江蘇省金湖縣第二中學(xué) 王吉明

培養(yǎng)逆向思維，提升學(xué)生能力

江蘇省金湖縣第二中學(xué) 王吉明

逆向思維顧名思義，與正向思維相反的思維過(guò)程，就是按研究問(wèn)題的反方向思考的一種方式。在解題中從問(wèn)題的正面思考時(shí)往往會(huì)陷入困境，此時(shí)若從問(wèn)題的反面思考則會(huì)絕處逢生，使問(wèn)題迎刃而解。逆向思維是克服了正向思維的心理定勢(shì)，突破舊有思維框架，產(chǎn)生新思維，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、新解法的重要思維方式。而很多數(shù)學(xué)知識(shí)都具有可逆結(jié)構(gòu)，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，不僅可以加強(qiáng)對(duì)原有知識(shí)的理解，而且還可對(duì)知識(shí)從不同的角度、不同的層次和不同的側(cè)面去探索，從而使問(wèn)題解決，既而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

一、利用數(shù)學(xué)定義、公式、定理的逆向表達(dá)能力，在解題過(guò)程中注意逆向思維能力的訓(xùn)練

1.利用定義的可逆性

數(shù)學(xué)中的定義是通過(guò)揭示其本質(zhì)而來(lái)的，定義都是充要條件，均為可逆的。所以，其命逆題也是成立的。因此，定義即是某一個(gè)數(shù)學(xué)概念的判定方法，也是這一概念的性質(zhì)。在教學(xué)中應(yīng)充分利用這一特征，尤為注意定義的逆用解決問(wèn)題。

例1

故a的取值范圍是0＜a＜1.

本題逆用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性定義，不僅“吸收”了-f（1-a2）前的“-”號(hào)，“剝?nèi)ァ绷薴（1-a）＞f（a2-1）的”殼”，而且更能使學(xué)生深刻理解奇函數(shù)，減函數(shù)概念的意義。

2.利用公式的可逆性

數(shù)學(xué)公式本身是雙向的，由左至右和由右至左同等重要，但習(xí)慣上講究由左至右或化繁為簡(jiǎn)的順序。為了防止學(xué)生只能單向運(yùn)用公式，教師應(yīng)通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)、公式的形成過(guò)程與公式的形式進(jìn)行對(duì)比，探索公式能否逆向運(yùn)用，從而培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力和逆用公式，鼓勵(lì)他們別出心裁地去解決問(wèn)題，在“活”字上下工夫。

例2

已知10m=2，10n=3。求（1）103m-2n（2）102m+n的值。

3.利用定理的可逆性

每個(gè)定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，引導(dǎo)學(xué)生探求定理的逆命題的真假性，不僅使學(xué)生學(xué)到的知識(shí)更完美，激發(fā)學(xué)生去鉆研新知識(shí)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性能力，把定理題設(shè)和結(jié)論在一定條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)換，而形成有異于原命題基本思想的新題型。例如：公差不為0的等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和是 n的二次函數(shù)，想一想它的逆命題成不成立。即如果數(shù)列｛an｝中，Sn=an2+bn+c（a≠0），這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？由此得到一個(gè)重要結(jié)果：若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c（a≠0），則數(shù)列成等差且公差不為0的充要條件為c=0。

例4

根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形。

本題利用勾股定理的逆定理，證明了△ABC是直角三角形。

二、在解題中注意逆向思維能力的訓(xùn)練

我們知道，解數(shù)學(xué)題最重要的是尋求解題思路，這就需要我們解題之前，綜合運(yùn)用分析，或先順推，后逆推；或者先逆推，后順推；或者邊順推邊逆推，以求在某個(gè)環(huán)節(jié)達(dá)到統(tǒng)一，從而找到解題途徑。由此可見(jiàn)，探求解題思路的過(guò)程也存在著思維的可逆性，它們相輔相成，互相補(bǔ)充，以達(dá)到此路不通彼路通的效果。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的逆運(yùn)算、否命題、反證法、分析法、充要條件等都涉及思維的逆向性。在數(shù)學(xué)解題中，通常是從已知到結(jié)論的思維方式，然而有些數(shù)學(xué)總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運(yùn)算量，有時(shí)甚至無(wú)法解決，在這種情況下，只要我們多注意定理、公式、規(guī)律性例題的逆用，正難則反，往往可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。

1.分析法解題體現(xiàn)逆向思維

例5

設(shè)a，b，c為任意三角形的三邊邊長(zhǎng)，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，求證：3S≤I2＜4S.

證明：

由于I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S，

故欲證3S≤I2＜4S，只需3S≤a2+b2+c2+2S＜4S，只需證S≤a2+b2+c2＜2S，

即ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

只需證a2+b2+c2≥ab+bc+ca且a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

先看a2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需證2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+-2ca，

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，顯然，此式成立.

