潘瑾瑜，馬建偉，宋曉娜

（河南科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河南洛陽471023）

直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定*

潘瑾瑜，馬建偉，宋曉娜

（河南科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河南洛陽471023）

考慮到復(fù)合控制系統(tǒng)中，直接力的離散特性會(huì)使系統(tǒng)的設(shè)計(jì)復(fù)雜化。針對(duì)采用姿控式直/氣復(fù)合控制的導(dǎo)彈，基于有限時(shí)間穩(wěn)定理論，引入輔助滑模面，研究其控制系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定，得到一個(gè)受控良好的復(fù)合控制系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，利用輔助模糊控制，對(duì)系統(tǒng)不確定性進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)一步改善了復(fù)合系統(tǒng)的控制品質(zhì)。最后以俯仰通道為例，對(duì)所提出的方法進(jìn)行仿真，結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

復(fù)合控制，有限時(shí)間穩(wěn)定，輔助滑模面，模糊控制

0　引言

為了滿足導(dǎo)彈在高空作戰(zhàn)時(shí)的機(jī)動(dòng)性能，導(dǎo)彈需要較大的機(jī)動(dòng)過載能力并具有較快的響應(yīng)速度。僅依靠獨(dú)立的氣動(dòng)力控制，其末制導(dǎo)階段可用過載小，空氣舵響應(yīng)有所延遲，容易導(dǎo)致目標(biāo)逃逸，因此，需要考慮引入直接側(cè)向力的復(fù)合控制策略來彌補(bǔ)氣動(dòng)力控制的不足。通常采用姿控式復(fù)合控制，即利用空氣動(dòng)力和安裝在距離導(dǎo)彈質(zhì)心一定距離的彈首或彈尾的微小型火箭發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)相結(jié)合對(duì)彈體進(jìn)行控制，能夠減小導(dǎo)彈建立攻角所需要的時(shí)間，提高機(jī)動(dòng)能力。

近年來變結(jié)構(gòu)控制理論引起了人們極大的興趣，文獻(xiàn)［1］從數(shù)學(xué)原理上解釋了廣義李雅普諾夫穩(wěn)定并估計(jì)了變結(jié)構(gòu)控制的收斂時(shí)間。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)二階不確定系統(tǒng)，利用有限時(shí)間干擾觀測器進(jìn)行系統(tǒng)估計(jì)，然后基于非奇異終端滑?？刂圃O(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)控制分配算法［2］，或者利用快速終端滑?？刂破?，保證不連續(xù)控制器閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)的穩(wěn)定性［3］。為了有效抑制滑?？刂茙淼亩墩?，基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提出一種改進(jìn)的滑?？刂品椒ǎ?-5］。利用自適應(yīng)模糊逼近器，構(gòu)造誤差滑模面來補(bǔ)償誤差和干擾的影響，通過自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性［6］。文獻(xiàn)［7］基于李雅普諾夫理論導(dǎo)出閉環(huán)穩(wěn)定條件。針對(duì)直/氣復(fù)合控制系統(tǒng)，文獻(xiàn)［8］利用有限時(shí)間穩(wěn)定理論對(duì)氣動(dòng)舵進(jìn)行控制，基于返步法研究直接力控制，最后通過“隱攻角”反饋進(jìn)行增穩(wěn)。但是，直/氣復(fù)合控制系統(tǒng)研究仍然存在許多問題亟待解決。

本文采用變結(jié)構(gòu)控制理論，針對(duì)姿控式直/氣復(fù)合控制系統(tǒng)，建立相應(yīng)的模型并進(jìn)行分析簡化。針對(duì)氣動(dòng)力控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)輔助滑模面，加入模糊輔助控制，對(duì)開關(guān)項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)優(yōu)化，達(dá)到去抖動(dòng)的效果。以俯仰平面為例，設(shè)計(jì)復(fù)合控制系統(tǒng)的控制律，實(shí)現(xiàn)了復(fù)合控制系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定。最后進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1　復(fù)合控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立

由于直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制系統(tǒng)工作在導(dǎo)彈的末制導(dǎo)階段很短的時(shí)間內(nèi)，可以將導(dǎo)彈的飛行速度和飛行高度視為常值。假設(shè)導(dǎo)彈為理想剛體，質(zhì)心位置恒定，質(zhì)量不變。在鉛直平面內(nèi)，導(dǎo)彈在俯仰通道的數(shù)學(xué)模型為：

其中，α為導(dǎo)彈的攻角，ωz為角速率，δz為舵偏角，F(xiàn)y為直接力，ny為過載，v為導(dǎo)彈的速度，g為重力加速度。

整理式（1）～式（3）可得：

由于過載主要由攻角α產(chǎn)生的氣動(dòng)力提供，即：

所以選取過載ny和角速率ωz為復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)變量，舵偏角δz和直接力Fy為復(fù)合系統(tǒng)的控制輸入，選取法向過載為系統(tǒng)的輸出，則可寫成如下的仿射形式：

