由仿真可知，運動學(xué)模型與精確模型的z軸向距離計算都為零，不存在誤差。

綜合對比3個軸向可知：

1)x軸向距離誤差在數(shù)值與比值上的變化幅度最大；

2)y軸向距離誤差在數(shù)值上有明顯變化，但其比值保持在同一量級上；

3)而z軸向沒有距離，不存在距離誤差。

因此，初始平近點角的差異對x軸向的影響最大。

最后，對相對距離進行仿真，相對距離誤差數(shù)值變化情況如圖6所示。

圖6 相對距離誤差隨時間t變化

由圖6可知，相對距離誤差隨著初始平近點角的增加逐漸增加，量級從10的負3次增加到10的0次。而其距離誤差相對于精確模型中的相對距離的比值如圖7所示。

圖7 相對距離誤差與精確相對距離比值隨時間t變化

由圖7可知，在(a)～(c)之間，相對距離誤差與精確相對距離的比值沒有隨著初始平近點角差的增加而增加，比值的量級基本保持不變，在10的負3次量級上。而在(d)中，比值有所增加，但量級基本保持不變。說明相對距離誤差相較于相對距離來說是一個小量。

綜合對比3個軸向與相對距離誤差的仿真分析圖可以發(fā)現(xiàn)，相對距離與y軸向的距離誤差變化比較接近。分析運動學(xué)模型式也可以得出相同的結(jié)論，y軸向距離數(shù)值遠大于x軸向距離數(shù)值，在計算相對距離時y軸向距離所占的比重遠大于x軸向距離。由此可知，相對距離誤差隨初始平近點角變化的趨勢與y軸向變化基本一致。同時x軸向受初始平近點角差的影響較大，誤差變化幅度較大，在進行構(gòu)形設(shè)計時，需要充分考慮x軸向誤差對構(gòu)形功能的影響，適當選取初始平近點角差，以減少誤差。

3 結(jié)論

在現(xiàn)代小衛(wèi)星蓬勃發(fā)展的背景下，編隊應(yīng)用模式的研究不斷深入。運用運動學(xué)方法對串行基礎(chǔ)編隊構(gòu)形進行建模仿真，通過與精確模型的對比分析，得出：

1)在低軌串行編隊中，初始平近點角差不同造成的模型誤差比半長軸不同造成的模型誤差來的大。在編隊設(shè)計時，相較于半長軸，需要更加注意初始平近點角的選擇，以減少模型誤差；

2)初始平近點角差在模型3個軸向中的影響不同，對于x軸向的影響最大，y軸向次之，z軸向由于編隊特性，沒有造成影響。在進行設(shè)計時，更需要注意對x軸向誤差的控制，使之符合要求；

3)由模型式與仿真分析圖可知，y軸向距離在3個軸向中所占的最大，相對距離的變化情況與y軸向的變化情況更加接近。

[1] 聞 新,馬文弟, 周 露. 小衛(wèi)星編隊飛行的應(yīng)用模式分析及展望[J]. 中國航天, 2005(8):40-43.

[2] 肖玉婷, 朱立東. 一種衛(wèi)星編隊構(gòu)形設(shè)計方法[J]. 計算機仿真, 2013, 31(2):126-130.

[3] 馮永新, 武金花. 基于STK的小衛(wèi)星編隊飛行仿真[J]. 火力與指揮控制, 2011, 36(3):67-70.

[4] 曹喜濱, 張錦繡, 王 峰, 等. 航天器編隊動力學(xué)與控制[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2013.

[5] 孟云鶴. 航天器編隊飛行導(dǎo)論[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2014.

Research on Model Error of Small Satellite Serial Formation Based on Kinematic Method

Zhao Zhengyu1，Cai Yuanwen2，Liu Gaoqiang1，Yao Jingbo2，Wang Gang1

(1.Department of Graduate Management, Equipment Academy，Beijing 101416，China;2.Department of Space Equipment, Equipment Academy，Beijing 101416，China)

In aiming to design the configuration of small satellite serial formation, the relative motion model is built based on kinematic method. Considering the two cases that eccentricity is equal to zero and not, two kinematic models were analysed respectively. The semimajor axis and initial mean anomaly difference of

atellite in relative motion model are simulated based on Matlab software, and the calculation results of kinematic model and accurate model are compared.The result show that the initial mean anomaly difference has larger influence on the model error of the formation, which is useful for the subsequent comprehensive configuration design of small satellite formation.

small satellite; serial formation; kinematic method; range error; error ratio

2016-01-06；

2016-01-27。

趙征宇(1990-)，男，浙江金華人，碩士研究生，主要從事衛(wèi)星編隊技術(shù)方向的研究。

蔡遠文(1967-)，男，四川彭州人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事飛行器測試發(fā)射控制技術(shù)、計算機仿真技術(shù)方向的研究。

1671-4598(2016)06-0244-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.06.067

V412.41

A