楊丹

在糾錯中前行，在解析中成長

楊丹

概率是中考必考的知識點，同學(xué)們會感到初學(xué)并不困難，可一旦遇到具體問題，卻常常出錯.下面就以概率解題中同學(xué)們常遇到的問題為例，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、對事件發(fā)生的等可能的結(jié)果列舉不全

1.對機(jī)會的等可能性理解不透徹導(dǎo)致錯誤

例1甲、乙、丙、丁四人參加某校教師招聘考試，試后甲、乙兩人去詢問成績.評委對甲說：“恭喜你，你不是最差的，丙是最差的.”對乙說：“四人的成績均不相同，但可惜你未能獲得第一名.”請你根據(jù)回答的內(nèi)容進(jìn)行分析，這四人的名次排列可能共有幾種不同的情況.

【錯解】答案空在那兒或胡亂寫一個答案.

【正解】根據(jù)評委的話，可以將整個事件看成兩個部分組成：應(yīng)聘者，考試名次.將條件整理成表格形式.

名次1甲2 3 4 ×乙× ×丁丙× × ×√×

由表格可知：甲的名次可能是1或2或3，乙的名次可能是2或3，丁的名次可能是1或2或3，丙為第四名.所以所有等可能的結(jié)果為：甲1乙2丙4丁3，甲3乙2丙4丁1，甲2乙3丙4丁1，甲1乙3丙4丁2.

【學(xué)生自述】（1）題目提供的條件多而亂，感覺無從下手，便不會處理；（2）能夠確定丙的名次，但如何確定甲、乙、丁的名次沒有頭緒；（3）甲有3種情況，乙有2種情況，丁有3種情況，所以總共有3× 2×3=18（種）情況；（4）漏掉考慮甲3乙2丙4丁1和甲2乙3丙4丁1這兩種情況.

2.對問題中有無放回的理解出現(xiàn)錯誤

例2已知紅色和藍(lán)色在一起可配成紫色，現(xiàn)有三種顏色紅色、白色和藍(lán)色，從中任意取出兩種顏色來配紫色，問：能配出紫色的概率有多大？

【錯解】畫樹狀圖（也可列表格）：

所有等可能的結(jié)果共有9種，其中配出紫色的結(jié)果有2種，P（配出紫色）=.

【正解】畫樹狀圖：

所有等可能的結(jié)果共有6種，其中配出紫色的結(jié)果有2種，P（配出紫色）

【學(xué)生自述】沒有考慮到：在紅、白、藍(lán)三種顏色中，任意取出兩種顏色時，不能同時取出兩種相同的顏色.

【點評】事件中要進(jìn)行兩次或兩次以上選取時，請同學(xué)們根據(jù)實際情況分析和理解，切不可主觀臆斷和猜想，要有依有據(jù)地判斷是否有放回.

3.由于生活常識缺乏導(dǎo)致等可能結(jié)果錯誤

例3甲、乙兩隊進(jìn)行乒乓球團(tuán)體賽，比賽規(guī)則規(guī)定：兩隊之間進(jìn)行3局比賽，并且必須全部打完，贏滿2局的隊就可獲勝.假如甲、乙兩隊之間每局比賽輸贏的機(jī)會相同，且甲隊已經(jīng)贏得了第1局，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？

【錯解】畫樹狀圖：

第3局甲勝平乙勝甲勝平乙勝甲勝平乙勝

【正解】詳細(xì)解答可見《抓住例題本質(zhì)靈活解中考題》中變式3.

【學(xué)生自述】比賽的結(jié)果有三種情況：勝、平、負(fù)，特別是題目中強(qiáng)調(diào)“甲、乙兩隊之間每局比賽輸贏的機(jī)會相同”.

【點評】乒乓球在一局比賽中，先得11分的一方為勝方，10平后，先多得2分的一方為勝方，所以乒乓球比賽的結(jié)果只有兩種情況：“勝”或“負(fù)”.數(shù)學(xué)來源于生活，所以如乒乓球比賽的賽制這類生活常識同學(xué)們需了解.

二、由于對關(guān)注事件理解有誤

例4在某小學(xué)“演講大賽”選拔賽初賽中，甲、乙、丙三位評委對小選手的綜合表現(xiàn)，分別給出“待定”（用字母W表示）或“通過”（用字母P表示）的結(jié)論.請用樹狀圖表示出對于小選手琪琪，只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論的概率是多少？

【錯解】畫樹狀圖：

其中只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論的結(jié)果有4種，P（只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論）=

【正解】其中只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論的結(jié)果有2種，P（只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論）=

【學(xué)生自述】在看樹狀圖時只關(guān)注了甲、乙的結(jié)論是否一樣，并沒有考慮丙評委的結(jié)論與甲和乙的關(guān)系.

三、由于數(shù)學(xué)思想方法運用不靈活

例5（1）甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨機(jī)傳給乙、丙、丁中的某一人，從第二次起，每一次都由持球者將球再隨機(jī)傳給其他三人中的某一人，求第二次傳球回到甲手里的概率是多少？（請用“樹狀圖”或“列表”等方式給出解析過程）

（2）如果甲跟另外n（n≥2）個人做（1）中同樣的游戲，那么第三次傳球后球回到甲手里的概率是_________.

【錯解】第二小題空著或胡亂寫一個答案.

【正解】詳細(xì)解答可見《用好策略如虎添翼》中“找規(guī)律”的例題.

【學(xué)生自述】由于第2小題中n是一個字母，有很多種情況，就不知道如何來畫圖了；從第1小題的與三人傳球到與n人傳球，可以看出這個題目在找規(guī)律，但畫出了樹狀圖卻無法找出變化數(shù)字與關(guān)注結(jié)果的關(guān)系.

【點評】第2小題考查同學(xué)們的“化歸思想”，如果同學(xué)們遇到一個題目有多個小題，且每個小題所求的結(jié)論類似時，可以嘗試用第1小題的處理方式來解決之后的小題，這也是“化歸思想”想考查同學(xué)們的地方；遇到找規(guī)律的題目時，請注意處理方法：從n的最小值開始去研究題目要求的數(shù)量，不要怕繁瑣，直到所代入的數(shù)能從結(jié)果中發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止，只要將變化部分用字母代替，不變部分照抄就能得出規(guī)律.

（作者單位：江蘇省無錫市后宅中學(xué)）