2　直/氣復(fù)合控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

在直/氣復(fù)合控制系統(tǒng)中，由于脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的工作特性，直接力是離散的，氣動(dòng)力是連續(xù)的。因此，將氣動(dòng)力控制設(shè)為滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)的等效控制，直接力控制設(shè)為其切換控制，保證系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并進(jìn)行滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

2.1氣動(dòng)力控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

假設(shè)給定的過載指令連續(xù)可微，將給定的法向過載指令記作nyc，則系統(tǒng)的切換函數(shù)可設(shè)計(jì)為：

其中，km＜0。

將系統(tǒng)的跟蹤誤差eny記作：

由于km＜0，易知系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)是漸近收斂的，由此保證了系統(tǒng)在滑模面上過載的跟蹤誤差是漸近穩(wěn)定的。

對(duì)切換函數(shù)式（8）求導(dǎo)可得：

令滑模面導(dǎo)數(shù)為零，得：

由于實(shí)際系統(tǒng)中存在未建模干擾或其他不確定性，故考慮基于反饋信號(hào)來估計(jì)干擾，設(shè)計(jì)對(duì)參數(shù)不確定性具有魯棒性的模糊輔助控制器，使得跟蹤誤差變量滿足：

引理1［9］如果存在一個(gè)一致連續(xù)函數(shù)滿足存在且有限，那么

引理2［9］如果存在一個(gè)正數(shù)，滿足

那么，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式（7）呈指數(shù)穩(wěn)定。

為了更好地利用模糊控制對(duì)氣動(dòng)力控制進(jìn)行優(yōu)化，建立輔助滑模面如下：

對(duì)式（16）中輔助滑模函數(shù)σ關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)得：

關(guān)于不確定量d（t）的滑模函數(shù)Sd（t）可設(shè)為：

則為了估計(jì)不確定量d（t），設(shè)計(jì)輔助模糊控制器D（t）的規(guī)則如下：

如果Sd（t）＞0，那么D（t）增加；

如果Sd（t）＜0，那么D（t）減小。

為了保證D（t）不會(huì)過大，引入變量ΔD（t），G為比例系數(shù)，可得：

定義模糊化論域?yàn)镾d=［-15，15］，ΔD=［-1.5，1.5］，在此基礎(chǔ)上定義模糊子集如下：

其中，NB為負(fù)大，NM為負(fù)中，ZO為零，PM為正中，PB為正大。

為了說明模糊變量在某區(qū)域的值的隸屬度，選用三角形和高斯型隸屬函數(shù)，模糊子集的隸屬函數(shù)可表示如圖1和圖2所示。

圖1　模糊輸入隸屬函數(shù)

圖2　模糊輸出隸屬函數(shù)

表1　模糊控制規(guī)則

將式（12）代入式（7）中，并令u2=0，得系統(tǒng)的等效控制如下：

定理若ε＞0，基于式（20）的模糊滑模控制器u1，復(fù)合控制系統(tǒng)式（7）滿足李雅普諾夫穩(wěn)定，則系統(tǒng)可以跟蹤期望過載。

證明：對(duì)式（17）考慮設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)為

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得：

將式（12）代入式（21），可得：

對(duì)式（22）兩邊積分，可得：

由于V（t）為正，V（0）是有限的，易得：

根據(jù)引理1可得：

2.2直接力控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

取系統(tǒng)的切換控制為：

為了節(jié)省發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料資源，根據(jù)跟蹤控制的精度要求，可以確定啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)的最小閾值smin，確保當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入該最小閾值的鄰域內(nèi)，不再啟動(dòng)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)。

假設(shè)鄰域的大小為δ，且直/氣復(fù)合控制系統(tǒng)能夠保證維持在鄰域內(nèi)，則系統(tǒng)的狀態(tài)滿足：

此時(shí)系統(tǒng)原來在S上的滑動(dòng)模態(tài)方程變?yōu)樵卩徲騼?nèi)的動(dòng)態(tài)方程：

結(jié)合新的狀態(tài)條件式（28），可以確定跟蹤誤差滿足：

則系統(tǒng)的切換控制變?yōu)椋?/p>

現(xiàn)考慮在由等效控制u1和切換控制u2所構(gòu)成的復(fù)合控制器的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)可以達(dá)到切換面并保持在切換面上：

當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)尚未進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，u2不參與控制作用，由于km＜0，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，可以保證系統(tǒng)不會(huì)偏離滑動(dòng)模態(tài)。

2.3復(fù)合控制系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性分析

為了方便描述，考慮如下非線性系統(tǒng)：

定義1［10-11］考慮式（35），系統(tǒng)的平衡點(diǎn)=0為有限時(shí)間穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是Lyapunov穩(wěn)定且有限時(shí)間收斂。即對(duì)，存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)，使得式（35）的解滿足：當(dāng)時(shí)，有和?；當(dāng)時(shí)，有。若，則原點(diǎn)是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

