陳奎孚

（中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083）

中學(xué)物理教育應(yīng)該強(qiáng)基礎(chǔ)重通適
——一位大學(xué)教師的視角

陳奎孚

（中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083）

文章就一道力學(xué)題，給出了利用中學(xué)知識能夠消化的一種解法.從筆者角度，談?wù)摿私逃龖?yīng)注重欣賞物理學(xué)的美，培養(yǎng)對物理的執(zhí)著和熱情，而不是記住幾個特殊問題的解來應(yīng)試.對相關(guān)文獻(xiàn)中就該力學(xué)題的表述進(jìn)行了分析.

教育；教學(xué)；物理；牛頓第二定律

葉玉琴老師于2011年發(fā)表了《對一道力學(xué)題的求解及感悟》一文（以下簡稱葉文），該文探究了一道求解技巧頗高的題目［1］.原題如下:

題目 如圖1所示，長為2L的輕質(zhì)桿兩端有質(zhì)量為m的兩個相同的小球A和B，A靠在豎直壁上，B與地板接觸，兩處均不計摩擦，開始時桿與水平面成θ0=60°，放手后A沿豎直墻壁向下，B沿地板向右從靜止開始滑動.問:當(dāng)θ為多大時A剛好脫離豎直壁？

圖 1

葉文給出了3個解析，解析一是從牛頓第二定律出發(fā)，這需要解微分方程，解析二是從動能定理出發(fā)，無需解微分方程（這是因為動能定理的導(dǎo)出過程已經(jīng)完成了從微分到積分的運(yùn)算），解析三則針對問題的特殊性分析出輕桿的拉力為零，再利用A繞B的瞬時向心加速度與A的重力關(guān)系得到答案.前兩個解析需要的數(shù)學(xué)知識比較多，后一個解析只使用初等數(shù)學(xué).

上文發(fā)表后，引起了眾多教師的關(guān)注.肖光宏通過分析小球B動能極大值得到了答案［2］.當(dāng)然動能極大也意味著速度平方也極大，這是魯良根方法［3］.趙杰還介紹了Mathematica軟件求極值方法［4］.汪飛利用了A在脫離墻壁時刻的A和B加速度特殊性得到了答案［5］.初毅等則提供了6種解析方法［6］，并提出了自己一系列看法.由于本題在高中物理教學(xué)材料中頻繁出現(xiàn)［1-26］，其中若干話題仍有討論和澄清的必要.理論力學(xué)教學(xué)中也有一道經(jīng)典題目與此類似，即把A-B-輕桿換成均質(zhì)桿［27，28］.

1 解法

下面筆者先給出一個中學(xué)知識能夠消化的解法.

由A-B-輕桿所組成系統(tǒng)的質(zhì)心C位于AB中點(diǎn)，如圖2所示.在A脫離豎直墻面之前不變，因此C軌跡為圓弧.設(shè)C的速度為vC，它沿圓弧的切向方向.vC與vA和vB的大小關(guān)系為

圖 2

由機(jī)械能守恒可知該動能完全由A球重力勢能V轉(zhuǎn)換而來，因此

顯然vC的大小隨θ減小而增大，但是它的水平投影vCx需要乘上越來越小的sinθ.在兩種因素的作用下，系統(tǒng)水平動量px開始從零增大，物理上這是因豎直墻壁向右支持力沖量的持續(xù)作用所造成的.當(dāng)向右的支持力逐漸變化達(dá)到零時，px達(dá)到極大.此后，如果墻壁能夠提供向左的拉力，那么px會再減小.由于墻壁不能夠提供向左的拉力，A就脫離了墻面.所以在A脫離瞬間，px達(dá)到極大.為求極大的條件，將式（4）變?yōu)?/p>

顯然2sin60°-2sinθ＞0，sinθ＞0，利用abc≤［（a+b+c）/3］3的不等式有

當(dāng)（2sin60°-2sinθ）=sinθ時，上式“≤”中的等號成立，此時sinθ=3/3.這個條件在物理上也確實能夠?qū)崿F(xiàn).

