安徽省淮南市第二中學(xué) 孫浩屹

淺析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中選取坐標(biāo)系應(yīng)遵循的原則

安徽省淮南市第二中學(xué) 孫浩屹

曲線與方程是在軌跡概念和直線方程概念之后的解析幾何的基本概念，在充分討論曲線方程概念后，了解了坐標(biāo)法和解析幾何的思想，以及解析幾何的基本問題。即由曲線的已知條件，求曲線方程；通過曲線方程還可以研究曲線性質(zhì)。曲線方程的概念和求曲線方程的問題有著內(nèi)在的邏輯順序。前者回答什么是曲線方程，后者解決如何求出曲線方程。曲線與方程都是建立在一定的平面直角坐標(biāo)系中的，因此，如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，對建立方程和了解曲線至關(guān)重要。

曲線與方程；平面直角坐標(biāo)系；基本原則

給出曲線的幾何條件，如何建立與之相對應(yīng)的方程，這是平面解析幾何所研究的基本內(nèi)容之一。平面直角坐標(biāo)系，是建立曲線與方程對應(yīng)的橋梁。因此，坐標(biāo)系的選取恰當(dāng)與否將直接影響方程的建立、推導(dǎo)、簡化的全過程。

如：求過一定點(diǎn)且和定圓相切的動圓圓心的軌跡。

本題中，就定點(diǎn)位置而言，有在定圓內(nèi)或定圓外兩種可能。這里，就定點(diǎn)在定圓外，對坐標(biāo)系的選取分三種情形，列式加以比較。

一、以定點(diǎn)和定圓圓心連線為x軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，過原點(diǎn)與x軸垂直的直線為y軸建立坐標(biāo)系，如圖1。

圖1

二、以定圓圓心和定點(diǎn)連線為x軸，定圓為原點(diǎn)，過原點(diǎn)作與x軸垂直的直線為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖2。

圖2

三、以定圓圓心為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，如圖3。

圖3

顯然，方程（3）太煩瑣。這就是由于坐標(biāo)系的選取不恰當(dāng)而造成的。

如何恰當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系呢？一般說可以遵循以下基本原則：

1.選取圖上的一點(diǎn)為原點(diǎn)。這樣可以使這點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)都為零。

2.選取圖形上的一直線為x軸或y軸，這樣可使直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)為零。

3.如圖形中有兩條直線互相垂直，就選它們?yōu)閤軸、y軸，這樣可使一直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零，另一直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零。

4.如圖形是三角形，又涉及點(diǎn)到三邊的距離，往往把坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在三角形內(nèi)，這樣便于絕對值的處理。

5.如圖形有兩個不等的圓，可選取一圓心為原點(diǎn)，把另一圓心放在x軸或y軸上，這樣可簡化圓的方程，也便于運(yùn)算。

總之，在已知曲線求方程時，為了簡單易行，且建立起來的相應(yīng)方程又最簡，必須根據(jù)所給曲線的幾何條件，通過認(rèn)真分析，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。

［1］魏萬青.高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案［M］，蘭州：甘肅教育出版社，2014.

［2］張紹春，趙莉紅.專題點(diǎn)擊·高中數(shù)學(xué)·平面解析幾何［M］，長春：東北師范大學(xué)出版社，2003.