何生生侯坤元?jiǎng)⒃?shī)琪吳明和滕保華

（1電子科技大學(xué)微電子與固體電子學(xué)院，四川成都 610054；2電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，四川成都 610054；3電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川成都 610054）

射彈動(dòng)力學(xué)方程的修正與超空泡形態(tài)

何生生1侯坤元2劉詩(shī)琪2吳明和3滕保華3

（1電子科技大學(xué)微電子與固體電子學(xué)院，四川成都 610054；2電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，四川成都 610054；3電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川成都 610054）

超空泡的形成對(duì)水下高速射彈運(yùn)動(dòng)有著非常重要的影響，為了更加全面地反映超空泡對(duì)水下射彈運(yùn)動(dòng)的作用以及超空泡的形態(tài)變化規(guī)律，通過(guò)對(duì)通常的射彈動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行修正，并結(jié)合Logvinovich原理，得到了在超空泡的影響下水下射彈的速度和位移的解析表達(dá)式，同時(shí)結(jié)合數(shù)值仿真研究了水下射彈運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的超空泡形態(tài)的變化規(guī)律.解析分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明，如果修正項(xiàng)系數(shù)越大，將導(dǎo)致射彈速度衰減得越快，完整空泡擴(kuò)展時(shí)間越短，空泡長(zhǎng)度越小，以及最大空泡截面半徑越小，從而越不利于超空泡的形成.

射彈動(dòng)力學(xué)方程；超空泡；Logvinovich方程

通常水下射彈在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，伯努利效應(yīng)將導(dǎo)致其周圍流體的壓力急速下降.當(dāng)壓力低于當(dāng)前溫度下飽和蒸氣壓時(shí)，就會(huì)有蒸氣形態(tài)的空泡形成.當(dāng)射彈速度足夠高時(shí)，空泡形成包絡(luò)，即形成超空泡.超空泡將射彈包裹在其中，使射彈只有少數(shù)幾點(diǎn)與周圍流體直接接觸，使得射彈在超空泡中的運(yùn)動(dòng)阻力遠(yuǎn)小于在水中的阻力，從而為提高射彈水下運(yùn)動(dòng)速度提供了一個(gè)非常有效的途徑［1-4］.

目前關(guān)于超空泡形態(tài)的研究，一方面基于相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行數(shù)值仿真研究［5-7］，另一方面也可根據(jù)相關(guān)原理并結(jié)合實(shí)驗(yàn)，解析和定量描述超空泡形態(tài)［8-10］.比如李魁彬等人利用Logvinovich原理和Riabouchinsky空泡閉合模型，研究了空泡形態(tài)的一些動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，并分析了首尾壓差對(duì)射彈速度的影響以及射彈運(yùn)動(dòng)時(shí)間對(duì)完整空泡擴(kuò)展時(shí)間的影響等［8］.本文通過(guò)計(jì)入一階阻尼項(xiàng)，修正了通常的射彈動(dòng)力學(xué)方程，并解析分析了修正項(xiàng)對(duì)超空泡形態(tài)的影響.

1 理論分析

以射彈初始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立絕對(duì)坐標(biāo)系x Oy，以射彈空化器為坐標(biāo)原點(diǎn)建立射彈相對(duì)坐標(biāo)系x Oy，x軸正方向?yàn)樯鋸椀倪\(yùn)動(dòng)方向，絕對(duì)時(shí)間軸t的相反方向?yàn)樯鋸椣鄬?duì)坐標(biāo)系的相對(duì)時(shí)間軸tx，如圖1所示.

