夏俊

[摘 要]PCK是由美國斯坦福大學(xué)教授、著名教育家舒爾曼最早提出的，他強調(diào)PCK是指教師在教學(xué)過程中所應(yīng)用的具體的一系列與學(xué)科知識、教育知識不同的知識。MPCK是本土化、數(shù)學(xué)化的教學(xué)內(nèi)容知識的簡寫。以“一個數(shù)除以分數(shù)”的教學(xué)為例，通過對影響教師MPCK因素橫向與縱向的分析，探討教師MPCK提高的方法及策略。

[關(guān)鍵詞]MPCK 教材對比 整體把握能力 知識轉(zhuǎn)化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）32-048

依據(jù)研究者對PCK深刻而富有成效的研究，有專家對MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）作出定義，可以理解為數(shù)學(xué)教師如何對某一特定的教學(xué)內(nèi)容進行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學(xué)生更容易接受和理解知識。它有別于固定的、既有的數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教育知識，因教師表述、呈現(xiàn)和解釋的方式各異，MPCK是動態(tài)發(fā)展的，是數(shù)學(xué)教師特有的知識素養(yǎng)。

基于這樣的思考，本文以“一個數(shù)除以分數(shù)”為例，探討教師MPCK提高的方法及策略。

一、由人教版例題引發(fā)的教學(xué)思考

對于下面這個問題，人教版教材通過“路程÷時間=速度”這一固有模型很快給出算式，避開了對除法意義的探索，將算理的理解與計算方法的習(xí)得、提煉、固化擺在了突出位置。在隨后的練習(xí)課中才探討分數(shù)除法的意義，這樣確實能將計算與意義理解逐項突破。根據(jù)教材對“2÷”算理的探索，教師進一步地解釋除法的意義。但是這樣的教學(xué)節(jié)奏能讓學(xué)生更易于接受嗎？

為此，筆者分別從學(xué)生與教師層面做了調(diào)查，統(tǒng)計如下：

所有參與調(diào)查的學(xué)生都自信自己會做，結(jié)果也驗證了其計算的正確性，但他們普遍不能理解書本上的算理，都覺得很難。

所有參與調(diào)查的教師都反映書本通過線段圖來解釋的方式比較難理解，學(xué)生得在教師的不斷引導(dǎo)下才能理解算理。2位教齡較短的教師與5位農(nóng)村教師只用書本方式解釋算理，12位教齡在10年以上的教師既用了書本上的方法，又通過“將分數(shù)的運算轉(zhuǎn)化為有關(guān)整數(shù)的運算”“商不變的性質(zhì)”的方式解釋算理。

從教師的自身感受與學(xué)生的反饋都可以看出例題提供的算理解釋較復(fù)雜，不易將“一個數(shù)除以分數(shù)”轉(zhuǎn)化為學(xué)生理解的知識，導(dǎo)致學(xué)生積極性不高，興趣不足。如此看來，人教版教材對教師MPCK的發(fā)展影響巨大，不少教師仍抱著“書本上講的最好還是要說”的態(tài)度，放不開手腳，不敢以更易于學(xué)生理解和接受的方式組織和呈現(xiàn)教材。那么影響教師MPCK的因素到底有哪些呢？

二、影響教師MPCK因素的對比分析

（一）不同版本，橫向?qū)Ρ确治?/p>

下表選取了人教版、北師大版、蘇教版三個版本的教材進行對比分析，探索哪個版本的教材更便于教師對“一個數(shù)除以分數(shù)”進行表述、呈現(xiàn)和解釋，使教師找到更容易讓學(xué)生接受和理解知識的教學(xué)方法。

分析教材，發(fā)現(xiàn)：

1.北師大版與蘇教版都大量選用包含除模型的題目作為例題，易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)分數(shù)的本質(zhì)。

分數(shù)的本質(zhì)是揭示整體和部分之間的數(shù)量關(guān)系，“平均分”和“包含除”更利于學(xué)生學(xué)習(xí)和理解分數(shù)。平均分的問題背景強調(diào)較多，學(xué)生容易理解，“包含除”在之后的分數(shù)應(yīng)用題中大量出現(xiàn)，還涉及后續(xù)知識的理解和應(yīng)用。因此這兩個版本的內(nèi)容設(shè)置更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)知識。此外，蘇教版還專門為分數(shù)相除設(shè)置了例題。相對于人教版的，蘇教版的更易于教師加工以及學(xué)生理解。同分母分數(shù)相除是分數(shù)相除中較為特殊的一類，從這點出發(fā)能更好地結(jié)合情境去展開思考。蘇教版例題的情境更貼近現(xiàn)實，更富于趣味性，但平均分的份數(shù)較大，輔以其他方法論證說明比較困難。

