助推-滑翔導(dǎo)彈跳躍彈道優(yōu)化技術(shù)

戴邵武1，于麗1，2，單崇喆3
（1.海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東煙臺264001；2.煙臺工貿(mào)技師學(xué)院，山東煙臺264003；3.91515部隊，海南三亞572016）

滿足約束條件下的彈道優(yōu)化技術(shù)能有效提高助推-滑翔導(dǎo)彈的生存能力和毀傷能力。在充分消化吸收現(xiàn)有彈道優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上，提出了一種直接打靶法與序列二次規(guī)劃相結(jié)合的彈道優(yōu)化思路，具體設(shè)計了按時間進(jìn)行離散化、按距離進(jìn)行離散化和函數(shù)逼近3種方案，并通過全彈道仿真對所設(shè)計方案進(jìn)行了對比研究，驗證了設(shè)計方法的有效性。

助推-滑翔導(dǎo)彈；彈道優(yōu)化；直接打靶法；序列二次規(guī)劃

隨著軍事科技的發(fā)展，彈道導(dǎo)彈的攔截技術(shù)日益成熟，而傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈的彈道相對容易被跟蹤和攔截，使得各國迫切地需要一種射程遠(yuǎn)、打擊精度高、突防能力強(qiáng)的新型導(dǎo)彈來承擔(dān)戰(zhàn)略威懾任務(wù)［1-3］。在此背景下，研究人員提出了一種將彈道導(dǎo)彈與巡航導(dǎo)彈相結(jié)合的方案，把傳統(tǒng)彈頭換成新型的滑翔彈頭，從而組合成助推-滑翔導(dǎo)彈，能夠滿足國防戰(zhàn)略的需要，同時有效利用了現(xiàn)有的軍事資源，但是這種組合導(dǎo)彈的應(yīng)用還面臨著諸多的挑戰(zhàn)［4-7］。其中，最主要的挑戰(zhàn)是各國導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的發(fā)展使得攻擊導(dǎo)彈的生存空間受到了極大的壓縮，為了增加助推-滑翔導(dǎo)彈的生存能力，并實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的有效打擊，對跳躍彈道進(jìn)行優(yōu)化成為當(dāng)前最緊迫的任務(wù)［8-10］。

彈道優(yōu)化很早就引起了國內(nèi)外學(xué)者的重視，J.P. Marec在其《最優(yōu)航天軌跡》中對飛行器在真空中飛行時的彈道優(yōu)化問題進(jìn)行了詳細(xì)論述。當(dāng)導(dǎo)彈在大氣中飛行時，需要研究大氣對飛行器飛行最優(yōu)彈道的影響。原蘇聯(lián)早在50年代就開始對這一課題進(jìn)行了研究，第一本關(guān)于大氣中最優(yōu)彈道的著作是克羅托夫、布克列耶夫和吉爾曼的《飛行動力學(xué)的新變分法》。此外，什卡多夫、布哈諾娃、伊拉里奧諾夫和洛希赫著的《大氣中飛行器最優(yōu)三維運(yùn)動力學(xué)》，N.H.薩道夫斯基的《火箭最佳運(yùn)動狀態(tài)研究》都是同時期的研究成果。隨著計算機(jī)技術(shù)和現(xiàn)代控制理論的迅速發(fā)展，為飛行器彈道優(yōu)化問題的研究提供了新的理論基礎(chǔ)和應(yīng)用計算工具。在軍事和航天科學(xué)的推動下，自動控制、數(shù)學(xué)、飛行力學(xué)三門學(xué)科相互滲透、互相交叉，促進(jìn)了飛行力學(xué)的發(fā)展，特別是飛行器的彈道優(yōu)化問題，在此期間大量的飛行器彈道優(yōu)化的著作先后相繼發(fā)表［11-16］，對這些成果進(jìn)行歸納總結(jié)，按照不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，將彈道優(yōu)化方法分為了5類：直接法和間接法、積分法和微分法、單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化、確定性優(yōu)化和魯棒性優(yōu)化、純數(shù)學(xué)方法和非純數(shù)學(xué)方法。

