薛小霞

數(shù)據(jù)來源于生活，服務(wù)于生活

薛小霞

7月剛落幕的歐洲杯讓人意猶未盡，而人們?cè)谟^看足球比賽時(shí)，往往喜歡預(yù)測(cè)哪個(gè)球隊(duì)會(huì)贏.如果僅僅依靠主觀想象去判斷，是不夠準(zhǔn)確的.要做出較為準(zhǔn)確的判斷，就要收集一定的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這3個(gè)統(tǒng)計(jì)量都是可以刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的，而同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要感悟這3個(gè)量的不同特征，在不同情況下恰當(dāng)?shù)剡x擇.

例1我們約定：如果身高在選定標(biāo)準(zhǔn)的±2%范圍之內(nèi)都稱為“標(biāo)準(zhǔn)身高”.為了解某校九年級(jí)男生符合“標(biāo)準(zhǔn)身高”的人數(shù)，我們從該校九年級(jí)男生中隨機(jī)選出10名男生，分別測(cè)量出他們的身高（單位：cm），收集并整理如下統(tǒng)計(jì)表：

①②③④⑤序號(hào)身高序號(hào)身高163⑥174 171⑦164 173⑧166 159⑨169 161⑩164

根據(jù)以上表格信息，解答如下問題：

（1）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

（2）請(qǐng)你選擇其中一個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為選定標(biāo)準(zhǔn)，找出這10名男生中符合“標(biāo)準(zhǔn)身高”的是哪幾位男生？并說明理由.

【分析】求平均數(shù)就是把所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相加，然后除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)；求中位數(shù)就是把所有數(shù)據(jù)從小到大排列，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則最中間的數(shù)據(jù)就是中位數(shù)，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)；求眾數(shù)可以采用唱票法，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)就是眾數(shù).統(tǒng)計(jì)是通過收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)來幫助人們對(duì)事物的發(fā)展作出合理的判斷.分析數(shù)據(jù)時(shí)，有時(shí)不一定有絕對(duì)化的判斷，只要合理即可.

解：（1）平均數(shù)：

∵把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：

159，161，163，164，164，166，169，171，173，174，

∵這組數(shù)據(jù)中164出現(xiàn)兩次，其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)一次，

∴眾數(shù)為164（cm）.

（2）多種選擇，合理即可.

若選平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)：身高x滿足166.4×（1-2%）≤x≤166.4×（1+2%）時(shí)為“標(biāo)準(zhǔn)身高”，即滿足163.072≤x≤169.728時(shí)為“標(biāo)準(zhǔn)身高”，此時(shí)⑦⑧⑨⑩號(hào)男生具有“標(biāo)準(zhǔn)身高”；

若選中位數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)：身高x滿足165×（1-2%）≤x≤165×（1+2%）時(shí)為“標(biāo)準(zhǔn)身高”，即滿足161.7≤x≤168.3時(shí)為“標(biāo)準(zhǔn)身高”，此時(shí)①⑦⑧⑩號(hào)男生具有“標(biāo)準(zhǔn)身高”；

若選眾數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)：身高x滿足164×（1-2%）≤x≤164×（1+2%）時(shí)為“標(biāo)準(zhǔn)身高”，即滿足160.72≤x≤167.28時(shí)為“標(biāo)準(zhǔn)身高”，此時(shí)①⑤⑦⑧⑩號(hào)男生具有“標(biāo)準(zhǔn)身高”.

例2李明、王林兩人參加奧賽班集訓(xùn)的11次測(cè)驗(yàn)成績?nèi)缦拢海▎挝唬悍郑?/p>

李明：99，100，100，95，93，90，98，100，93，90，98；

王林：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97.