2.三個版本的教材都對體現(xiàn)“基本數(shù)學(xué)思想”有所思考。

課程改革的目的是讓學(xué)生多一份思考。人教版安排例1去溝通分數(shù)除法與整數(shù)、分數(shù)乘法的聯(lián)系，意在喚醒學(xué)生的遷移能力和推理能力。北師大版與蘇教版例題都輔以簡單易懂的直觀圖形驗證，意在激發(fā)學(xué)生“猜想——驗證”的意識，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

3.三個版本的教材在數(shù)據(jù)選擇上都遵循從特殊到一般的原則，例題的數(shù)據(jù)都比較簡單；都通過合情推理來說明分數(shù)相除的法則。

在大量的特例中通過合情推理得出一般規(guī)律的方法經(jīng)常被運用于小學(xué)教學(xué)中。北師大版未獨立安排分數(shù)相除的例題，全部放入練習(xí)中處理，人教版通過對整數(shù)除以分數(shù)的研究，“合情推理”分數(shù)相除的方法。蘇教版雖單獨給出例題，但在解釋算理過程中所采用的方式與人教版類似。

總體而言，三個版本的教材都存在一定的問題，制約了教師MPCK的發(fā)展。同時，我們發(fā)現(xiàn)運用特殊數(shù)據(jù)思考、使用包含除模型等對提高教師的MPCK大有益處。

（二）同一教材，縱向?qū)Ρ确治觯ㄒ匀私贪鏋槔?/p>

不同教師的MPCK對課堂教學(xué)的開展以及學(xué)生的接受與理解的效果有什么影響？

年輕教師對教材的理解不夠深刻，“照本宣科”，花費極大的精力去引導(dǎo)學(xué)生的思維，卻仍使學(xué)生困惑不解，甚至產(chǎn)生誤解。相比較而言，資深教師能觸類旁通，利用商不變的性質(zhì)，深入探究整數(shù)除以分數(shù)和分數(shù)除以分數(shù)的聯(lián)系，邏輯較合理，使得學(xué)生的理解與思考較為深刻。

經(jīng)驗及個人的思考也是制約教師MPCK發(fā)展的因素，教師應(yīng)找到問題的癥結(jié)所在，將數(shù)據(jù)特殊化、情境生活化，解決分數(shù)相除的算理問題，打破一個數(shù)除以分數(shù)的邏輯困境，讓合情推理更加合乎情理。

三、對提高教師MPCK的啟示

（一）加強學(xué)科知識與教育知識的學(xué)習(xí)是學(xué)科知識與教學(xué)知識轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)與保障

知識要進行表述、呈現(xiàn)、傳遞，離不開教師對學(xué)科知識的深刻理解。因此，教師要做的是系統(tǒng)梳理數(shù)學(xué)學(xué)科知識及相關(guān)教育知識，在深刻理解的基礎(chǔ)上處理它們之間的聯(lián)系，即不僅要重視教學(xué)方法，更要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容，并且善于將兩者結(jié)合起來。

（二）通過兩個對比能發(fā)展教師整體把握教材的能力，幫助其理解教材在改革中的作用

我們通過教材之間的對比研究和不同教齡的教師對教材的把握情況的對比研究發(fā)現(xiàn)，要提高教師的MPCK就必須在“鉆研教材”和“向同事學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”上下工夫。在鉆研教材方面，我們可以經(jīng)常問問自己：“與這個教學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系的概念是什么？教學(xué)的難點是什么？教學(xué)重點是什么？別的版本教材是怎么處理的？”我們沒有必要排斥教材，我們要做的是使用并超越教材、重組教材。

在向同事學(xué)習(xí)上，我們要加大組建教研組的力度，與其他教師分享、探討對教學(xué)的想法和反思。

（三）關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)能加深教師對學(xué)生的了解

如果不關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，盲目地跟著教材走，那么教師應(yīng)無法掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。

以“一個數(shù)除以分數(shù)”為例，學(xué)生通過遷移能順理成章的知道計算方法時，我們慢下來為了什么？真正的數(shù)學(xué)思想、靈感蘊含在每一次前人的發(fā)現(xiàn)上，而人每一階段都有每一階段的任務(wù)，有些思想方法若不能及時感受就難有這樣的機會了。

因此我們要多思考，學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時易犯的錯誤和困惑是什么。這將幫助我們更好地理解學(xué)生，對教材情境也會有更清醒的認知。

當(dāng)教師對學(xué)生的認知水平有充分的把握，對學(xué)習(xí)情境有清晰的反思，對教材有整體的把握，能自如地將學(xué)科知識與教學(xué)知識進行轉(zhuǎn)化時，我們就可以說教師對數(shù)學(xué)教學(xué)的理解已經(jīng)實現(xiàn)了全面化和深刻化，教師MPCK有了大幅度的提高。

（責(zé)編 吳美玲）