再看a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

只需證a2-ab-ac+b2-ab-bc-ca＜0，

只需證a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a＜0）；

只需證a＜b+c且b＜c+a，由于a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng).顯然，結(jié)論成立，故3S≤I2＜4S.

本題從表面上看不易“征服”，但通過(guò)分析法將結(jié)論逐步轉(zhuǎn)化，由看上去很難“接受”的3S≤I2＜4S，轉(zhuǎn)化為較為熟悉的ab+bc+-ca≤a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，顯然，這比原題的結(jié)論看上去要“舒服”多了，當(dāng)然，求解也就順暢了很多。

2.正難則反解題體現(xiàn)逆向思維

例6

已知三個(gè)x的方程，x2-4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0、x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍。

分析：如果直接從題設(shè)入手，需討論任一個(gè)、任二個(gè)方程有解和三個(gè)方程同時(shí)有實(shí)解的情況，共有種情況，顯然這種做法運(yùn)算量大，影響解題速度，若從反面入手，先考慮三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根時(shí)a的取值范圍。

Δ1=（-4a）2-4（-4a+3）＜0

Δ2=（a-1）2-4a2＜0

Δ3=（2a）2-4（-2a）＜0

再根據(jù)補(bǔ)集的思想，就得到原題中a的取值范圍為：

3.反證法體現(xiàn)逆向思維

例7

4.舉反例解題體現(xiàn)逆向思維

反例在數(shù)學(xué)發(fā)展中和證明一樣占著同樣重要的地位，這是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)問(wèn)題的探究中，猜想的結(jié)論未必正確，正確的要求給予嚴(yán)格證明，謬誤的則靠反例來(lái)否定.

反例，在解諸如填空、判斷、選擇題時(shí)，更是一種簡(jiǎn)單易行的方法；在解題后，對(duì)解題過(guò)程和結(jié)果的檢驗(yàn)，也是一種行之有效的方法；在審題時(shí)，可幫助我們找出由于種種原因而出現(xiàn)的錯(cuò)題，以避免浪費(fèi)精力和時(shí)間。如此等等，不能低估了反例的作用。

三、學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)

作為老師如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，通過(guò)怎樣的途徑來(lái)提升學(xué)生的逆向思維能力呢？

1.備課中注意逆向思維教學(xué)思考，并具體落實(shí)到課堂教學(xué)中

備課是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。在備課中不僅注意反映教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)，還要注意到對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，特別要注意逆向思維的運(yùn)用。因此經(jīng)常逆向設(shè)問(wèn)，以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)。

同時(shí)教師應(yīng)經(jīng)常地、有意識(shí)地從正反兩反面探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)立統(tǒng)一中去把握數(shù)學(xué)對(duì)象，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

教師在總結(jié)思維過(guò)程時(shí)應(yīng)告訴學(xué)生有的問(wèn)題從“正面”不易解答時(shí)，從其“反面”思考往往有突破性效果。通過(guò)分析啟發(fā)很容易掌握，既激發(fā)了學(xué)生解題興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生正確思維方法和良好的思維習(xí)慣，思維能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明確提出了“因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系”，教學(xué)中抓住“互逆”“反過(guò)來(lái)”這條主線，就能讓學(xué)生真正理解因式分解的意義，并得到逆向思維的訓(xùn)練從而提高思維能力。

2.作業(yè)輔導(dǎo)及考查以鞏固對(duì)逆向思維的理解和掌握

學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)聽(tīng)懂了離掌握還有距離，特別是對(duì)常規(guī)思維的背離。因此要讓學(xué)生真正具有逆向思維的能力，除了課堂上的分析、引導(dǎo)、啟發(fā)外，要堅(jiān)持分層次地對(duì)學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。布置作業(yè)、考試檢查，經(jīng)常地得到鍛煉，體會(huì)逆向思維解題的奇妙，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性。

在平時(shí)的練習(xí)中指導(dǎo)學(xué)生要善于用逆向思維去思考問(wèn)題，不僅要知道逆向思維的主要方法，還要經(jīng)常地從各個(gè)方面強(qiáng)化逆向思維，而不同的方面又可運(yùn)用不同的方法，因此要注意逆向思維各個(gè)方面的鞏固。因此在教學(xué)中要有意識(shí)地編排順、逆雙向配對(duì)的練習(xí)題供學(xué)生訓(xùn)練。

綜上所述，教師在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力時(shí)，要充分利用教材的內(nèi)容，在定義、公式、定理等的教學(xué)中強(qiáng)化逆向思維，在習(xí)題課、練習(xí)課中強(qiáng)化逆向思維，有意識(shí)、有目的地對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)行“正向思路變成逆向思路”的訓(xùn)練。同時(shí)將對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)貫穿于備課、講課、作業(yè)輔導(dǎo)、分層練習(xí)等整個(gè)教學(xué)過(guò)程之中。針對(duì)學(xué)生的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)，持之以恒，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)造力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。