本文從工程實(shí)現(xiàn)的角度出發(fā)，在對現(xiàn)有方法進(jìn)行消化、吸收和比對的前提下，將直接打靶法和序列二次規(guī)劃法相結(jié)合。首先，利用直接打靶法對彈道參數(shù)進(jìn)行離散化處理，將彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為約束條件下的非線性規(guī)劃問題；然后，利用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行尋優(yōu)，并以新型助推-跳躍導(dǎo)彈為研究對象設(shè)計了三種優(yōu)化方案；最后，通過全彈道仿真驗證了設(shè)計方法的有效性。

1　初始條件及彈道約束

1）初始條件。本文所要研究的助推-滑翔導(dǎo)彈的是一個無動力的滑翔體，其質(zhì)量為m，參考面積為Sref，參考長度為Lref，發(fā)射點(diǎn)的地理坐標(biāo)為（λs0，φs0），目標(biāo)點(diǎn)的地理坐標(biāo)為（λsT，φsT），射向為AT。軸向力系數(shù)CA（Ma，α）和法向力系數(shù)CN（Ma，α）都是馬赫數(shù)Ma與攻角α的函數(shù)，其定量關(guān)系已知。

2）終端約束。彈道-滑翔導(dǎo)彈的滑翔彈頭是一種精確制導(dǎo)武器，為了能夠更加有效地對目標(biāo)實(shí)施打擊，對其滑翔段的終點(diǎn)處的約束條件為：

①滑翔段終點(diǎn)速度vmin≤v（tf）≤vmax；

②滑翔段終端傾角Θmin≤Θ（tf）≤Θmax。

其中，tf是指到達(dá)滑翔段終點(diǎn)的時刻。

3）控制量約束。由于滑翔導(dǎo)彈彈體結(jié)構(gòu)與姿態(tài)控制系統(tǒng)工作的局限性，滑翔導(dǎo)彈的攻角不宜過大，而且變化應(yīng)該盡量緩慢，以免攻角變化太快，導(dǎo)致飛行失控。

①攻角αmin≤α≤αmax；

②攻角變化率α˙min≤α˙≤α˙max。

4）法向過載約束。法向過載的最大值主要取決于滑翔導(dǎo)彈的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，以及彈載設(shè)備的承載范圍。為了滿足滑翔導(dǎo)彈的設(shè)計要求，相應(yīng)的法向過載ny滿足。

5）飛行高度及飛行時間約束。為提高彈頭的突防能力，需要規(guī)避地方的攔截區(qū)域，這里將對滑翔段的飛行高度進(jìn)行限制，另外，導(dǎo)彈飛行時間越長，被攔截的幾率就越大，所以還需要對飛行時間進(jìn)行限制，具體如下：

①進(jìn)入跳躍飛行后的飛行高度Hmin≤H≤Hmax；

②飛行時間tf≤tmax。

6）動壓約束。動壓的極限值主要取決于導(dǎo)彈外殼的熱防護(hù)材料強(qiáng)度，以及承受的氣動控制鉸鏈力矩，具體形式為qmin≤q≤qmax。

初始條件中射向與發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)所在平面共面，且初始點(diǎn)位置和速度也基本在射面內(nèi)，因此可以假定導(dǎo)彈的控制系統(tǒng)可以及時消除側(cè)向運(yùn)動，保證導(dǎo)彈在射面內(nèi)飛行，此時將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題，即在發(fā)射坐標(biāo)系的縱平面內(nèi)研究導(dǎo)彈的飛行過程，另外，導(dǎo)彈的初始位置和速度是在發(fā)射慣性系中定義的，通過簡單的坐標(biāo)變換就可以轉(zhuǎn)到發(fā)射坐標(biāo)系中。

2　彈道優(yōu)化方案設(shè)計

彈道優(yōu)化的目標(biāo)是使導(dǎo)彈的落地速度最大，因此選擇目標(biāo)函數(shù)為

彈道優(yōu)化的第一步是參數(shù)化，這里選取直接打靶法［17］的設(shè)計思路，具體包括以下3種方案。

方案1：按時間進(jìn)行離散化。按導(dǎo)彈飛行時間將飛行過程分為N段，每一段可以表示為［ti，ti+1］，i=0，1，…，N-1，其中，ti和 ti+1稱為節(jié)點(diǎn)，tN=tf。在每個子區(qū)間［ti，ti+1］中，選取端點(diǎn)處（即節(jié)點(diǎn)處）的控制變量u（ti）作為參數(shù)的一部分，而對于任一時刻t∈［ti，ti+1］，i=0，1，…，N-1處的控制變量，可以通過插值的方法獲得，本文采用三次樣條插值方法來近似控制變量u（t）。

