聶篤憲　周裕中　張思敏　胡博婷　楊群

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)　數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 廣州　510642)

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浴缸浴節(jié)約用水優(yōu)化建模與分析

聶篤憲周裕中張思敏胡博婷楊群

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 廣州510642)

浴缸浴具有悠久的歷史，且一直深受廣大群眾的青睞。隨著人類社會的發(fā)展水資源變得更加稀缺，在浴缸浴的過程中如何節(jié)約用水顯得非常重要，本文以獨立非自主智能加熱式浴缸為研究對象，著重解決加水和冷卻兩個階段的節(jié)約用水優(yōu)化問題，通過合理假設(shè)，以初始浴水溫度和時間為優(yōu)化變量，分別建立牛頓冷卻模型、冷熱水混合模型，并借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求解模型，得出浴缸浴的過程中向浴缸內(nèi)加水的最優(yōu)策略。

浴缸浴;牛頓冷卻;冷熱水混合;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬

浴缸浴是一件很愜意的事，自古就有“沐浴而朝，齋戒沐浴以祀上帝”的說法。如今隨著人類生活水平的提升人們對沐浴過程中水溫的舒適度要求也水漲船高，人們在享受浴缸浴的過程中由于水溫的變化沐浴者會不斷的換水，若換水時間和流量控制不當(dāng)，不免會造成水資源的浪費。2016年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽[1]A題提出了一種普通的水容器式浴缸，它沒有配備二次加熱系統(tǒng)和循環(huán)射流等裝置。這種情況下浴水會逐漸降溫，為了能保持浴水的溫度接近初始水溫，設(shè)計者在浴缸邊設(shè)置了一個可以恒定加入熱水的水龍頭，加水過程中浴水達(dá)到其容量時，過量的水會通過浴缸上面的一個出水口溢出。在節(jié)約用水的前提下，原題要求探索浴缸內(nèi)浴水溫度隨時間、空間、人的運動以及泡泡浴等因素的變化情況，并總結(jié)出浴缸浴過程中加熱水的最佳策略，基于篇幅限制，這里僅探究不同初始水溫下的冷卻時間以及一旦水溫下降到不適宜溫度后向浴缸內(nèi)加水的最優(yōu)策略問題。

研究浴缸的出水口與進(jìn)水口分別位于浴缸對立的兩側(cè)，浴缸尺寸為1700 mm×850 mm×590 mm，陶瓷材料，人進(jìn)去后可容納約120 L水(如圖1所示)。沐浴的水溫不宜過高或過低：溫度超過正常體溫37℃，稱為熱水??；低于人體的溫度而高于皮膚的溫度，即33℃，叫做溫水浴。水溫在34℃～36℃之間，有利于去垢止癢；水溫在37℃～39℃之間，有利于消除疲勞；水溫在40℃～45℃之間，有利于舒筋活血，發(fā)汗鎮(zhèn)痛[2]。浴缸浴水的溫度可因時制宜，這里選取浴缸的初始水溫為熱水浴中的40℃～45℃，并假定浴水溫度下降到不適宜溫度(37℃)后由水龍頭加入的熱水溫度為60℃。

對于冷卻階段，為沐浴者剛進(jìn)入適宜溫度浴水的浴缸內(nèi)洗澡開始至水溫下降到不適宜溫度為止，該過程水龍頭處于關(guān)閉狀態(tài)，探求水溫的冷卻時長；關(guān)于物體冷卻問題研究最為成熟的是牛頓冷卻定律[3]，牛頓冷卻定律要求所研究的系統(tǒng)與環(huán)境溫度差不能過大，因此，將采用牛頓冷卻定律來解決冷卻時長問題，以確定何時需要打開水龍頭加60℃熱水。對于加水階段，由于冷熱水混合后冷熱水流場和溫度場分布情況復(fù)雜，采用冷熱水三維混合模型研究混合后的水溫[4-5]，并借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法求解模型，求出所加熱水的流量和時長，這樣，可計算沐浴者從剛進(jìn)入浴缸沐浴，到水冷后第一次加熱水至恢復(fù)初始溫度所經(jīng)歷的時間。

圖1　浴缸簡圖

1　模型的假設(shè)及符號說明

1.1模型的假設(shè)

