◇　天津　明廷軍

(作者單位：天津市耀華中學(xué))

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一道高三函數(shù)模擬題的啟示

◇天津明廷軍

對于涉及自變量取值范圍的二次函數(shù)值域問題,我們常見的思路是將自變量的取值范圍與拋物線的對稱軸位置進(jìn)行分析討論,本題通過對這一傳統(tǒng)方法的研究,提出一種新的研究思路和技巧．

方法1因?yàn)閒(x)=x2-2x+a，所以函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸為x=1.

1) 當(dāng)0

fmax(x)=f(0)=a,

fmin(x)=f(t)=t2-2t+a.

2) 當(dāng)t>1時(shí),f(x)在[0,1]上為減函數(shù),在[1,t]上為增函數(shù),則

fmax(x)=max{f(0),f(t)}=

max{a,t2-2t+a}≤a,

fmin(x)=f(1)=a-1≥-a.

方法2因?yàn)閒(x)=x2-2x+a，所以函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸為x=1.

1) 當(dāng)0

fmax(x)=f(0)=a,

fmin(x)=f(t)=t2-2t+a.

2) 當(dāng)t≥1時(shí),f(x)在[0,1]上為減函數(shù),在[1,t]上為增函數(shù),則

fmax(x)=max{f(0),f(t)}=

max{a,t2-2t+a}≤a,

fmin(x)=f(1)=a-1≥-a.

方法3因?yàn)閒(x)=x2-2x+a，所以函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸為x=1.

1) 當(dāng)0

fmax(x)=f(0)=a,

fmin(x)=f(t)=t2-2t+a.

2) 當(dāng)t=1時(shí),f(x)在[0,t]上為減函數(shù),所以

fmax(x)=f(0)=a,

fmin(x)=f(1)=a-1．

此時(shí)f(2)=f(0)=a,即1≤t≤2時(shí)均滿足條件，所以tmax=2,即g(a)=2,但這與t=1矛盾,故舍去．

3) 當(dāng)t>1時(shí),f(x)在[0,1]上為減函數(shù),在[1,t]上為增函數(shù),則

fmax(x)=max{f(0),f(t)}=

max{a,t2-2t+a}≤a,

fmin(x)=f(1)=a-1≥-a.

解題時(shí)對于這種臨界狀態(tài),我們應(yīng)該怎么去把握更好呢?如果能撇開對參數(shù)t的討論,將tmax看成a的函數(shù)(受題目“記t的最大值為g(a)”的啟發(fā)),通過定義域去求函數(shù)的最大值就會(huì)方便和直觀很多,大大降低了錯(cuò)誤的可能性!

方法4令f(x)=-a,即x2-2x+a=-a,亦即x2-2x+2a=0，其中Δ=4-8a.

圖3

綜上可知,

所以g(a)的值域?yàn)?0,1)∪{2}．

請同學(xué)們利用方法4解答下面的練習(xí).

練習(xí)已知a、t為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2-3x+a,對任意x∈[0,t],都有f(x)∈[-a,a],對每一個(gè)正實(shí)數(shù)a，記t的最大值為g(a)，則g(a)的值域?yàn)開_______.

(作者單位：天津市耀華中學(xué))