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        基于粒子群的混合智能優(yōu)化算法收斂性分析

        2016-11-17 02:21:38武警工程大學(xué)高見文葛衛(wèi)麗
        電子世界 2016年20期
        關(guān)鍵詞:收斂性搜索算法子集

        武警工程大學(xué) 高見文 葛衛(wèi)麗

        武警杭州士官學(xué)校 郭 程

        基于粒子群的混合智能優(yōu)化算法收斂性分析

        武警工程大學(xué) 高見文 葛衛(wèi)麗

        武警杭州士官學(xué)校 郭 程

        本文針對(duì)粒子群算法(PSO)存在的不能以概率1全局收斂以及易陷入早熟收斂等問題,提出將PSO算法和遺傳算法(GA)相結(jié)合的混合算法,采用并聯(lián)模式實(shí)現(xiàn)了兩種算法的協(xié)同進(jìn)化,并證明了算法能夠以概率1全局收斂。

        粒子群算法;遺傳算法;混合算法

        1.引言

        PSO算法是一種得到廣泛應(yīng)用的智能優(yōu)化算法,因其算法簡(jiǎn)單、收斂性快等優(yōu)點(diǎn),在復(fù)雜優(yōu)化問題、人工智能以及聚類分析等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。但是PSO算法也存在著易陷入早熟收斂、不能以概率1全局收斂的問題[1]。而采用最優(yōu)保留策略的遺傳算法雖然存在著收斂速度慢等問題,但是其具有全局收斂性,能夠以概率1全局收斂。因此將兩種算法結(jié)合起來組成混合算法,能夠有效利用兩者的優(yōu)點(diǎn),優(yōu)勢(shì)互補(bǔ),彌補(bǔ)不足。

        2.PSO算法和GA算法的混合模式

        PSO算法和GA算法的混合算法流程圖如下:

        圖1 混合算法流程圖

        在初始化后,PSO算法和遺傳算法并行進(jìn)化,并將各自最優(yōu)解存儲(chǔ)于全局最有數(shù)據(jù)庫(kù),當(dāng)滿足結(jié)束條件時(shí),算法終止,在種群全局最優(yōu)數(shù)據(jù)庫(kù)中選取全局最優(yōu)粒子輸出。

        3.混合算法收斂性分析

        Solis和Wets[2]給出了一般隨機(jī)搜索算法收斂性判定準(zhǔn)則及相關(guān)定理,一般最優(yōu)化問題可記為〈A,f〉,對(duì)于隨機(jī)搜索算法D,其第k次尋優(yōu)結(jié)果為Xk,下一次迭代尋優(yōu)結(jié)果為Xk+1=D(Xk,ζk)。其中,A為Rn上某個(gè)子集的σ-域,f為適應(yīng)度函數(shù),ζk為算法D尋優(yōu)過程中找到的解。

        準(zhǔn)則1:算法D滿足f(D(x,ζ))≤f(x),若ζ∈A,則f(D(x,ζ))≤f(ζ)。

        準(zhǔn)則1要求隨機(jī)搜索算法D是廣義單調(diào)非遞增的,從而保證適應(yīng)度值f(x)是非遞增的。

        準(zhǔn)則2:對(duì)于A的任意Borel子集P,若滿足v(P)〉0,則有:

        其中,μk(P)為算法D在第k次迭代中搜索到的解在集合P上的概率測(cè)度。準(zhǔn)則2說明,只要是可行解空間A中概率測(cè)度大于零的子集P,算法D連續(xù)無窮次搜索不到集合P中解的概率為0。

        引理:若函數(shù)f可測(cè),可測(cè)空間A是Rn上可測(cè)子集,且算法D滿足條件1和條件2,是算法D產(chǎn)生的解序列,則:

        其中,P(xk∈Rε,M)是算法D第k步搜索到的解xk在最優(yōu)區(qū)域Rε,M中的概率測(cè)度。

        文獻(xiàn)[1]指出PSO算法不能以概率1收斂于全局最優(yōu)解,利用K-means算法原理計(jì)算適應(yīng)度的過程不影響混合算法的收斂性,文獻(xiàn)[3]證明種群初始化不會(huì)直接影響算法收斂性,因此證明混合算法的全局收斂性,僅需證明PSO算法和云遺傳算法的協(xié)同過程的全局收斂性。

