牛華偉

(1. 南京審計(jì)大學(xué)金融學(xué)院， 南京 211815；2. 南京審計(jì)大學(xué)江蘇省金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 211800)

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代理成本與“信用價(jià)差之謎”

牛華偉1, 2

(1. 南京審計(jì)大學(xué)金融學(xué)院， 南京 211815；2. 南京審計(jì)大學(xué)江蘇省金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 211800)

作為一個(gè)內(nèi)生因素，企業(yè)中的代理問(wèn)題可能會(huì)惡化企業(yè)的信用風(fēng)險(xiǎn).通過(guò)將代理人與股東之間的最優(yōu)合約模型嵌入到Leland-Toft內(nèi)生違約框架中，研究了道德風(fēng)險(xiǎn)這一具體的代理問(wèn)題對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)及信用價(jià)差的影響機(jī)制.結(jié)論表明：企業(yè)中的道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題對(duì)企業(yè)信用風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生明顯影響，并且顯著增加信用價(jià)差；對(duì)于描述道德風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)鍵參數(shù)，論文建立的模型明確了它們?cè)谟绊懶庞脙r(jià)差中起到的作用.由此，論文從代理問(wèn)題的角度對(duì)“信用價(jià)差之謎”給出了合理解釋.此外，文中也給出了債券價(jià)值、股權(quán)價(jià)值和內(nèi)生違約邊界的顯性表達(dá)式.

信用價(jià)差； 委托代理； 道德風(fēng)險(xiǎn)； 信用風(fēng)險(xiǎn)； Poisson風(fēng)險(xiǎn)

0　引　言

企業(yè)債券的收益率相對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的價(jià)差直接決定了企業(yè)的融資成本，通常這個(gè)價(jià)差被稱為企業(yè)債券的信用價(jià)差(credit spread).由于信用風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致信用價(jià)差，因此在公司金融和資產(chǎn)定價(jià)中，主要的研究興趣之一便是如何計(jì)算信用風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致的違約概率.然而，如眾所周知，利用結(jié)構(gòu)化模型(structural models)計(jì)算違約概率會(huì)低估企業(yè)債券的信用價(jià)差，特別是債務(wù)期限較短的投資級(jí)債券.文獻(xiàn)[1]發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)化模型，如果用歷史違約率和回收率數(shù)據(jù)校準(zhǔn)模型參數(shù)，這些模型都會(huì)產(chǎn)生類似的信用價(jià)差，而這些信用價(jià)差均遠(yuǎn)低于實(shí)際價(jià)差的歷史平均水平.實(shí)際價(jià)差與模型得到的理論價(jià)差之間存在“寬缺口”(wide gap)的現(xiàn)象通常被稱為“信用價(jià)差之謎”[2].

通過(guò)已有的研究認(rèn)識(shí)到，信用價(jià)差不僅反映了由企業(yè)信用風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致的違約溢價(jià)，同時(shí)也反映了其它因素，如稅收、宏觀經(jīng)濟(jì)條件、流動(dòng)性溢價(jià)等*眾多研究已經(jīng)嘗試分析了影響信用價(jià)差的不同因素， 例如， Duffie和Singleton[3]，F(xiàn)eldhutter和Lando[4]，Ericsson和Renault[5]與 Longstaff等[6]..因此，近年來(lái)眾多學(xué)者已從宏觀經(jīng)濟(jì)條件、債券市場(chǎng)的流動(dòng)性、股權(quán)溢價(jià)等這些外生的因素解釋“信用價(jià)差之謎”[7-9].然而這些研究結(jié)果表明，即使考慮上述所有的外生因素，理論得到的信用價(jià)差仍顯著低于實(shí)際價(jià)差.Chen等[10]指出，解釋“信用價(jià)差之謎”的關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)到企業(yè)違約是逆周期的.而已有的理論研究表明，代理問(wèn)題也是逆周期的[11].這樣，除了上述諸多外生因素外，股東與代理人之間的委托代理問(wèn)題可能會(huì)內(nèi)生地惡化企業(yè)信用風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而影響信用價(jià)差*Collin-Dufresne等[12]及王安興等[13]分別對(duì)國(guó)外和國(guó)內(nèi)公司債價(jià)差及價(jià)差變化的決定因素進(jìn)行了研究， 結(jié)果發(fā)現(xiàn)理論上對(duì)信用價(jià)差有潛在解釋力的外生因素實(shí)際上對(duì)價(jià)差及價(jià)差變動(dòng)的解釋能力非常有限， 即使加入所有其他已知的潛在外生變量后， 也只能解釋價(jià)差變動(dòng)的35%左右..但目前學(xué)術(shù)界與業(yè)界將違約溢價(jià)與代理問(wèn)題獨(dú)立對(duì)待，從而忽略了代理問(wèn)題這個(gè)內(nèi)生因素對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)及信用價(jià)差的影響.