1) 剛開始浴缸注滿適宜溫度的水，人的體溫是37℃，浴室溫度恒定為25℃。

2) 忽略熱輻射及人的運動所造成的冷卻。

3)散熱時將水與浴缸看做一個整體。

4)人剛進(jìn)入浴缸時浴水恰好不溢出，并忽略掉人沐浴過程中由于運動而溢出的水以及附在人體和浴巾上的水。

5)忽略水龍頭放出的熱水未與浴缸內(nèi)的水混合前的熱量損失。

1.2符號說明

Q(t)表示t時刻浴缸內(nèi)水的熱量；T(t)表示t時刻浴缸內(nèi)水的溫度，并記起時時刻為t=0；ρ為密度 ；v為流體速度；p為壓強；g為重力加速度；ui為時均速度；τ為應(yīng)力張量；Fsg為表面張力的等價體積力；μ為動力黏度；k為湍動能；ξ為耗散率；Gk為平均速度梯度引起的湍流動能；Gb為浮力引起的湍流動能；YM為可壓縮湍流脈動膨脹對總耗散率的影響；ut為湍流黏度；Sk和Se為定義的源項；σk和σζ為湍流管普朗特數(shù) ；C1e,C2e,C3e為可變參數(shù)。

2　模型的建立與求解

2.1牛頓冷卻模型的建立

牛頓冷卻定律描述的是熱體散熱的規(guī)律，常用來計算物體熱量的損失以及溫度的變化，這里將其應(yīng)用到浴水隨時間變化的散熱情形上[6]。

(1)

dQ=-E(T-T0)dt，

(2)

設(shè)水的比熱熔為c，變化在散熱量dQ之后，溫度的改變量為dT，則有dQ=cdT，將此關(guān)系式代入(2)既得

(3)

dT=k(T-T0)dt

(4)

根據(jù)(4)式我們還可以求出不加熱水的情況下，浴缸內(nèi)平均水溫隨時間變化的方程為

T(t)=T0+aekt，

(5)

其中a為待定常數(shù)。

2.2牛頓冷卻模型的求解

在假設(shè)中已經(jīng)設(shè)定浴室溫度為25℃，通過實驗(取一陶瓷材料杯，設(shè)置不同的初始水溫并給水以一定的波動，用精密溫度計測量溫度)得到60 s后的溫度變化數(shù)據(jù)如下表1所示。

表1　60 s后浴水溫度變化統(tǒng)計

將初始溫度與60 s后的溫度數(shù)據(jù)代入(5)式，通過MATLAB求解可得浴水不同初始溫度的表達(dá)式如表2所示。

表2　浴水不同初始溫度的表達(dá)式

由表2給出的不同初始水溫的表達(dá)式可求得浴缸內(nèi)水溫降低到37℃的時間統(tǒng)計(如表3所示)；同時繪出浴缸內(nèi)42℃初始溫度下的浴水溫度變化與時間的關(guān)系如圖2所示。其他初溫下的冷卻變化過程與此類似。

表3　不同初始水溫的冷卻時間表

圖2　不同浴水溫度下降趨勢對比圖

綜上所得的結(jié)果可以看到，浴水溫度的下降變化與初始水溫密切相關(guān)，與時間之間不是簡單的線性關(guān)系，圖2的曲線斜率還表明，浴水溫度與浴室溫度差較大時浴水的溫度下降的較快，這與實際情況吻合。

2.3冷熱水混合三維模型的建立與模擬求解

浴缸內(nèi)冷熱水混合的目的是：一方面，熱水與浴缸內(nèi)的水混合將熱量傳給相對較冷的水，另一方面，相對較冷的水從浴缸出口溢出，冷水不斷減少熱水不斷注入，兩方面結(jié)合使得浴缸的溫度快速達(dá)到初始水溫。

根據(jù)已有的數(shù)學(xué)物理理論知識，在浴缸內(nèi)冷熱水混合流動的特征描述主要由3個方程刻畫 ，即連續(xù)性方程、動量方程、湍流方程[7]。

連續(xù)性方程

(6)

動量方程

(7)

湍流方程

(8)