對于終端約束是容易處理的，只需要按文中的指標(biāo)加以限制即可，而對于其它約束來說，由于約束本身是一個連續(xù)的過程，而離散化后只能對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行限制，而在節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)卻沒有辦法保證滿足限制條件。本文的處理是，如果在某一區(qū)間內(nèi)的約束超標(biāo)，那么就在此區(qū)間內(nèi)繼續(xù)增加節(jié)點(diǎn)，直到所有約束滿足條件為止。

方案2：按飛行距離進(jìn)行離散化。按導(dǎo)彈飛行距離將飛行過程分為N′段，每一段可以表示為［xi，xi+1］，i=0，1，…，N′-1。這種劃分的好處是導(dǎo)彈的起始和終端位置是一定的，因此，只需要對節(jié)點(diǎn)處的參數(shù)進(jìn)行處理即可，可在很大程度上減少迭代次數(shù)。

方案3：函數(shù)逼近。眾所周知，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），也就是我們所熟知的傅里葉級數(shù)。其展開式的形式為：

如果把控制量寫為

那么，就可以選擇參數(shù)為

其中，n越大，則逼近精度越高。

如果經(jīng)優(yōu)化計算后得到的參數(shù)為

則最優(yōu)解為

參數(shù)化完成后，利用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，具體方法參見文獻(xiàn)［18］。

3　仿真分析

為了了解該飛行器的飛行性能，首先使導(dǎo)彈按照最大升阻比狀態(tài)進(jìn)行飛行，這里稱之為最大升阻比飛行方案，以便在之后的仿真中簡化約束條件，加快仿真速度，并進(jìn)行仿真對照。

彈道仿真中選取速度v、彈道傾角θ、橫向坐標(biāo)x、縱向坐標(biāo)y、過載ny和飛行高度H作為狀態(tài)量，攻角α作為控制量，建立導(dǎo)彈運(yùn)動微分方程組，積分采用四階龍格庫塔法，步長選取為Δt，只要Δt選取足夠小，就可以保證仿真的精度。偏導(dǎo)數(shù)的計算采用數(shù)值差分，步長選為單位步長。

1）最大升阻比飛行方案。已知軸向力系數(shù)CA（Ma，α）和法向力系數(shù)CN（Ma，α）與馬赫數(shù)Ma與攻角α的定量關(guān)系，在固定馬赫數(shù)的前提下，容易得到最大升阻比所對應(yīng)的攻角α。落地傾角Θ（tf）=-73.9°，落地速度v（tf）=624.68 m/s，落地總攻角αtf=0°，飛行時間tf=341 s，仿真結(jié)果如圖1所示。從仿真結(jié)果中可以看出，導(dǎo)彈的飛行狀態(tài)滿足約束條件，而且落地速度也處于允許的范圍之內(nèi)，這說明最大升阻比飛行方案本身就是一種可行方案，此時對應(yīng)的攻角α取值范圍為9°～10°。另外，在攻角α在取邊界值情況下的縱向過載ny滿足約束要求，這說明只要攻角α滿足約束要求，那么過載ny必定處于允許的范圍之內(nèi)，因而過載的約束可以暫不考慮。

圖1　最大升阻比飛行方案的仿真結(jié)果Fig.1 Simulation results of maximum lift-drag scheme

2）方案1（按時間進(jìn)行離散化）。落地傾角為Θ（tf）=-88.64°，落地速度為v（tf）=788.06 m/s，落地總攻角為αtf=-0.3°，飛行時間為tf=281.84 s，仿真結(jié)果見圖2。由于沒有對攻角變化率進(jìn)行限制，因而在攻角隨時間變化曲線中出現(xiàn)了跳變的情況，但因末制導(dǎo)律的設(shè)計對滑翔段終點(diǎn)的約束比較寬松，所以這并不會對仿真結(jié)果造成影響。由于參數(shù)選擇過程中加入了飛行時間一項，與其他的參數(shù)項具有不同的量綱，因此在迭代過程中Hessen陣可能會出現(xiàn)近似奇異的情況，整個仿真過程的迭代總步數(shù)為153，算法的收斂速度較慢。要解決這一問題可以進(jìn)行無量綱化，但這無疑又增加了計算量，提高了彈道仿真的工作量。

