劉　鈺，韓　峰，陸希成

(西北核技術(shù)研究所,西安710024)

?

多態(tài)系統(tǒng)電磁脈沖易損性概率置信下限的貝葉斯估計

劉鈺，韓峰，陸希成

(西北核技術(shù)研究所,西安710024)

針對多態(tài)系統(tǒng)電磁脈沖易損性評估問題，提出了基于貝葉斯理論的多態(tài)系統(tǒng)電磁脈沖易損性概率置信下限估計方法。分別基于貝葉斯方法及經(jīng)典統(tǒng)計方法，給出了多態(tài)系統(tǒng)電磁脈沖易損性概率置信下限及效應(yīng)實驗達到給定狀態(tài)概率所需最小樣本量的計算方法。通過算例，對文中提出的方法進行了驗證和比較。在無信息先驗條件下，貝葉斯方法與經(jīng)典方法計算結(jié)果較為接近，概率置信下限和所需最小樣本量的估計結(jié)果主要依賴于當(dāng)前實驗信息；當(dāng)先驗信息具有顯著傾向時，若當(dāng)前實驗信息與先驗信息一致，則基于貝葉斯方法計算的概率置信下限更加準(zhǔn)確，且所需最小樣本量明顯少于經(jīng)典統(tǒng)計方法的計算結(jié)果。

貝葉斯方法；多態(tài)系統(tǒng)；易損性；概率置信下限

隨著大規(guī)模集成電路的發(fā)展，電子設(shè)備的結(jié)構(gòu)越來越微型化、復(fù)雜化，電子系統(tǒng)抗電磁脈沖能力不斷降低[1-3]，強電磁脈沖與孔縫、天線和線纜作用，極易使系統(tǒng)出現(xiàn)干擾、翻轉(zhuǎn)、擾亂、降級和損壞等多種效應(yīng)狀態(tài)[4-6]，電磁脈沖輻射場已對現(xiàn)代電子設(shè)備的安全運行構(gòu)成了一定的威脅[7-11]。

電子系統(tǒng)在給定電磁脈沖輻射水平作用下，各狀態(tài)的發(fā)生概率或概率置信下限，是表征電子系統(tǒng)電磁脈沖易損性或系統(tǒng)抗電磁脈沖能力的主要量化指標(biāo)[12-13]。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，電子系統(tǒng)中的子系統(tǒng)或單元部件的功能不斷增強，造價也不斷提高，進行系統(tǒng)級電磁脈沖易損性分析時，通常存在試驗費用昂貴和受試系統(tǒng)樣本數(shù)少的問題，需要在小子樣條件下對系統(tǒng)的抗電磁脈沖能力做出較為準(zhǔn)確的評判。

近年來，有關(guān)成敗型貝葉斯統(tǒng)計方法的研究已經(jīng)較為成熟[14-16]，但能夠解決多態(tài)系統(tǒng)易損性概率置信下限估計問題的小子樣統(tǒng)計分析方法仍較為缺乏。針對此問題，本文提出了基于貝葉斯方法的多態(tài)系統(tǒng)電磁脈沖易損性概率置信下限估計方法。

1多態(tài)系統(tǒng)概率置信下限的估計方法

1.1經(jīng)典統(tǒng)計方法

若系統(tǒng)存在K種功能狀態(tài),其狀態(tài)空間表示為{1,2,…,K}，K∈Z+且K≥2。若K=2，多態(tài)型部件退化為成敗型部件。將部件完全失效狀態(tài)定義為狀態(tài)1，部件完全正常狀態(tài)定義為狀態(tài)K。且部件狀態(tài)滿足如下性質(zhì)[17]：

1)系統(tǒng)必須處于某種功能狀態(tài)；

2)系統(tǒng)只能處于一種功能狀態(tài)。

(1)

對多項分布的概率密度函數(shù)進行變換：

(2)

(3)

其中，f(yj|pj)為二項分布密度函數(shù)；f(y′|p′)為K-1維多項分布，即

(4)

(5)

=f(yj|pj)

(6)

式(6)表明，f(y|p)關(guān)于第j個狀態(tài)的樣本數(shù)yj的邊緣概率分布服從二項分布，其概率密度函數(shù)為f(yj|pj)，即多項分布的參數(shù)估計問題可以簡化為二項分布的參數(shù)估計問題。

根據(jù)式(4)，在n次試驗中，單元器件功能處于狀態(tài)j的概率置信下限可由式(7)確定[21]：

(7)

其中，Ix(a,b)為不完全β函數(shù)[21]。

對給定的置信度γ，單元器件狀態(tài)j發(fā)生概率置信下限pjL可根據(jù)式(8)確定：

(8)

