黃炳鋒

（福州第三中學，福建福州350001）

充分發(fā)揮技術作用 發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)

黃炳鋒

（福州第三中學，福建福州350001）

融合技術與發(fā)展數學核心素養(yǎng)是本輪課程改革的亮點.數學核心素養(yǎng)從本質看與技術密切相關，為了全面落實立德樹人的根本任務，深入挖掘數學學科的育人價值，形成并發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)，應充分發(fā)揮技術的六大作用.本文結合實際教學的案例進行闡述和論證。

數學；核心素養(yǎng)；技術

新一輪的課程改革即將開始，最新修訂的《普通高中數學課程標準》也處于調研征詢意見狀態(tài)?？梢钥闯?，本輪課程改革依據國家“立德樹人”的要求進行課程設計，深入挖掘數學學科的育人價值，提出的數學課程的核心目標“形成和發(fā)展以數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析為要素的數學核心素養(yǎng)”將成為亮點?！皵祵W核心素養(yǎng)包含具有數學基本特征的思維品格和關鍵能力，是數學知識、技能、思想、經驗及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現”，數學核心素養(yǎng)中的數學建模、數學運算、數據分析、直觀想象本質上就是技術素養(yǎng)；數學抽象、邏輯推理也與技術密切相關，因此教師要重視技術對于數學核心素養(yǎng)形成的作用，研究如何充分發(fā)揮技術的作用來發(fā)展數學的核心素養(yǎng)。

一、用技術建構數學概念、發(fā)現數學結論，發(fā)展數學抽象、直觀想象素養(yǎng)

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。數學抽象既是數學思維的特征，也與數學的抽象特性密切相關，表現在數學概念和規(guī)則、數學命題和模型、數學方法和思想、數學結構和體系等方面形成過程，發(fā)展數學抽象素養(yǎng)的困難在于數學研究對象的屬性概括，因此需要技術為建構數學概念而提供大量的例證。

例如，關于指數函數的性質，以往我們常常通過概括函數y=2x與y=（）x的性質獲得一般結論，這對于學生來說既困難也不現實，尤其對于函數f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的單調性的判斷，學生很難自發(fā)形成底數a的分類并進行正確劃分，原因之一就是缺乏大量的例證。如果在教學中引進技術，選取底數a（a＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐標系內作出相應的函數圖象，學生即可觀察發(fā)現這些圖象的共同特征，從而抽象出底數a對函數單調性的影響，得到指數函數的性質，如圖所示。

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題。直觀想象是發(fā)現數學結論和解決數學問題的重要素養(yǎng)，表現在能利用圖形探索和解決數學問題，構建數學問題的直觀模型，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的困難在于建立數與形的聯(lián)系，尤其是由數到形的轉變，而將數與形緊密結合正是技術的優(yōu)勢。因此，可以發(fā)揮技術的可視化與多元聯(lián)系的特點，在數表與圖形、解析式與圖象的便捷轉化中，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。

例如，設a∈R，若x＞0時均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=______.

本例以代數形式呈現了一個不等式恒成立的問題，正確解題的方法是將原不等式等價轉化為以下兩種情況

然后構造函數f（x）=（a-1）x-1和g（x）=x2-ax-1，在同一平面直角坐標系下作出圖象，并結合函數圖象直觀分析進行求解.因為f（0）=g（0）=-1，所以兩個函數圖象與y軸交于同一個點，可知不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0在x＞0時恒成立，當且僅當兩個函數的圖象的另一個交點在x軸上，由f（x）=0，解得x=，再由g）=0，解得a =.

解答本題的困難在于自發(fā)地形成代數式與函數圖象的關聯(lián)，用技術可以化“抽象”為直觀，因此借助技術的幫助可以輕松實現“以形助數”.在此求解過程中，由于呈現了思維的層次，形成了化歸與轉化的“自覺”，所以可以在聯(lián)系與轉化中，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng)。

二、用技術突破學習難點、改進教學方式，發(fā)展邏輯推理、數學運算素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。表現在發(fā)現和提出命題，掌握推理的基本形式和規(guī)則，探索和表述論證的過程，構建命題體系，表達與交流等方面。

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題。表現在理解運算對象，掌握運算法則，探索運算思路，設計運算程序等方面。

邏輯推理與運算求解是中學數學要求培養(yǎng)的關鍵能力，是知識、技能、思想方法及基本策略的綜合體現。形成和發(fā)展邏輯推理、數學運算素養(yǎng)，需要學生一定量的技能訓練，可能有人認為這些訓練與技術無關，甚至以為技術會降低推理與運算要求，弱化運算訓練，因而起了反作用，這是錯誤的。事實上，便捷快速的計算機代數系統(tǒng)可以輕易對代數式進行組合變形與分解變形，從而能幫助學生分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序，以及在遇到障礙時進行運算調整等，不僅提高數學運算的思維能力，同時還能提供大量例證為歸納推理佐證；同樣，精細準確的圖像處理系統(tǒng)不僅可以化抽象為形象，突破學習難點，還可以檢驗運算結果，促成探索并形成類比推理；此外，在學習過程中引進交互工具，學生還可以檢測計算結果、修正邏輯判斷、即時發(fā)布信息等?？梢哉f，在形成和發(fā)展邏輯推理、數學運算素養(yǎng)方面，技術不僅提供了可供訓練思維能力的學習內容、方法和手段，也為共享、表達和交流思維過程提供了方法和手段。

例如，已知a＞0，且a≠1，求關于x的方程ax=lo gax有實數根時a的取值范圍.