圖2　按方案1飛行時的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of the first scheme

3）方案2（按飛行距離進(jìn)行離散化）。落地傾角為Θ（tf）=-85.44°，落地速度為v（tf）=899.82 m/s，落地總攻角為αtf=-0.7°，飛行時間為tf=292.70 s，仿真結(jié)果見圖3。由于方案2采用的是對飛行距離插值，其突出的優(yōu)點(diǎn)是終端固定，選定的參數(shù)都具有同一量級，因而收斂速度較快，總的迭代步數(shù)為52，較方案1有較大改進(jìn)，而且導(dǎo)彈的落地速度在3種方案中是最大的，對于各約束條件也能較好地滿足。該方法的缺點(diǎn)是工程實(shí)現(xiàn)的難度較大，因距離是無法精確測量的，彈上慣導(dǎo)設(shè)備的誤差將直接影響算法的運(yùn)行。

圖3　按方案2飛行時的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of the second scheme

4）方案3（函數(shù)逼近）。落地傾角Θ（tf）=-74.81°，落地速度v（tf）=443.81 m/s，落地總攻角αtf=-0.2°，飛行時間tf=331.79 s，仿真結(jié)果見圖4。從仿真結(jié)果可看出，方案3的攻角在部分區(qū)域超出了限值，這是由此種算法本身造成的，因為方案3采用的是函數(shù)擬合法，并沒有進(jìn)行區(qū)間劃分，因而參數(shù)值對區(qū)間的約束不敏感，即使對區(qū)間繼續(xù)分割仍然無助于問題的解決。并且導(dǎo)彈的落地速度也略小于約束的下限，從嚴(yán)格意義上來說該方法并沒有達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。但該方法也具有其自身的優(yōu)勢，算法的收斂速度較快，而且參數(shù)的意義明確，通過增加參數(shù)的數(shù)量勢必可以得到全局最優(yōu)解，可以將此作為下一步繼續(xù)研究的方向。

圖4　按方案3飛行時的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of the third scheme

5　結(jié)論

本文圍繞助推-滑翔導(dǎo)彈跳躍彈道優(yōu)化的熱點(diǎn)問題展開研究，從工程實(shí)現(xiàn)的角度出發(fā)，充分考慮了導(dǎo)彈飛行過程中所受到的約束，提出了一種直接打靶法和序列二次規(guī)劃法相結(jié)合的彈道優(yōu)化思路，利用直接打靶法對彈道參數(shù)進(jìn)行離散化處理，將彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為約束條件下的非線性規(guī)劃問題，然后利用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行尋優(yōu)；并在此思路的指導(dǎo)下，具體設(shè)計了3種優(yōu)化方案，最終全彈道仿真結(jié)果表明，3種優(yōu)化方案均能滿足設(shè)計要求，具有重要的工程實(shí)踐意義和應(yīng)用前景。

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Skip Trajectory Optimization Algorithm For Boost-Glide Missile

DAI Shaowu1，YU Li1，2，SHAN Chongzhe3
（1.Department of Control Engineering，NAAU，Yantai Shandong 264001，China；2.Yantai Industry&Trade Technician College，Yantai Shandong 264003，China；3.The 91515thUnit of PLA，Sanya Hainan，572016，China）

Development of trajectory optimization algorithm under certain constraint condition can effectively improve viability and damage ability of boost-glide missiles.A new trajectory optimization method combining direct shooting algorithm and sequential quadratic programming algorithm was proposed based on sufficient understanding of existing optimization methods.Concretely，three schemes（including discretization scheme according to time，discretization scheme according to distance and functional approximation scheme）were designed.Finally，comparative study of the designed schemes was made via full trajectory digital simulation，and simulation results validated the effectiveness of the proposed method.

boost-glide missile；trajectory optimization；direct shooting algorithm；sequential quadratic programming

TJ761.3

A

1673-1522（2016）05-0533-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.05.007

2016-08-08；

2016-09-03

戴邵武（1966-），男，教授，博士。