因此，當(dāng)θ=sin-1（3/3）時A剛好脫離豎直壁.

2 討論

下面談一下筆者對本題和物理教育的一些感想.

盧瀟還針對在中美貿(mào)易摩擦環(huán)境下美國LNG對中國的影響談了自己的看法。他認(rèn)為，總體來說，現(xiàn)階段美國LNG對中國天然氣供給影響不大，美國對中國的LNG出口量還比較小，在關(guān)稅生效前，平均每月只有2船，主要以現(xiàn)貨為主，2018年9-11月中國沒有進(jìn)口美國LNG。從成本端考慮，以12%斜率油價合同為基準(zhǔn)，以當(dāng)前10%的關(guān)稅水平，在油價66美元/桶以上時，美國LNG具有競爭力；如果關(guān)稅增加到25%，則平衡油價將達(dá)到76美元/桶，如果油價在70美元/桶波動，美國LNG存在競爭優(yōu)勢。但是，未來關(guān)稅的不確定性和政治阻力會影響中國買家的選擇，在這種背景下，中美貿(mào)易爭端將有利于其他國家的LNG項目。

（1）即使采用上一節(jié)的方法，要求的技巧也很高.因而這類題目出現(xiàn)在高考模擬題中是否合適就是一個問題.筆者深信:大多數(shù)老師（當(dāng)然包括筆者）解這個題目也要費(fèi)一番周折.此題作為中學(xué)競賽題尚可理解，但有必要拿這種題目來難為參加模擬考試的一般學(xué)生嗎？特別是用極值法求解此題，難度在數(shù)學(xué).優(yōu)秀的物理教育者要通過讓學(xué)生“享受”物理而對物理研究“上癮”，進(jìn)而將來對物理難題挑戰(zhàn)，而不是在中學(xué)這個個性張揚(yáng)，青春洋溢的季節(jié)用數(shù)學(xué)把未來的物理大師嚇走.此題后來果真出現(xiàn)在30屆（2013）全國中學(xué)生物理競賽決賽考試試題上，但筆者深信，如果沒有事先碰到過這個題目，讓學(xué)生從頭分析起，很難在短時間內(nèi)完成.如果競賽通過事前題海戰(zhàn)術(shù)來背題，競賽對學(xué)習(xí)物理的作用就打折了.

（2）接觸與脫離問題在工程很常見，但是本題的條件太特殊.不管是筆者解法，還是前面提及的其它作者解法，都很難進(jìn)行拓展.比如這里的mA=mB=m的限制.如果mA≠mB，質(zhì)心的軌跡將會是橢圓.除了葉文的解析一和解析二能處理外（會很繁），其他作者（包括筆者的上一節(jié)方法）都應(yīng)用不了.再比如，水平與豎直墻面的垂直的幾何關(guān)系如果沒有，也很難解出答案.

（3）適當(dāng)習(xí)題訓(xùn)練是必要的，但是針對特殊問題的特殊解法在教育和教學(xué)中應(yīng)該避免.我們不要讓學(xué)生成天忙于求解特殊題型和記住對應(yīng)的特殊解法.這些教學(xué)訓(xùn)練環(huán)節(jié)大量占用了學(xué)生對物理學(xué)美的享受，而且這些近乎殘酷的訓(xùn)練在應(yīng)試完畢后就幾乎全忘了.

（4）將特定知識的適用范圍拓廣是科學(xué)發(fā)展的最重要動力，在教學(xué)中它應(yīng)被更為強(qiáng)調(diào).這樣才能讓學(xué)生在應(yīng)試之后，保有對科學(xué)研究的興趣和動力.今天會解多少怪題不重要，將來對研究有執(zhí)著才重要.