同樣，根據(jù)式(8)，若給定置信度γ、狀態(tài)j發(fā)生概率達到預(yù)先給定的下限pjL及試驗的總數(shù)n，可計算出實驗中狀態(tài)j所需的最小樣本數(shù)yj。

1.2貝葉斯方法

設(shè)有n件產(chǎn)品進行了實驗，實驗結(jié)果為y=[y1,y2,…,yk]T，其中，yk個樣本處于第k個狀態(tài)，則試驗數(shù)據(jù)yk服從多項分布式(1)，設(shè)單元產(chǎn)品各狀態(tài)概率p={p1,…,pk}的先驗分布服從Dirichlet分布，則

(9)

其中，α={α1，…，αK}是參數(shù)向量；αk>0，k=1,2,…，K。Γ(·)為Gamma函數(shù)[22]。

根據(jù)Bayes理論，則p的后驗密度為

(10)

(11)

其中，π(pj|αj)為Beta分布密度函數(shù)；π(p′|α′)為K-1維Dirichlet分布，即

(12)

(13)

若計算π(p|α)關(guān)于pj的邊緣概率分布，則

=π(pj|αj)

(14)

由式(14)可知，π(p|α)關(guān)于狀態(tài)j的發(fā)生概率pj的邊緣概率分布服從Beta分布，其概率密度函數(shù)為π(pj|αj)。因此，Dirichlet分布的參數(shù)估計問題可以簡化為Beta分布的參數(shù)估計問題。

置信度為γ的狀態(tài)j發(fā)生概率置信下限pjL，可由式(15)確定[23]：

(15)

同樣，根據(jù)式(15)，若給定置信度γ，狀態(tài)j發(fā)生概率達到預(yù)先給定的下限pjL及試驗總數(shù)n，可計算給出實驗中狀態(tài)j所需的最小樣本數(shù)yj。計算結(jié)果可用于設(shè)計評估單元器件在給定電磁作用水平下，各狀態(tài)發(fā)生概率達到預(yù)先設(shè)定下限的實驗。

2算例分析

算例1：假設(shè)對某多態(tài)系統(tǒng)進行實驗，設(shè)參與試驗的器件總數(shù)為n，作用水平為x，實驗后分別處于狀態(tài)1(失效)的個數(shù)為y1，狀態(tài)2(降級)的個數(shù)為y2，狀態(tài)3(正常)的個數(shù)為y3。取n=5，置信度γ=0.9，分別根據(jù)經(jīng)典方法和Bayes方法對單元器件各狀態(tài)概率置信下限進行計算，結(jié)果如表1所列，其中，Bayes方法1和Bayes方法2分別表示不同α取值情況下的計算結(jié)果。

計算結(jié)果表明，先驗信息對計算結(jié)果有較大的影響，當(dāng)先驗信息與當(dāng)前實驗信息不相符時，單元器件各狀態(tài)概率置信下限的計算結(jié)果與實驗現(xiàn)象的直觀認(rèn)識有較大的出入，這說明在應(yīng)用貝葉斯方法解決小樣本實驗統(tǒng)計問題時，需要特別注意先驗信息的選擇，在沒有更準(zhǔn)確的先驗信息時，可以選擇無偏向的Jeffreys無信息先驗，以保證對統(tǒng)計結(jié)論不帶人為主觀影響。

算例2 ：仍以算例1的3種狀態(tài)情況為例，在給定置信度γ的情況下，計算驗證單元器件失效概率達到預(yù)先給定的p1L時，出現(xiàn)失效實驗結(jié)果所需的最小樣本數(shù)y1。

表2列出了采用經(jīng)典方法對實驗所需樣本量的計算結(jié)果(向上取整后的值)。由表2可以看出，單元器件失效概率p1L達到較高的要求時，用經(jīng)典方法計算需要的驗證實驗次數(shù)較多，而實際上由于受到很多因素的限制，常常不可能進行大量的實驗。

表1γ=0.9，n=5時，各狀態(tài)不同樣本量對應(yīng)的概率置信下限

表2γ=0.9時，y1狀態(tài)結(jié)果所需最少試驗次數(shù)(經(jīng)典方法)

表3列出了先驗分布參數(shù)α=[0.5,0.5,0.5]時，采用貝葉斯方法對實驗所需樣本量的計算結(jié)果。由表3可以看出，在無信息先驗情況下，單元器件失效概率達到預(yù)先給定的p1L時，實驗所需樣本量的計算結(jié)果與經(jīng)典方法相差不大，說明無信息的先驗分布并未對當(dāng)前實驗信息帶來影響。