圖1 射彈體運(yùn)動(dòng)圖示

通常的射彈動(dòng)力學(xué)方程［8］為其中，v為絕對(duì)坐標(biāo)系中射彈的速度；t為絕對(duì)坐標(biāo)系的時(shí)間；m為射彈的質(zhì)量；ρ為水的密度；Rn為空化器的半徑；Cx0為σ=0時(shí)的阻力系數(shù)；patm為大氣壓；H為射彈在水中的深度；g為重力加速度；pc為飽和蒸氣壓.式（1）可以簡(jiǎn)化為

可以看出，通常的射彈動(dòng)力學(xué)方程只包含速度的零階和二階阻尼項(xiàng)，考慮到更一般的運(yùn)動(dòng)物體所受到的阻尼與速度的零階、一階、二階項(xiàng)均有關(guān)，為更加全面地分析射彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本文添加關(guān)于速度的一階阻尼項(xiàng)αμv，從而得到修正的射彈動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)上述計(jì)入速度一階阻尼項(xiàng)后的射彈動(dòng)力學(xué)方程（3）可以發(fā)現(xiàn)，在不同速度條件下，速度的一階和二階阻尼項(xiàng)對(duì)射彈運(yùn)動(dòng)的影響是不同的.理論上可以知道，當(dāng)v＜μ時(shí)，速度的一階阻尼項(xiàng)對(duì)射彈運(yùn)動(dòng)的影響是主要；反之，速度的二階阻尼項(xiàng)才更為重要.同時(shí)計(jì)入速度一階阻尼項(xiàng)后，射彈動(dòng)力學(xué)方程依然可以解析求解，于是得到絕對(duì)坐標(biāo)系下射彈速度的解析表達(dá)式

以及絕對(duì)坐標(biāo)系下射彈位移的解析解

然后求解Logvinovich獨(dú)立擴(kuò)展方程［11］:

得到在絕對(duì)坐標(biāo)系下t時(shí)刻和ξ位移處空泡的截面積S（ξ，t）.這里k1=4π/A2，而A為微弱依賴于空泡數(shù)σ的系數(shù)，通常取經(jīng)驗(yàn)值2.

再通過(guò)坐標(biāo)變換式v（tx）=v（t-tx）x和x（tx）=x（t-tx）-x（t），將絕對(duì)坐標(biāo)系下的速度和位移解析式變換到射彈相對(duì)坐標(biāo)系，結(jié)合空泡的截面積S（ξ，t），最終得到射彈相對(duì)坐標(biāo)系中空泡截面半徑表達(dá)式:

2 數(shù)值仿真

根據(jù)上述一系列解析公式，將一階阻尼系數(shù)對(duì)射彈速度、射彈位移、空泡截面半徑的影響進(jìn)行數(shù)值仿真，在數(shù)值計(jì)算中相關(guān)參數(shù)的取值如下:

Rn=1.00×10-3m，m=0.15kg，l=0.06m，v0=1.00×103m·s-1，patm=1.01×105Pa，pc= 2.35×103Pa，H=10m，而下面各圖中不同線形的曲線對(duì)應(yīng)一階阻尼項(xiàng)系數(shù)μ分別取值0，45，110，200.

圖2為絕對(duì)坐標(biāo)系下射彈速度與時(shí)間的變化規(guī)律.可以看出，一階阻尼項(xiàng)對(duì)射彈速度有著明顯的影響，一階阻尼項(xiàng)系數(shù)μ值越大，射彈速度減小地越快.比如當(dāng)一階阻尼項(xiàng)系數(shù)為200時(shí)，經(jīng)過(guò)0.72s射彈速度由1.00×103m·s-1衰減為62.10m·s-1.

圖2 射彈速度隨時(shí)間的變化

圖3顯示了射彈位移與時(shí)間的變化規(guī)律.同樣可以明顯看出，一階阻尼項(xiàng)系數(shù)μ值越大，則射彈位移增加地越慢，達(dá)到平緩段所用的時(shí)間越短.比如，當(dāng)一階阻尼項(xiàng)系數(shù)為200時(shí)，經(jīng)過(guò)2.00s其位移為2.02×102m，此時(shí)速度更是衰減為3.70m·s-1.