        文獻(xiàn)[4]應(yīng)用齊次有限馬爾科夫鏈分析并證明了保留最優(yōu)個(gè)體的遺傳算法以概率1全局收斂。

        定理:設(shè)混合算法優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)f是一個(gè)可測(cè)函數(shù),其解空間S為Rn上可測(cè)子集,并且混合算法滿足隨機(jī)搜索算法全局收斂的準(zhǔn)則1和準(zhǔn)則2,設(shè)是混合算法所產(chǎn)生的解序列,則:

        其中,P(xk∈Rε,M)是混合算法第k步搜索到的解xk在最優(yōu)區(qū)域Rε,M中的概率測(cè)度。

        證明:

        依據(jù)混合算法協(xié)同部分的流程,迭代函數(shù)F可定義為:

        因?yàn)榛旌纤惴ɡ萌肿顑?yōu)數(shù)據(jù)庫(kù)保留種群最優(yōu)解,即采用適應(yīng)度值非遞增的精英保留策略,可知算法滿足準(zhǔn)則1。

        如果混合算法滿足準(zhǔn)則件2,則規(guī)模為n的混合種群樣本采樣空間的并集一定包含目標(biāo)函數(shù)f的解向量空間S,即:

        其中,Mi,k為第k次迭代種群中粒子i的樣本空間支撐,即概率測(cè)度為1的最小閉子集。

        令Yk為遺傳算法在第k次迭代時(shí)搜索到的解。因?yàn)閱为?dú)執(zhí)行云遺傳算法得到的解序列{Yk}以概率l全局收斂于最優(yōu)區(qū)域Rε,M。因此,在混合算法中,對(duì)于有限個(gè)滿足f(Yk)〉f(Pg,k)的解Yk,可令其下一狀態(tài)為Pg,k,并將其存儲(chǔ)于全局最優(yōu)數(shù)據(jù)庫(kù)中,而且該機(jī)制對(duì)云遺傳算法全局收斂性沒有影響,即在混合算法中恒有公式(6)成立,也就是說,當(dāng)f(Yk)〈f(Pg,k)時(shí),存在一個(gè)粒子i0,其支撐集Mi0,k=S。

        而對(duì)于其它粒子i,

        其中,0≤φ1≤c1,0≤φ2≤c2,可知Mi,k為一個(gè)頂點(diǎn)為(φ1,φ2)=(0,0),另一個(gè)頂(φ1,φ2)=(c1,c2)的超矩形。

        當(dāng)max{c1|Pi-X(t-1)|,c2|Pg-X(t-1)|}〈0.5diameterj(S)時(shí),有:v(Mi,k∩S)〈v(S),其中,diameterj(S)表示解向量空間S在第j維分量的長(zhǎng)度。因xi收斂到平衡點(diǎn)(φ1Pi+φ2Pg)/(φ1+φ2),所以Mi,k長(zhǎng)度趨于0。隨著迭代次數(shù)k增加,逐漸減少,從而存在整數(shù)k1,當(dāng)k〉k1時(shí),,但是因?yàn)橛兄渭疢i0,k=S,所以。令S的Borel子集A=Mi,k,則v(A)〉0,且(18)式成立,從而混合算法滿足準(zhǔn)則2。

        綜上所述,混合算法的PSO算法和遺傳算法的協(xié)同部分,滿足隨機(jī)搜索算法全局收斂的判定準(zhǔn)則1和判定準(zhǔn)則2。因此混合算法的搜索序列以概率1收斂于全局最優(yōu)解,即混合算法具有全局收斂性。

        4.結(jié)論

        本文首先對(duì)PSO算法和GA算法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了介紹,在此基礎(chǔ)上介紹了二者混合協(xié)同進(jìn)化的模型,并對(duì)混合算法的收斂性進(jìn)行了分析,證明了混合算法能夠以概率1收斂到全局最優(yōu)解。

        [1]張慧斌,王鴻斌,胡志軍.PSO算法全局收斂性分析[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2011,47(34):61-63.

        [2]Solis F,Wets R.Minimization by Random Search Techniques[J].Mathematics of Operations Research,1981(6):19-30.

        [3]梁旭,黃明,寧濤,等.現(xiàn)代智能優(yōu)化混合算法及其應(yīng)用[M].北京:電子工業(yè)出版社,2014:70-72.

        [4]惲為民,席裕庚.遺傳算法的全局收斂性和計(jì)算效率分析[J].控制理論與應(yīng)用,1996,13(4):455-459.

        高見文(1991—),山東臨沂人,碩士研究生,現(xiàn)就讀于武警工程大學(xué)。

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