（1）他們兩人的平均成績、中位數(shù)各是多少分？

（2）他們兩人的極差和方差各是多少？

（3）現(xiàn)要從中選一人參加比賽，歷屆比賽的成績表明，成績?cè)?8分以上才能進(jìn)入決賽，你認(rèn)為應(yīng)選誰參加這次比賽呢，為什么？

【分析】一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差.極差反映的是數(shù)據(jù)的變化范圍.方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，通常用s2來表示.極差、方差都是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的量，極差、方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，反之，波動(dòng)越小.

解：（1）李明的平均成績：

（3）可以選王林參加這次比賽.理由：王林的極差、方差比李明的小，說明王林總體發(fā)揮比李明穩(wěn)定，所以選王林參加這次比賽勝算大.

也可以選李明參加這次比賽.理由：雖然他們兩人的平均分都是96分，但李明成績的中位數(shù)是98分，而王林成績的中位數(shù)是96分，說明李明的“一般水平”或“中等水平”比王林高，即在大部分情況下，李明的成績都比王林高，所以也可以選李明參加這次比賽.

同學(xué)們，很多數(shù)學(xué)知識(shí)與我們的生活有著密切的聯(lián)系，學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，就能將這些數(shù)據(jù)所反映的信息服務(wù)于我們的生活.希望同學(xué)們能做一個(gè)學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的人.

小試身手

1.為了全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活及家庭的基本情況，加強(qiáng)學(xué)校、家庭的聯(lián)系，實(shí)驗(yàn)中學(xué)積極組織全體教師開展“課外訪萬家活動(dòng)”，王老師對(duì)所在班級(jí)的全體學(xué)生進(jìn)行家訪，了解到每名學(xué)生家庭的相關(guān)信息，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取15名學(xué)生家庭的年收入（單位：萬元）情況，數(shù)據(jù)如下表：

2.5 4 2年收入家庭數(shù)年收入家庭數(shù)2 1 5 2 3 9 1 3 5 1 3 1

（1）求這15名學(xué)生家庭年收入的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).

（2）你認(rèn)為用（1）中的哪個(gè)數(shù)據(jù)來代表這15名學(xué)生家庭年收入的一般水平較為合適？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

解∶（1）平均數(shù)：

這15名學(xué)生家庭收入的中位數(shù)為3萬元，眾數(shù)為3萬元.

（2）用中位數(shù)或眾數(shù)來代表這15名學(xué)生家庭收入的一般水平都合適.理由：雖然平均數(shù)為4.3萬元，但年收入達(dá)到4.3萬元的家庭只有4個(gè)，大部分家庭的年收入未達(dá)到這一水平，而中位數(shù)和眾數(shù)3萬元是大部分家庭可以達(dá)到的水平.

生活中，數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)只是數(shù)據(jù)分布的一個(gè)特征，而數(shù)據(jù)之間的差異如何，就需要考察數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，即數(shù)據(jù)的離散程度.數(shù)據(jù)的離散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)特征，它反映的是各個(gè)數(shù)據(jù)偏離中心值的程度.

2.為了從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人參加電腦知識(shí)競(jìng)賽，在相同條件下對(duì)他們的電腦知識(shí)進(jìn)行了10次測(cè)驗(yàn)，成績?nèi)缦拢海▎挝唬悍郑?/p>

甲：76，84，90，84，81，87，88，81，85，84；

乙：82，86，87，90，79，81，93，90，74，78.

（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?/p>

中位數(shù)甲乙平均數(shù)84 84 84眾數(shù)84 90方差14.4

（2）利用以上信息，請(qǐng)從三個(gè)不同的角度對(duì)甲、乙兩個(gè)同學(xué)的成績進(jìn)行分析.

解：（1）

甲乙平均數(shù)84 84中位數(shù)84 84眾數(shù)84 90方差14.4 34

（2）從平均數(shù)、中位數(shù)角度看，甲、乙兩同學(xué)水平相當(dāng)；從眾數(shù)角度看，乙同學(xué)的成績較好；從方差角度看，甲同學(xué)的成績比較穩(wěn)定.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）