上述方程的解析解難以求出，本文欲求其數(shù)值模擬解，而相關(guān)方面的文獻(xiàn)鮮見，此處參考文獻(xiàn)[7]，將浴缸在加水階段冷熱水混合的過程看成文獻(xiàn)[7]中混合器內(nèi)流體的模型，并保持原有的相關(guān)參數(shù)，應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[8-10]在MATLAB軟件環(huán)境中實現(xiàn)模擬。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有三層，其中隱含層的激活函數(shù)是高斯函數(shù)，第一層和第三層都是線性傳遞函數(shù)，本網(wǎng)絡(luò)采用梯度訓(xùn)練法反向調(diào)整網(wǎng)絡(luò)誤差，依據(jù)鏈?zhǔn)狡⒎址▌t得到網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)中心、寬度和權(quán)值等相關(guān)量的調(diào)整。其主要步驟包括：原始水溫樣本的輸入、水溫數(shù)據(jù)的歸一化、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練以及對原始水溫數(shù)據(jù)仿真。

[7-8]的參數(shù)設(shè)置方式：設(shè)定水龍頭直徑為1 cm，室內(nèi)溫度為25℃，水龍頭熱水溫度為60 ℃，浴缸出水口的相對壓強為0 pa； C1e、C2e、C3e、σk和σζ的值分別為1.44 、1.92、0.09、1.0、1.3。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)參數(shù)設(shè)置：樣本數(shù)為120，目標(biāo)樣本數(shù)為60，隱含神經(jīng)元數(shù)目為10，最大進(jìn)化迭代次數(shù)為1 000，目標(biāo)誤差為0.001，數(shù)據(jù)中心學(xué)習(xí)速度為0.02，寬度學(xué)習(xí)速度為0.01，權(quán)值學(xué)習(xí)速度和動量因子系數(shù)均為0.001。分別利用MATLAB中的premnmx()函數(shù)和tramnmx()函數(shù)對樣本進(jìn)行預(yù)處理及歸一化處理。求解冷熱水混合模型的模擬結(jié)果如圖3所示，模擬的誤差如圖4所示。從誤差圖可以看出，隨著次數(shù)設(shè)置的增加，誤差越來越小，最終接近于零。

圖3　冷熱水混合模擬

圖4　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬誤差圖

與此同時，模擬出了浴缸內(nèi)浴水在冷熱水混合過程中熱水源附近的等溫線如圖5，圖中標(biāo)出了相鄰5℃間的溫度分布情況，反映出了熱水源向周圍擴散的趨勢。

圖5　冷熱水混合等溫線

2.4求解結(jié)果分析

由圖3的模擬結(jié)果可以看出加入熱水后浴缸內(nèi)整體的溫度與時間的關(guān)系近似一條logistics曲線的前部分，在恒定的注水溫度下，浴缸內(nèi)溫度上升的速度逐漸減慢。當(dāng)溫度恢復(fù)至42℃時，其對應(yīng)的縱坐標(biāo)大約為0.95*10 = 9.5 min，也就是說，當(dāng)浴缸內(nèi)溫度降低到37℃時只需要9.5 min即可完成其與初始水溫42℃保持相近的工作。

已假定了浴缸可容納120 L的水，求解水龍頭單位時間內(nèi)流量問題時，由于浴缸一邊加水一邊溢水，為了問題求解的簡化，考慮到當(dāng)向浴缸內(nèi)加入熱水時浴缸溢出的都是原浴缸內(nèi)的水，同時溢出水量與所加入水量基本相等。不妨假設(shè)溢出冷水量為v1，則加入熱水量也為v1，浴缸剩余冷水量為v2，則根據(jù)熱力學(xué)知識▽Q=cm▽T可列方程

(9)

其中c為水的比熱容，p′為水的密度，易得加入的熱水量v1=33.3 L，所以水龍頭注水流量為：33.3÷9.5≈3.5 L/min，也就是說，當(dāng)需要注入熱水時只要以3.51 L/min的流量注入60℃熱水9.5 min即可使浴缸內(nèi)的水溫與初始溫度相近。同理可求得浴缸內(nèi)其它初始溫度的加水時間和流量。