這類問題我們一般將方程有實數根轉化為函數f（x）=ax-lo gax有零點進行求解，但往往因為問題的復雜性與求解方向不清，使得求解過程困難重重，或因邏輯推理出錯造成判斷失誤。此時如果引進技術，即可簡捷提供函數y=ax與y=lo gax的圖象，展示a的改變對圖象的影響，獲得感性認識和分類的標準，并將a＞1時的情況歸結為直線y=x與曲線y=lo gax相切的特殊位置的處理，然后在理解運算對象的基礎上，回到函數f（x）的研究，應用正確的運算方法和嚴謹的邏輯推理進行解答。

容易發(fā)現當0＜a＜1時，函數y=ax和y=lo gax的圖象有公共點（事實上，還可以用技術進一步探明有些情況下還不止一個公共點），相應的運算求解過程如下：

當0＜a＜1時，f（a）=aa-1＜0，f（1）=a＞0，所以f（a）·f（1）＜0.

又因為f（x）在［a，1］上連續(xù)，所以存在ξ∈（a，1），使得f（ξ）=0，即aξ=lo gaξ，

因此當0＜a＜1時，方程ax=lo gax有實數根.

當a＞1時，因為函數y=ax與y=lo gax互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱，所以只要研究曲線y=lo gax與直線y=x相切的情形，即可找到方程有實數根時a的臨界值，再結合圖形分析，進一步得到a的取值范圍.

現設直線y=x與曲線y=lo gax相切，且切點為

x0，y0alogae=e，所以lna=，解得a=.

以下證明當1＜a≤e1e時，函數f（x）有零點.

事實上，此時有ae≤（）e=e，lo gae≥loe=e，可得f（e）=ae-lo gae≤0，又由于f（1）=a＞0，所以有f（e）·f（1）＜0，根據零點存在定理可證.

本例在求解過程中遇到困難，用技術突破難點理清了障礙，使我們確定解題方向，從而引發(fā)思考，可見技術的作用已經不再局限于問題的直觀展示，而成為進一步思考的助推器。毋庸置疑，隨著時代進步，多項革新技術正在為學生學習、交流與討論提供開放和清晰的過程，智慧課堂、微視頻教學為學生提供了多樣學習、個性化學習的可能，技術的廣泛使用已使傳統(tǒng)的、單一的教學方式得以改進，數學核心素養(yǎng)得以發(fā)展。

三、用技術培養(yǎng)數學表達，傳播數學技術，發(fā)展數學建模、數據分析素養(yǎng)

數學建模是對現實問題進行抽象，用數學語言表達和解決問題的過程。表現為發(fā)現和提出問題，建立模型，求解模型，檢驗結果和完善模型等過程。

數學建模首先要把實際問題轉化為數學問題，所以需要將實際問題抽象概括出數學模型的結構形式，其困難在于數據處理、過程模擬和分析求解，因此，數學建模需要數學表達和技術支持，并與數學技術密切相關。

數據分析是指從數據中獲得有用信息，形成知識。表現在數據獲取，數據分析和知識構建。數據分析也與數學技術密切相關，隨著大數據時代的到來，人們已經開始從數據中獲取越來越多有用的信息甚至是對未來的洞見，也將越來越認識到“因果關系與相關關系”是同等重要的，數據分析以現實與未來的需要為表征，以傳播數學技術為指向，成為數學育人的核心素養(yǎng)。發(fā)展數據分析素養(yǎng)的困難在于數據收集整理、數字特征分析等繁難的過程。技術以其強大的數據收集與記錄功能、內置的數據分析與模塊化程序，幫助學生解決龐雜的數據處理，而給學生騰出時間用于理解概念、掌握回歸方法，并在獲取信息，形成知識中發(fā)展數據分析素養(yǎng)。

例如，在一批棉花中抽測了60根棉花的纖維長度，結果如下（單位：mm）：

我們可以借助技術作出這個樣本的頻率分布直方圖，并且可以用幾種不同的分組方式對樣本數據進行分組，從中體驗合適的分組方法的確定。此外還可以用統(tǒng)計命令進行各種統(tǒng)計量的分析，從數學技術的角度獲得這批棉花的質量狀況等信息。盡管本例所用技術只是為了數據處理，但由于操作過程簡捷，收集信息豐富，所以能極大便利地認識數據作用，養(yǎng)成使用數據的意識，并形成相關知識，有利于發(fā)展數學核心素養(yǎng)。

2014年，教育部在《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中再次提出“充分利用現代信息技術手段，改進教學方式，適應學生個性化學習需求”的要求，可以預見，為了樹立以發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)為導向的教學意識，并將數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于數學教學活動的全過程，需要充分發(fā)揮技術的力量。技術融入形成與發(fā)展數學核心素養(yǎng)的教學過程，必將成為課程改革的新形式、新亮點、新趨勢。

［1］洪燕君，周九詩，王尚志，鮑建生.普通高中數學課程標準（修訂稿）的意見征詢——訪談張奠宙先生［J］.數學教育學報，2015（3）.

［2］馬云鵬.關于數學核心素養(yǎng)的幾個問題［J］.課程·教材·教法，2015（9）.

［3］黃炳鋒.指尖數學——融合手持技術的教學創(chuàng)新［M］.福州：福建教育出版社，2016.

（責任編輯：王欽敏）