（5）有些問題中學(xué)知識解決不了，或者就像本題，即使能解也很費(fèi)勁，也難以推廣.作為教師，應(yīng)該鼓勵學(xué)生定性地思考這些問題的影響因素，以及了解這類問題通用解法所需要的知識.鼓勵他們將來大學(xué)階段好好掌握高級的通用工具.隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在的數(shù)值軟件和符號運(yùn)算軟件是未來的通用技術(shù)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生課余了解這方面的工具.

（6）物理教學(xué)不要玩文字游戲.比如圖3（a）所示的圓盤受力分析，有些教師特別強(qiáng)調(diào)斜面沒有彈力，認(rèn)為圖3（a）是錯誤的.其實大可不必說圖3（a）是錯誤的.如果圓盤同斜面碰撞，斜面就可以有彈力.即使靜止不動，通過平衡方程補(bǔ)充NB= 0也不是什么大不了的事情.有的教師堅持接觸的物體有彈性形變才有彈力，但是模型都是一定實際對象的簡化，實際對象都是有彈性的.把圖3（a）的圓盤當(dāng)成彈性圓盤更有工程價值和教學(xué)意義.其實圖1模型中墻面和地面當(dāng)作了剛體處理，彈性形變?yōu)榱?，照樣有彈?再比如圖3（b）中在水平力F的作用下，A和B發(fā)生勻速運(yùn)動.有的教師堅持A和B之間沒有摩擦力，筆者則認(rèn)為“A和B之間摩擦力為零”的說法容易拓展.前者的理由是物體之間沒有相對滑動，其實沒有相對滑動也可以有摩擦力，圖3（c）所示的純滾動的輪子，在接觸點(diǎn)就沒有相互滑動，但是仍有摩擦力.我們要習(xí)慣于“零度，零勢能，零彈力，零摩擦力”這些說法，它們不是沒有對應(yīng)的物理量，而是量值為零.采用這些說法，就容易將中學(xué)教材里靜態(tài)的和簡單的物理現(xiàn)象和規(guī)律拓展到有工程意義的復(fù)雜問題.

圖 3

再比如有些教師強(qiáng)調(diào)“機(jī)械能守恒”要求動能和勢能要有變化［29］，筆者認(rèn)為這完全沒有必要.“機(jī)械能守恒”一方面是大自然規(guī)律的刻畫，但更重要的是便于使用，而采用“動能和勢能總和保持不變”有更大適用范圍.其實，機(jī)械能守恒也是發(fā)展的、專業(yè)性的術(shù)語，并非終極、一統(tǒng)的概念.比如，牛頓時代的萊布尼茲研究過動能守恒，機(jī)械能中的勢能直到1853年才由Rankine正式提出［30］，而在這之前焦耳和邁耶已經(jīng)建立了現(xiàn)代意義上的能量守恒與轉(zhuǎn)化定律.此外，在科技表達(dá)方面，漢語模糊性本來就比英語要大一些，所以千萬不要用文字游戲絆住喜歡物理的學(xué)生.

3 商榷

第1節(jié)討論的例題頻繁出現(xiàn)，筆者搜集到文獻(xiàn)有26篇［1-26］，其中最早一篇的模型不是兩小球，而是兩小車［7］（直到最近還有把小球A理解成能降到地面的［25］）.下面主要對文［1］和文［6］中有關(guān)內(nèi)容，談?wù)劰P者的看法.

（1）葉文解法一式（7）和解法二式（4）之間差一個符號.如果能把角坐標(biāo)的正轉(zhuǎn)向規(guī)定好，就能避免這樣問題.角坐標(biāo)的起始邊應(yīng)為固定邊.比如圖2中的地面為起始邊，而從地面到AB桿順時針為角坐標(biāo)的正方向.一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)向都是沿角坐標(biāo)的正轉(zhuǎn)向.解法一的式（8）的角速度平方小于零，也是源于角坐標(biāo)的正轉(zhuǎn)向問題.解法二式（3）不涉及求導(dǎo)和積分，所以符號問題沒有表現(xiàn)出來.形成良好的坐標(biāo)習(xí)慣，在分析復(fù)雜問題時才不至于符號出錯.

