○唐山市漢沽管理區(qū)皂甸小學 武國芬

把握概念本質(zhì)促進有效建模
——《分數(shù)與除法》教學及思考

○唐山市漢沽管理區(qū)皂甸小學 武國芬

·《分數(shù)與除法》一課，教師以生活情境和問題情境貫穿始終，借助直觀的學具操作，以感知、發(fā)現(xiàn)、整理、歸納、應(yīng)用為主線，引導(dǎo)學生在動手操作、合作交流的學習過程中進行觀察、比較、發(fā)現(xiàn)，在思維碰撞中加深對分數(shù)與除法的關(guān)系的理解與掌握，有效構(gòu)建數(shù)學模型。

數(shù)學模型是對實際問題的一種數(shù)學表述，能概括地或近似地表達系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學結(jié)構(gòu)。如何讓學生真實地、完整地經(jīng)歷對實際問題進行提煉、抽象、建模、驗證的過程，從而主動地、有意義地建構(gòu)和應(yīng)用數(shù)學模型，值得教師思考。教學《分數(shù)與除法》一課，教師致力于創(chuàng)設(shè)平等、和諧、自主、合作的學習環(huán)境，以激發(fā)學生學習的積極性、主動性為基點，對學生主動地、有意義構(gòu)建分數(shù)與除法關(guān)系的數(shù)學模型進行了有益探索和嘗試。

一、課前熱身，導(dǎo)入新課

激活認知：（課件出示）把16個蛋糕平均分給4個人，每人分到幾個？把4個小蛋糕平均分給4個人，每人又分到幾個？

設(shè)疑引新，出示例1：如果把1個蛋糕平均分給4個人，每人分得多少個？

課前熱身，復(fù)習整數(shù)平均分除法，激活學生已有的知識經(jīng)驗，為新知的學習搭建階梯。在此基礎(chǔ)上，順勢提出“1個蛋糕平均分給4個人”的問題，引發(fā)認知沖突，為分數(shù)與除法模型的構(gòu)建提供載體。

二、操作探究，構(gòu)建模型

1.溝通聯(lián)系。

（1）學生讀例1列式并說明其含義。1÷4=？

（2）交流共享：觀察例1的算式，與前面的除法算式有什么不同呢？商是多少？被除數(shù)比除數(shù)小，商不夠1，不是整數(shù)，可以用小數(shù)0.25表示，還可用分數(shù)表示。

（3）動手操作：請用圓形卡片代表蛋糕分一分，看看每人到底能分到多大的蛋糕。

（4）啟發(fā)思考：如果把一個蛋糕平均分給5個人、6個人、7個人呢？每人又分得多少個呢？

（5）揭示課題：兩個數(shù)相除，不能得到整數(shù)的商時，商還可以用分數(shù)表示，那如何用分數(shù)來表示呢？今天我們就來研究分數(shù)與除法的關(guān)系。（板書課題）

教師把教材中例1的“平均分給3個人”改編成“平均分給4個人”，其目的是便于學生動手操作，直觀認識個蛋糕。通過“分蛋糕”的情境，從除法的意義角度理解算法，從分數(shù)的意義角度解釋結(jié)果，使學生初步認識到分數(shù)可表示“兩個整數(shù)相除的商”，初步感受分數(shù)與除法之間的聯(lián)系，為突破教學難點鋪路搭橋，為模型的構(gòu)建夯實基礎(chǔ)。

2.探究關(guān)系。

出示例2：如果把3塊月餅平均分給4個人，每人分得多少塊？

（1）學生列式并說明其含義。3÷4=？

（2）操作探究：先用圓形卡片代表月餅來分一分、拼一拼，看看每人到底能分到多少塊月餅。然后在小組內(nèi)說一說，你是怎樣得到結(jié)果的，還有沒有不同的分法。

（3）匯報交流。（學生邊操作演示，邊解釋說明。）

方法1：一塊一塊分，先把每個圓形紙片平均分成4份，每人每次分得塊，分了3次，每人共分得3個1 4塊，也就是塊。

方法2：把每個圓形紙片平均分成4份，3個圓形紙片平均分成12份。再把12小塊平均分成4份，每份是3個塊，把3個塊拼在一起，每人分得的也是塊。

方法3：把3個圓形紙片疊在一起分，平均分成4份，每份是3塊的，再把每份的3個塊拼在一起，每人分得的也是塊。

動手操作與匯報交流讓學生直觀感知并經(jīng)歷知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，無論哪種分法都強調(diào)了平均分，把握住數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)了對分數(shù)可以表示兩個數(shù)相除的商的意義的擴充，讓學生初步感受分數(shù)的兩種含義，一是從分數(shù)的意義角度上理解，二是從除法意義的角度理解，即表示具體的數(shù)量。

3.構(gòu)建模型。

（1）開放理解。你想把（ ）塊月餅平均分給（ ）個人，每人分得這塊月餅的，是（ ）塊月餅。

啟發(fā)思考：觀察上述的算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）整理歸納：當兩個數(shù)相除得不到整數(shù)商的情況下，商可以用分數(shù)來表示。即

討論交流，明確：除數(shù)不能是0，所以分母也不能等于0，用字母a÷b=（b≠0）來表示更簡便。

教師以數(shù)學與生活的聯(lián)系為基點，以抽象數(shù)學之間的聯(lián)系為落腳點，設(shè)計極具思維含量的數(shù)學問題，引發(fā)學生開展深入探究，在合作交流、質(zhì)疑問難中，展現(xiàn)思維過程，促進學習資源的共享，從而使學生逐步加深對分數(shù)與除法關(guān)系的認識，充分經(jīng)歷構(gòu)建分數(shù)與除法關(guān)系的數(shù)學模型的過程。

4.深化理解。

師：根據(jù)你對分數(shù)與除法關(guān)系的理解，請完成表格。（分數(shù)與除法的聯(lián)系和區(qū)別）

明確：分數(shù)與除法雖然聯(lián)系密切，但二者還是有所區(qū)別的。分數(shù)是一種數(shù)，除法是一種運算。

數(shù)學建模應(yīng)是以理解為基礎(chǔ)的、主動的、有意義的建構(gòu)過程。建模過程中學生是否完成意義建構(gòu)，重要因素之一取決于學生是否對知識形成深層次的理解。為此，教師采取嘗試探究、辨析交流的方式，將問題拋給學生，讓他們各抒己見，在辨析中明理，對分數(shù)與除法的聯(lián)系與區(qū)別形成明晰完整的認識，有效構(gòu)建分數(shù)與除法關(guān)系的數(shù)學模型。

三、鞏固應(yīng)用，拓展延伸

1.填一填。

2.在（ ）里填上正確的數(shù)。

3.邢薇和秋燃兩位同學用彩帶包裝禮品盒，請你比較一下她們用的彩帶的長短情況。

邢薇：我把一根3米長的彩帶平均分成5段，用了其中的1段。秋燃：我把一根1米長的彩帶平均分成5段，用了其中的3段。

練習題基礎(chǔ)性與拓展性并重，強化對數(shù)學模型的鞏固和應(yīng)用。第2題，讓學生充分感受到兩個整數(shù)相除，商可以用分數(shù)表示。反過來，分數(shù)也能看成兩個整數(shù)相除。第3題進一步提升學生對分數(shù)意義的理解，感受到數(shù)學的應(yīng)用價值。