馮晶晶，樊亞云，邢瑞芳

(西安培華學(xué)院 通識(shí)教育中心，西安 710125)

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二叉樹(shù)從二期模型到n期模型的擴(kuò)展

馮晶晶，樊亞云，邢瑞芳

(西安培華學(xué)院 通識(shí)教育中心，西安 710125)

介紹期權(quán)定價(jià)的離散模型—二叉樹(shù)模型。通過(guò)討論期權(quán)定價(jià)的一期模型，得到一期模型的期權(quán)定價(jià)公式及其性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，討論了期權(quán)定價(jià)的二期模型,最后由期權(quán)定價(jià)的二期模型推廣到n期二叉樹(shù)模型。

期權(quán)；二叉樹(shù)模型；一期模型；二期模型；n期模型

金融數(shù)學(xué)[1-2]是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際操作中的金融問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模[3]、數(shù)據(jù)分析[4]、數(shù)值計(jì)算[5]等定量分析，以找到金融學(xué)的內(nèi)在規(guī)律并指導(dǎo)實(shí)踐。數(shù)學(xué)模型對(duì)金融市場(chǎng)中的交易者起非常大的作用，證券組合投資模型和金融衍生工具定價(jià)模型的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于金融市場(chǎng)研究的標(biāo)志，資本資產(chǎn)定價(jià)模型是由此發(fā)展起來(lái)的具有重大應(yīng)用價(jià)值的金融數(shù)學(xué)模型[6]。期權(quán)[7]是主要的金融衍生產(chǎn)品，是金融工程的主要工具，也是構(gòu)成金融工程其他金融衍生品的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[8]討論了期權(quán)價(jià)格及其定價(jià)模型。本文討論了期權(quán)定價(jià)的離散型模型—二叉樹(shù)模型。但由于期權(quán)定價(jià)的一期模型過(guò)于簡(jiǎn)化，只包括一支隨機(jī)變化的股票和一種現(xiàn)金債券，并且在單個(gè)時(shí)間段末股價(jià)變化只有2種可能值，并且金融市場(chǎng)又是十分復(fù)雜的，所以本文討論期權(quán)定價(jià)的n期二叉樹(shù)模型，以適用于更復(fù)雜的金融市場(chǎng)。

1　預(yù)備知識(shí)

二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型：設(shè)資本市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)的，且不存在交易費(fèi)用、稅收，不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，股票和期權(quán)是無(wú)限可分的，那么股票在下一期的價(jià)格僅有2種可能，如圖1所示，其中，ru>1+r>d>0，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

圖1　股票下一期的價(jià)格

假設(shè)以該股票為標(biāo)的看漲期權(quán)的價(jià)格為C，執(zhí)行價(jià)格為X，則看漲期權(quán)的價(jià)值變化如圖2所示。

圖2　看漲期權(quán)的價(jià)值變化

為解決期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，需構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值的證券組合：購(gòu)買(mǎi)一份股票，賣(mài)掉m份期權(quán)，如圖3所示。

圖3　一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值的證券組合

因證券組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合，故有(1+r)(S-mC)=uS-mCu，所以

(1)

將m代入式(1)得

(2)

令

2　二期模型到n期模型的擴(kuò)展

為了得到n期期權(quán)價(jià)格公式，首先討論二期模型。設(shè)二期模型的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率也為r，且每期復(fù)利一次，股票的初始價(jià)格為S，在二期末到期的看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)為X，如圖4所示。以該股票為標(biāo)的二期看漲期權(quán)的價(jià)值如圖5所示。則

圖4　二期模型

圖5　二期看漲期權(quán)的價(jià)值

類(lèi)似于期權(quán)定價(jià)一期模型，為了得到期權(quán)的價(jià)格，需要構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值證券組合，從而有

(3)

將Cu，Cd代入式(3)得

(4)