引理3［11］考慮式（35），假定是定義在?U上的可導(dǎo)函數(shù)，令實(shí)數(shù)η＞0，0＜μ＜1，使得V在上正定，且在上滿足：

證明：當(dāng)系統(tǒng)趨近滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，u1和u2共同作用。定義系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)可得：

將u1、u2和式（7）代入式（37），得到：

由導(dǎo)彈的氣動(dòng)參數(shù)物理意義易知，p為正，即

根據(jù)李雅普諾夫定理，由引理3可得，滑模面函數(shù)S將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面s=0上。

由以上分析可知，系統(tǒng)在全局狀態(tài)空間內(nèi)是穩(wěn)定收斂的。證畢。

至此，以氣動(dòng)力控制的等效控制和以直接力控制為切換控制的復(fù)合控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)完畢。

3　仿真結(jié)果及分析

發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)推力值FT=2 300 N，工作時(shí)間T=0.025 s，動(dòng)態(tài)時(shí)間=0.005 s，姿控發(fā)動(dòng)機(jī)組到導(dǎo)彈質(zhì)心的平均距離為LT=1 m，km=-15，N=5，smin=2.3，smax=10，系統(tǒng)狀態(tài)初值均取為0，輸出跟蹤指令nyc幅值為10。為了驗(yàn)證模糊滑?？刂疲‵SMC）的效果，在相同條件下，與滑?？刂疲⊿MC）在Matlab中進(jìn)行仿真對(duì)比，仿真結(jié)果如下。

圖3　攻角跟蹤響應(yīng)

圖4　過載跟蹤響應(yīng)

實(shí)線為FSMC的復(fù)合控制響應(yīng)，虛線為SMC的控制響應(yīng)。圖3和圖4為導(dǎo)彈攻角和過載的跟蹤響應(yīng)曲線。可以看出，在過載指令發(fā)出的0.15 s后，實(shí)際輸出就達(dá)到指令的90%，由于系統(tǒng)存在不確定干擾，SMC在此基礎(chǔ)上小幅振蕩，而FSMC在0.1 s后十分平穩(wěn)。跟蹤的響應(yīng)時(shí)間短，系統(tǒng)不存在超調(diào)。下頁圖5為俯仰角速度響應(yīng)，在0.04 s時(shí)達(dá)到最大值，之后呈指數(shù)衰減。圖6為氣動(dòng)力控制響應(yīng)曲線，F(xiàn)SMC的變化顯然比SMC平穩(wěn)，且在有限時(shí)間鎮(zhèn)定。圖7顯示了脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的控制效果，在FSMC的發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后，SMC在后期不斷開啟關(guān)閉，其有限固體燃料的消耗明顯增大，圖8的脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)開啟個(gè)數(shù)更直觀地解釋了這一結(jié)果。脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)一共開啟了31個(gè)，并集中于過載響應(yīng)的上升階段，此時(shí)直接力起主導(dǎo)作用。

圖5　俯仰角速度響應(yīng)

圖6　氣動(dòng)力控制

圖7　側(cè)噴發(fā)動(dòng)機(jī)控制

圖8　脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)消耗個(gè)數(shù)

4　結(jié)論

本文針對(duì)姿控式復(fù)合控制系統(tǒng)研究了其控制器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)問題。以俯仰平面為例，利用變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)氣動(dòng)力等效控制和直接力切換控制。在此基礎(chǔ)上，引入輔助滑模面，利用模糊控制對(duì)氣動(dòng)力控制器進(jìn)行優(yōu)化，基于有限時(shí)間理論實(shí)現(xiàn)了復(fù)合系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。仿真結(jié)果表明通過等效控制和切換控制的組合分配，可以有效縮短響應(yīng)時(shí)間，提高導(dǎo)彈可用過載和機(jī)動(dòng)能力，同時(shí)減少固體脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)有限燃料的浪費(fèi)，顯示了較好的魯棒性和穩(wěn)定性。

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Finite-time Stabilization for Lateral Jet and Aerodynamics Compound Control System

PANJin-yu，MA Jian-wei，SONG Xiao-na
（School of Electrical Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang 471023，China）

Considering the lateral jets of the compound control system，the discrete characteristic of lateral jet makes system complex.For the compound control system of missile by means of combining the aerodynamics control with lateral jets control，based on the theory of finite time stability，the compound control system is designed by adding an auxiliary sliding surface.Then the finite-time stabilization problem of control system is designed.The response property of the compound control system is further improved by building a fuzzy auxiliary controller to estimate the uncertainty of the system.Take the pitch plane for example，the simulation results show the effectiveness of the proposed design.

compoundcontrol，finitetimestability，auxiliaryslidingsurface，fuzzycontrol

TJ765.2

A

1002-0640（2016）10-0075-05

2015-08-13

2015-09-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61203047）

潘瑾瑜（1991-），女，河南洛陽人，碩士研究生。研究方向：飛行器制導(dǎo)與控制。