圖3 射彈位移隨時(shí)間的變化

圖4 空泡截面半徑與時(shí)間的關(guān)系

圖4顯示出空泡截面半徑隨時(shí)間的變化規(guī)律.一階阻尼項(xiàng)系數(shù)μ越大，則完整空泡的擴(kuò)展時(shí)間越小.同時(shí)可以看出，一階阻尼項(xiàng)系數(shù)μ對(duì)空泡截面半徑的作用在空泡開(kāi)始處的影響作用不明顯，但在靠近空泡閉合處其影響作用非常明顯.特別地，取絕對(duì)時(shí)刻為0.70s和一階阻尼項(xiàng)系數(shù)為200，則相對(duì)時(shí)刻為6.00×10-4s時(shí)，空泡截面半徑為1.00×10-3m.根據(jù)Riabouchinsky空泡閉合模型［8］，此時(shí)空泡達(dá)到閉合狀態(tài)，因此在該條件下完整空泡的擴(kuò)展時(shí)間為6.00×10-4s.

為了更直觀地觀察超空泡的變化情況，圖5顯示出空泡截面與位移的變化關(guān)系.同時(shí)圖中給出了與已有經(jīng)驗(yàn)公式的比較，而經(jīng)驗(yàn)公式采用Savchenko［12］提出的空泡無(wú)量綱半徑公式

圖5 絕對(duì)時(shí)刻0.7s時(shí)空泡截面半徑與位移的關(guān)系

可以看出，當(dāng)一階阻尼項(xiàng)為零時(shí)，空泡截面半徑與經(jīng)驗(yàn)公式較為吻合.但是考慮一階阻尼項(xiàng)系數(shù)μ后（比如圖5中μ取45時(shí)），空泡截面半徑與經(jīng)驗(yàn)公式更為符合.并且還可看出，隨著一階阻尼項(xiàng)系數(shù)增大，則空泡的長(zhǎng)度越小，最大空泡截面積越小，這樣就越不利于超空泡的形成.比如，當(dāng)一階阻尼項(xiàng)系數(shù)為200時(shí)，經(jīng)過(guò)0.70s的時(shí)間，空泡長(zhǎng)度為3.86×10-2m，空泡截面最大半徑為3.20× 10-3m，射彈速度由1.00×103m·s-1已經(jīng)衰減為65.00m·s-1.

3 結(jié)語(yǔ)

首先通過(guò)添加一階阻尼項(xiàng)對(duì)射彈動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了修正，然后得到了修正的射彈動(dòng)力學(xué)方程的射彈速度和位移的解析表達(dá)式，并結(jié)合Logvinovich方程對(duì)超空泡形態(tài)進(jìn)行了數(shù)值研究.結(jié)果表明，一階阻尼項(xiàng)系數(shù)對(duì)射彈運(yùn)動(dòng)以及空泡形態(tài)都有明顯的影響.當(dāng)一階阻尼項(xiàng)系數(shù)越大，則射彈速度衰減地越快，完整空泡的擴(kuò)展時(shí)間越短，空泡長(zhǎng)度越小，空泡截面最大半徑也越小，這樣就越不利于空泡的形成.

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THE MODIFIED EQUATION OF PROJECTILE MOTION AND SUPERCAVITY SHAPE

He Shengsheng1Hou Kunyuan2Liu Shiqi2Wu Minghe3Teng Baohua3

（1School of Microelectronics and Solid-State Electronics；2School of Communication&Information Engineering；3School of Physical Electronics；University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，Sichuan 610054）

The supercavity has a great influence on the underwater projectile high speed motion.In order to more comprehensively reflect the influence of cavity section on the underwater projectile motion and the changes of supercavity shape，this paper modifies the common equation of motion and obtains the analytical solution of speed and displacement of underwater projectiles based on Logvinovich’s principle.Then using numerical simulation，this paper studies the changes of supercavity shape during the underwater projectile motion.Analytical and numerical results show that the bigger correction factor，the faster the velocity decays，the shorter the expansion time of the complete cavity，the shorter the length of cavity，and the smaller the biggist radius of cavity section，which is adverse to the formation of cavity section.

equation of projectile motion；supercavity；equation of Logvinovich

2015-09-27

2016-02-01

何生生，男，電子科技大學(xué)微電子專業(yè)本科生.

指導(dǎo)老師:滕保華，男，教授，從事凝聚態(tài)物理研究和大學(xué)物理教學(xué)工作.

何生生，侯坤元，劉詩(shī)琪，等.射彈動(dòng)力學(xué)方程的修正與超空泡形態(tài)［J］.物理與工程，2016，26（4）:96-99.