可以看出：式(4)是由兩次應(yīng)用一期模型定價(jià)公式得到的，分子是(pCu+(1-p)Cd)2的二項(xiàng)式，且CuCu，CuCd，CdCu，CdCd分別用Cuu，Cud，Cdd代替，則有

設(shè)股票的初始價(jià)格為S，期限為n期，其變化規(guī)律與期權(quán)定價(jià)的二期模型相同，其他參數(shù)不變。股票價(jià)格的n次波動(dòng)相當(dāng)于試驗(yàn)次數(shù)為n的二項(xiàng)試驗(yàn)，則n期歐式看漲期權(quán)取值的分布如表1所示，所以

(5)

(6)

表1　n期歐式看漲期權(quán)取值的分布

在n期模型中，股票價(jià)格上漲的次數(shù)ξn≥a與下降次數(shù)ξn

因此，歐式看漲期權(quán)二項(xiàng)式定價(jià)模型可化為

3　結(jié)束語(yǔ)

期權(quán)定價(jià)模型從一期模型推廣到n期二叉樹(shù)模型，看漲期權(quán)的價(jià)格隨股票價(jià)格的上漲而上漲。當(dāng)執(zhí)行價(jià)格升高時(shí)，看漲期權(quán)價(jià)格隨之下降。當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，影響執(zhí)行價(jià)格的折現(xiàn)值，從而使看漲期權(quán)的價(jià)格上漲。期權(quán)到期期限n也使得看漲期權(quán)價(jià)格上漲，同時(shí)二項(xiàng)分布的方差也影響看漲期權(quán)的價(jià)值。

[1]斯塔夫里.金融數(shù)學(xué)[M].蔡明超，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004:1-18.

[2]王小群．金融數(shù)學(xué)介紹[J].系統(tǒng)工程，1999(6)：111-114．

[3]陳光亭，裘哲勇．?dāng)?shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，2010:34-105.

[4]蔡瑞胸．金融數(shù)據(jù)分析導(dǎo)論[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013:1-72．

[5]魏毅強(qiáng)，張建國(guó)，張洪斌，等.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：科學(xué)出版社，2004:112-177．

[6]夏玉森，汪壽陽(yáng)，鄧小鐵.金融數(shù)學(xué)模型[J].中國(guó)管理科學(xué)，1998,6(1)：1-9.

[7]郁洪良.金融期權(quán)與實(shí)物期權(quán)[M].上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2003:8-43.

[8]王樂(lè)毅，朱偉，劉偉.期權(quán)價(jià)格及定價(jià)模型分析[J].貴州工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006,8(2)：46-48.

[9]趙彥輝．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].西安：西北大學(xué)出版社，2014：32-38．

(責(zé)任編輯劉舸)

Extension of Binomial Model from Two-Period Model ton-Period Model

FENG Jing-jing, FAN Ya-yun, XING Rui-fang

(Center of General Education, Xi’an Peihua University, Xi’an 710125, China)

A discrete model of option pricing, which is a Binomial model, was introduced. One-period model of option pricing was discussed, and the option pricing formula and its properties of the one-period model were given. On the basis of it, the two-period model of option pricing were discussed. Finally, the two-period model of option pricing was extended ton-period model.

option; binomial model; one-period model; two-period model;n-period model

2016-05-18

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2007A12)；陜西省教育廳專(zhuān)項(xiàng)科學(xué)研究資助項(xiàng)目(2015JK2093)；西安培華學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目“多因子遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)模型”(PHKT16028)

馮晶晶(1984—)，女，陜西韓城人，碩士，講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究，E-mail:fengjingjing0105@163.com。

format：FENG Jing-jing, FAN Ya-yun, XING Rui-fang.Extension of Binomial Model from Two-Period Model ton-Period Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(10):181-184.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.10.029

O29; F224

A

1674-8425(2016)10-0181-04

引用格式：馮晶晶，樊亞云，邢瑞芳.二叉樹(shù)從二期模型到n期模型的擴(kuò)展[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(10):181-184.