（2）葉文隨后的論述“A脫離墻壁之后系統(tǒng)的重力勢能仍在不斷減小，而A在水平方向上的速度顯然由零開始增加，所以B在水平方向的速度必然減少——這是一個非常重要的結(jié)論”的充分性不夠.B在水平方向的速度必然減少是因為水平方向動量守恒和A速度的水平分量增加，與而之前的“A脫離墻壁之后系統(tǒng)的重力勢能仍在不斷減小”沒有直接關(guān)系（葉文的表述易誤導(dǎo)讀者——認(rèn)為“A脫離墻壁之后系統(tǒng)的重力勢能仍在不斷減小”為論證依據(jù)）.基于極值方法幾乎都存在這樣“B速度最大”論證不充分問題［8-21］，雖然本題中確實是極值.

（3）葉文解析三的基點(diǎn)法有限制條件:基點(diǎn)的加速度要為零.恰好本題在脫離瞬間B的加速度確實為零.如果不受限制地推廣，那么來看初始時刻.在初始時刻，各處速度為零，角速度也為零，當(dāng)然A繞B的向心加速度為零.按照這樣演繹，可解得aA=0這個無厘頭的結(jié)果.文獻(xiàn)［22～24］所堅持的坐標(biāo)變換法也存在同樣問題.

（4）初文［6］的解析1論證了系統(tǒng)水平方向動量px最大，但進(jìn)而簡單地認(rèn)為B球動量也最大.這時應(yīng)該補(bǔ)充這樣的論證:脫離時刻px向右，大于脫離前任一時刻，而脫離之后px不變（系統(tǒng)水平方向動量守恒），由于墻壁的限制作用，脫離之后短時間內(nèi)A動量的水平分量只能向右，這只能讓B的動量減少，以保證系統(tǒng)水平方向動量守恒，所以在脫離時刻B動量達(dá)到最大（這也是初文的解析2和3之基礎(chǔ)）.如果像圖4這樣的模型，則未必能夠保證在A脫離時刻，B的動量最大.

圖 4

（5）初文解析2中的A球相對C的水平速度是向左vB/2，而不是向右.

（6）在初文解析3的圖5中，兩個vB方向相反.vB作為矢量，在圖中這樣表示容易誤解它的方向.

（7）本題的物理過程在脫離前后分為兩個階段，兩個階段的數(shù)學(xué)函數(shù)顯然不同.如果對應(yīng)的物理參數(shù)是連續(xù)的，那么從前一階段向后推，取極限得到的脫離點(diǎn)的參數(shù)與從后一階段向前推到脫離點(diǎn)的參數(shù)將是相同的.如果無法保證物理參數(shù)是連續(xù)性，則不能這樣推斷，比如圖4所示的模型（再比如AB桿在初始放手之后和放手之前也不能這樣推）.本題的作用力在A脫離前后連續(xù)變化，相應(yīng)的速度連續(xù)可微，所以能通過求導(dǎo)的方式找到臨界脫離點(diǎn).

4 結(jié)語

作者認(rèn)為這種需要高度數(shù)學(xué)技巧的物理題目不宜作為高考模擬題.物理離不開數(shù)學(xué)，但中學(xué)階段的物理教學(xué)應(yīng)是通過簡單的數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)物理概念和物理學(xué)的美，而不是在現(xiàn)階段就要求學(xué)生為了解物理題去花大量的時間來掌握某些數(shù)學(xué)“秘籍”.一方面這些“秘籍”讓學(xué)生對物理有畏難情緒.另外一方面對物理的真正研究也不使用這些初等“秘籍”.優(yōu)秀的物理教師應(yīng)該讓學(xué)生對物理感興趣.只要學(xué)生能對物理有興趣，將來大學(xué)或研究階段，自然會下功夫把所需要數(shù)學(xué)工具學(xué)好.教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生定性分析物理現(xiàn)象的本質(zhì)，以及讓學(xué)生初步了解將來物理研究所需要的通用工具.