綜合冷卻階段與加水階段的求解結(jié)果，可得到一個浴缸浴的加水周期如表4所示，表4結(jié)果表明，在此模擬下浴水初始水溫的冷卻時長隨初始溫度的升高而顯著增加；不論浴水的初始溫度是多少，最優(yōu)策略的加水時間基本相近，只不過初始溫度高時，加水的單位流量控制稍大一些即可；沐浴者從剛進(jìn)入浴缸內(nèi)沐浴，到水冷后第一次加水至恢復(fù)初始溫度所經(jīng)歷的時間大約為23 min，如果沐浴者沐浴的時間為1 h左右，那么用此浴缸沐浴大概需要加入2至3次熱水即可，從而達(dá)到浴缸浴節(jié)約水目的。

表4　不同初始水溫的冷卻加水時間

根據(jù)表4的數(shù)據(jù)近似的推導(dǎo)出加水過程中浴缸內(nèi)浴水溫度隨加水量的變化關(guān)系，以42℃的初始水溫為例，當(dāng)注入60℃的熱水量為v1時浴缸內(nèi)平均水溫為T，則(9)式變?yōu)?/p>

(10)

解得

(11)

由表4中42℃下的數(shù)據(jù)可得v1的取值范圍是[0,3.51*9.50]，即v1∈[0,33.345]，從而可得出42℃下浴缸內(nèi)浴水溫度隨加入熱水量的變化如圖6所示。

圖6　42℃初始溫度浴水隨加入熱水的溫度變化

圖6給出的是42℃初始溫度下浴缸內(nèi)加水過程中浴水溫度隨加入熱水量的變化情況，其他初始溫度下的求解情況與此類似。該結(jié)果表明，在最優(yōu)加水策略的控制下浴缸內(nèi)浴水溫度的上升速度近似線性增加，既有效保證了初始水溫的恢復(fù)，又節(jié)約了用水，結(jié)果符合預(yù)期。

3　結(jié)語

對浴缸浴加水策略研究，建立牛頓冷卻模型、冷熱水混合模型，應(yīng)用微分方程及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬求解，結(jié)果表明在最優(yōu)策略下，不同初始溫度下向浴缸內(nèi)加入熱水的時間差別不大，這樣使得單位時間內(nèi)加水流量隨初始溫度的升高而增加；同時，沐浴者從剛進(jìn)入浴缸內(nèi)沐浴，到水冷后第一次加水至恢復(fù)初始溫度所經(jīng)歷的時間大約為23 min，如果一個人泡澡的時間為1 h左右，那么用此浴缸泡澡大概需要加入2至3次熱水即可。這種加水策略為浴缸浴節(jié)約用水提供有效的科學(xué)理論指導(dǎo)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模官網(wǎng). 2016年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模賽題[EB/OL]. http://www.comap.com/undergraduate/contests/mcm/ login.php.

[2]殷偉,任玫.中國沐浴文化[M].昆明: 云南人民出版社,2003:1-3.

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[9]王小川,史峰,郁磊,等. MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)43個案例分析[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社, 2013.

[10]桌金武. MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社, 2014.

Optimization Modeling and Analysis of Water Saving in Bathtub

NIE DuxianZHOU YuzhongZHANG SiminHU BotingYANG Qun

(College of Mathematics and Informatics, South China Agricultural University, Guangzhou 510642, China)

Bathtub bath has been favored by the public in its long history. With the development of human society, water resources have become scarcer. Therefore, how to save water in using tub bath is very important. This paper focuses on the problem of water saving optimization in two stages of water adding and cooling, taking the independent non-autonomous intelligent heating tub as research object, establishing Newton cooling model, cold and hot water mixed model through reasonable assumptions, with the initial bath temperature and time as the optimization variables and obtaining the optimal strategy of adding water to the bath tub with the aid of the neural network method to solve the model.

Bathtub bath; newton cooling; hot-cool water mixture; neural network method

2016-05-31

2014廣東省高等教育教學(xué)改革項目“基于數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用型創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究”( GDJG2014 1038)；2014 年度華南農(nóng)業(yè)大學(xué)教改重點項目( JG14006) ；廣東省自然科學(xué)基金博士啟動(2015 A030310065)；2016級院教改研究項目(SXJG201603)。

聶篤憲( 1974—)，男，湖南邵陽人，講師，博士，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化、供應(yīng)鏈管理研究。

O141.4；TU824

A

1009-0312(2016)05-0001-07