表3γ=0.9時，y1狀態(tài)結(jié)果所需最少試驗次數(shù)

表4列出了先驗分布參數(shù)α=[10,1,2]時，采用貝葉斯方法對實驗所需樣本量的計算結(jié)果。

表4γ=0.9時，y1狀態(tài)結(jié)果所需最少試驗次數(shù)

α=[10,1,2]反映了對失效概率p1L的先驗認(rèn)識，根據(jù)Dirichlet分布均值的定義，p1L的先驗均值估計[21]為

(16)

3結(jié)論

針對多態(tài)系統(tǒng)電磁脈沖易損性概率置信下限估計問題進行了研究，在實驗樣本數(shù)據(jù)為小樣本多態(tài)型數(shù)據(jù)的情況下，建立了相應(yīng)的貝葉斯評估方法，具體內(nèi)容包括：

1) 基于經(jīng)典統(tǒng)計方法給出了多態(tài)系統(tǒng)電磁脈沖易損性概率置信下限及效應(yīng)實驗達到給定狀態(tài)概率所需最小樣本量的計算方法。

2)給出了多態(tài)系統(tǒng)電磁脈沖易損性概率置信下限及效應(yīng)實驗達到給定狀態(tài)概率所需最小樣本量的貝葉斯方法。

3) 通過算例對文中提出的方法進行了驗證和比較。在無信息先驗條件下，貝葉斯方法與經(jīng)典方法計算結(jié)果較為接近，此時，概率置信下限和所需最小樣本量的估計結(jié)果主要依賴于當(dāng)前實驗信息；當(dāng)先驗信息具有顯著傾向時，若當(dāng)前實驗信息與先驗信息一致，則基于貝葉斯方法的概率置信下限計算結(jié)果更加準(zhǔn)確，且所需最小樣本量明顯少于經(jīng)典統(tǒng)計方法。應(yīng)用貝葉斯方法時，對先驗信息應(yīng)進行嚴(yán)格的甄別，避免引入不符合實際的人為主觀假設(shè)，以至于影響對效應(yīng)實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析結(jié)論。

[1]NITSCH D, CAMP M, SABATH F, et al. Susceptibility of some electronic equipment to HPEM threats[J]. IEEE Trans Electromagn Compat, 2004, 46(3): 380-389.

[2]喬登江. 高功率電磁脈沖、 強電磁效應(yīng)、 電磁兼容、 電磁易損性及評估概論[J]. 現(xiàn)代應(yīng)用物理, 2013, 4(3): 219-224. (QIAO Deng-jiang. Introduction to HPEMP, IEME, EMC, and EM susceptibility and its assessments[J]. Modern Applied Physics, 2013, 4(3): 219-224.)

[3]王建國, 牛勝利, 張殿輝, 等. 高空核爆炸效應(yīng)參數(shù)手冊[M]. 北京: 原子能出版社, 2010.(WANG Jian-guo, NIU Sheng-li, ZHANG Dian-hui, et al. Parameter Handbook of High Altitude Nuclear Explosion Effects [M]. Beijing: Atomic Energy Press, 2010.)

[4]孟凡寶. 高功率超寬帶電磁脈沖技術(shù)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2011. (MENG Fan-bao. High Power EM Pulse Technology[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2011.)

[5]GIRI D V, TESCHE F M. Classification of intentional electromagnetic environments (IEME) [J]. IEEE Trans Electromagn Compat, 2004, 46(3): 322-328.

[6]王建國, 劉國治, 周金山. 微波孔縫線性耦合函數(shù)研究[J]. 強激光與粒子束, 2003, 15(11): 1 093-1 099.(WANG Jian-guo, LIU Guo-zhi, ZHOU Jin-shan. Investigations on function for linear coupling of microwaves into slots[J]. High Power Laser and Particle Beams, 2003, 15(11): 1 093-1 099.)

[7]HOAD R, CATER N J, HERKE D, et al. Trends in EM susceptibility of IT equipment [J]. IEEE Trans Electromagn Compat, 2004, 46(3): 390-395.

[8]GENENDER E, GARBE H, SABATH F. Probabilistic risk analysis technique of intentional electromagnetic interference at system level [J]. IEEE Trans Electromagn Compat, 2014, 56(1): 200-207.

[9]RADASKY W A, BAUM C E, WIK M W. Introduction to the special issue on high-power electromagnetics (HPEM) and intentional electromagnetic interference (IEMI)[J]. IEEE Trans Electromagn Compat, 2004, 46(3): 314-321.

[10]GREASON W D, CASTLE G S P. The effects of electrostatic discharge on microelectronic devices: A review [J]. IEEE Trans Ind Appl, 1984, 20(2): 247-252.