希望上述觀點(diǎn)能被教育評估者認(rèn)可，被教育實施者認(rèn)可.

［1］葉玉琴.一道力學(xué)題的求解及感悟［J］.中學(xué)物理，2011，29（21）:20-22.

［2］肖光宏.也談“一道力學(xué)題的求解及感悟”［J］.中學(xué)物理，2012，30（19）:51-52.

［3］魯良根.補(bǔ)議《一道力學(xué)題的求解及感悟》［J］.中學(xué)物理，2012，30（19）:49.

［4］趙杰.巧用三角函數(shù)再解這道力學(xué)題［J］.中學(xué)物理，2012，30（1）:67-68.

［5］汪飛.《對一道力學(xué)題的求解及感悟》中例題解法的再補(bǔ)充［J］.中學(xué)物理，2013，31（17）:48-49.

［6］初毅，豆詩霞.“華山險路”—只此一條難題求解—豈能有限［J］.中學(xué)物理，2012，30（13）:70-72.

［7］李虎駝.嚴(yán)謹(jǐn)思維的解題功能［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，1998，27（3）:14-15.

［8］袁少鑠.利用動量定理的獨(dú)立性解答物體分離問題［J］.廣東教育，2005，（7-8）:70-71.

［9］汪志杰.巧用機(jī)械能守恒定律求解連接體問題［J］.高中生，2006（18）:51-53.

［10］周琪兵.牽連物體的速度關(guān)系［J］.物理教師，2007，28（7）: 66-67.

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［23］汪飛.淺談轉(zhuǎn)換參考系在一類牽連物系問題中的應(yīng)用［J］.物理教師，2014，35（1）:88-89.

［24］邱剛.巧用錯題激發(fā)興趣培養(yǎng)能力—對一道科學(xué)性錯誤試題教學(xué)價值的探討［J］.物理教師，2014，35（8）:94-95.

［25］徐君生.動能定理的理解與應(yīng)用［J］.高中數(shù)理化，2013（19）:31-34.

［26］查清哲.數(shù)形結(jié)合，巧用剛體轉(zhuǎn)動知識解一道競賽題［J］.物理教師，2016，37（2）:97.

［27］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)（Ⅰ）［M］.7版.北京:高等教育出版社.2009，7:284.

［28］陳奎孚.理論力學(xué)自主學(xué)習(xí)解題輔導(dǎo)［M］.北京:中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2014（12）:286-289.

［29］李慶國.機(jī)械能守恒嗎？——對“機(jī)械能守恒定律”幾種錯誤理解的討論［J］.物理教學(xué)探討，2010，28（6）:39-40.

［30］Rankine.On the general law of the transformation of energy［J］.Philosophical Magazine Series 4.1853，5（30）:106-117.

HIGH SCHOOL PHYSICS EDUCATION SHOULD HIGHLIGHT THE CORNER STONE KNOWLEDGE AND UNDERLINE THE UNIVERSAL APPROACH

Chen Kuifu

（College of Science，China Agricultural University，Beijing 100083）

A sophisticated mechanics problem was discussed by many authors.In this paper a solution is presented，which can be assimilated with the requisite of high-school level knowledge of physics and mathematics.It is argued that physics education should nourish students with the beauty of physics，and improve their capability and ambition to appreciate the beauty of physics.The bad practice of examination orientation by cramming solutions to some special problems should be avoided in physics education.Some comments were made on the statements which appeared in literature discussing the aforementioned mechanics problem.

education；pedagogy；physics；the 2ndNewton law

2016-03-27；

2016-04-08

陳奎孚，男，教授，主要從事力學(xué)、生物物理科研和教學(xué)工作.Chen KuiFu@Hotmail.com

陳奎孚.中學(xué)物理教育應(yīng)該強(qiáng)基礎(chǔ)重通適——一位大學(xué)教師視角［J］.物理與工程，2016，26（4）:22-26.