[11]CAMP M, GARBE H. Susceptibility of personal computer systems to fast transient electromagnetic pulses[J]. IEEE Trans Electromagn Compat, 2006, 48(4): 829-834.

[12]韓峰, 王建國, 喬登江. 對數(shù)正態(tài)分布場合下產(chǎn)品加固性能的Bayes評估方法[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計, 2009, 25(4): 433-440.(HAN Feng, WANG Jian-guo, QIAO Deng-jiang. Bayesian assessment for product’s radiation hardening performance under Lognormal distribution [J]. Chinese Journal of Applied Probability and Statistics, 2009, 25(4): 433-440.)

[13]CAMP M, GERTH H, GARBE H,et al.Predicting the breakdown behavior of microcontrollers under EMP/UWB impact using a statistical analysis[J]. IEEE Trans Electromagn Compat, 2004, 46(3): 368-379.

[14]孫蓓云, 周輝, 陳向躍, 等. 基于Weibull分布的電磁脈沖損傷函數(shù)Bayesian分析技術(shù)[J]. 核電子學(xué)與探測技術(shù), 2009, 29(6): 1 363-1 365.(SUN Bei-yun, ZHOU Hui, CHEN Xiang-yue, et al. Bayesian analysis for EMP damaged function based on Weibull distribution [J]. Nuclear Electronics & Detection Technology, 2009, 29(6): 1 363-1 365.)

[15]MARTZ H F, WALLER R A. Bayesian reliability analysis of complex series/parallel systems of binomial subsystems and components [J]. Technometrics, 1990, 32(4): 407-416.

[16]MARTZ H F, WALLER R A, FICKAS E T. Bayesian reliability analysis of series systems of binomial subsystems and components [J]. Technometrics, 1988, 30(2): 143-154.

[17]LI C Y, CHEN X, YI X S, et al. Interval-valued reliability analysis of multi-state systems [J]. IEEE Trans Reliab, 2011, 60(1): 323-330.

[18]LISNIANSKI A, ELMAKIAS D, LAREDO D,et al. A multi-state Markov model for a short-term reliability analysis of a power generating unit [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2012, 98(1): 1-6.

[19]DING Y, ZUO M J, LISNIANSKI A, et al. Fuzzy multi-state systems: General definitions, and performance assessment [J]. IEEE Trans Reliab, 2008, 57(4): 589-594.

[20]DESTERCKE S, SALLAK M. An extension of universal generating function in multi-state systems considering epistemic uncertainties [J]. IEEE Trans Reliab, 2013, 62(2): 504-514.

[21]周源泉, 翁朝曦. 可靠性評定[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1990. (ZHOU Yuan-quan, WENG Chao-xi. Reliability Assessment [M]. Beijing: Science Press, 1990.)

[22]LI M Y, LIU J, LI J, et al. Bayesian modeling of multi-state hierarchical systems with multi-level information aggregation [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2014, 124(1): 158-164.

[23]蔡洪, 張士峰, 張金槐. Bayes試驗分析與評估[M]. 長沙: 國防科技大學(xué)出版社, 2004. (CAI Hong, ZHANG Shi-feng, ZHANG Jin-huai. Bayes Test Analysis and Evaluation [M]. Changsha: National University of Defense Technology Press, 2004.)

Susceptibility Assessment of Multi-State System to EMP with Lower Confidence Limit of Probability Based on Bayesian Method

LIU Yu,HAN Feng,LU Xi-cheng

(Northwest Institute of Nuclear Technology,Xi’an710024,China)

An assessment method of the lower confidence limit of probability based on Bayesian theory, which can be used in the susceptibility assessment of the electronic system to electromagnetic pulse (EMP), is proposed. According to the multi-state phenonmenon of the electronic system and the feature of its EMP effects, the derivations of full probability formula from multinomial and Dirichlet distribution are discussed. The lower confidence limit of each system state probability and the least number of trials with given probability can be determined by using the proposed method. A case demonstrates that, the differences between the results of the proposed method and the classical statistical method are not significant with the non-information prior. But when the prior information is strictly according to the sample information of current experiments, the accuracy of the estimation of each system state probability is improved and the requirement of the number of trials is reduced by the proposed method.

Bayesian method;multi-state system;susceptibility;lower confidence limit of probability

2016-05-12；

2016-07-12

國家自然科學(xué)基金重點資助項目(61231003)； 國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(61201090)

劉鈺(1982- )，男，陜西西安人，助理研究員，博士研究生，主要從事系統(tǒng)輻射效應(yīng)評估研究。

E-mail:liuyu05@nint.ac.cn

TN07;N945.17

A

2095-6223(2016)031201(6)