本文建立了一個(gè)理論模型，分析企業(yè)中的代理問(wèn)題對(duì)其信用風(fēng)險(xiǎn)的影響.具體的，本文考慮的代理問(wèn)題是動(dòng)態(tài)道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，它是由于代理人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理所付出的努力程度無(wú)法被觀察到而引起的，且道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題會(huì)影響低頻率的大規(guī)模損失(或稱為Poisson風(fēng)險(xiǎn))的發(fā)生概率*例如，對(duì)于工業(yè)和金融業(yè)企業(yè)而言，他們承受的大規(guī)模損失，對(duì)于前者是生產(chǎn)事故，對(duì)于后者是所管理資產(chǎn)的價(jià)值出現(xiàn)暴跌.而這些損失的發(fā)生與代理人不充分的風(fēng)險(xiǎn)防范相關(guān)，這意味著大規(guī)模損失的發(fā)生概率受到風(fēng)險(xiǎn)防范水平的影響，進(jìn)而受到代理人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理付出的努力程度的影響..代理人在工作中卸責(zé)將提高大規(guī)模損失發(fā)生的概率，而損失相應(yīng)的成本都將由股東承擔(dān)以避免企業(yè)破產(chǎn).股東與代理人之間的這種內(nèi)在矛盾表明，股東可能會(huì)選擇過(guò)早違約，而這種做法導(dǎo)致企業(yè)的信用風(fēng)險(xiǎn)惡化.將代理人與股東之間的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)合約模型嵌入到結(jié)構(gòu)化框架中[14-16].這個(gè)框架采用了Black和Cox[17]的內(nèi)生違約思想，因此，對(duì)于本文討論的問(wèn)題這個(gè)研究框架是理想的.為了促使代理人努力工作，在當(dāng)期沒(méi)有損失發(fā)生的前提下，股東將向代理人支付額外獎(jiǎng)金作為激勵(lì)；同時(shí)，如果大規(guī)模損失發(fā)生，股東將承擔(dān)產(chǎn)生的相應(yīng)成本.上述兩種成本統(tǒng)稱為代理成本.

為了分析道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)企業(yè)信用風(fēng)險(xiǎn)的影響，首先研究在動(dòng)態(tài)道德風(fēng)險(xiǎn)下代理人與股東之間的最優(yōu)合約.基于Biais等[18]發(fā)展的連續(xù)時(shí)間委托代理模型，本文推導(dǎo)出最優(yōu)合約的具體形式.考慮上述的代理成本，發(fā)展了Leland和Toft[15]的模型，得到股權(quán)價(jià)值.這樣，股權(quán)價(jià)值由企業(yè)的基礎(chǔ)價(jià)值(即企業(yè)無(wú)負(fù)債資產(chǎn)價(jià)值)和期望代理成本決定.當(dāng)股權(quán)價(jià)值跌為零時(shí)，企業(yè)將內(nèi)生地違約，債權(quán)人通過(guò)清算企業(yè)資產(chǎn)收回部分投資.同時(shí)，通過(guò)股權(quán)價(jià)值可得到企業(yè)的內(nèi)生違約邊界，計(jì)算出企業(yè)債券的市場(chǎng)價(jià)值或債券的收益率，進(jìn)而得到債券的信用價(jià)差.本文得到的關(guān)鍵結(jié)論是，由于存在代理成本道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題使得企業(yè)在擁有較高的基礎(chǔ)價(jià)值時(shí)違約.因此，債券的信用價(jià)差相對(duì)于不考慮代理問(wèn)題時(shí)將顯著增加.此外，建立的模型能夠量化分析道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題對(duì)信用價(jià)差的內(nèi)生影響.

近年來(lái)，國(guó)外已有較多研究“信用價(jià)差之謎”的相關(guān)文獻(xiàn).Chen等[10]通過(guò)將宏觀經(jīng)濟(jì)條件引進(jìn)到企業(yè)的融資決策中，建立了動(dòng)態(tài)資本結(jié)構(gòu)化模型，利用這個(gè)模型，作者對(duì)“信用價(jià)差之謎”和低杠桿之謎給出了基于風(fēng)險(xiǎn)角度的解釋.He和Xiong[9]通過(guò)展期風(fēng)險(xiǎn)研究了債券市場(chǎng)的流動(dòng)性和信用風(fēng)險(xiǎn)之間的相互影響.他們的模型表明，債券市場(chǎng)流動(dòng)性的惡化不僅導(dǎo)致流動(dòng)性溢價(jià)的提高，還會(huì)導(dǎo)致企業(yè)的信用風(fēng)險(xiǎn)增加，從而提高信用價(jià)差.Albagli等[19]則考慮分散信息這個(gè)因素，通過(guò)發(fā)展動(dòng)態(tài)的理性期望均衡模型研究了“信用價(jià)差之謎”.

國(guó)內(nèi)也已開(kāi)展對(duì)企業(yè)債券及其信用價(jià)差的研究.譚地軍等[20]對(duì)我國(guó)企業(yè)債券特征與債券風(fēng)險(xiǎn)及風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)年P(guān)系進(jìn)行了實(shí)證研究.馮宗憲等[21]采用自回歸等時(shí)間序列模型研究了國(guó)內(nèi)企業(yè)債價(jià)差的時(shí)間序列性質(zhì)，實(shí)證分析了各個(gè)期限的企業(yè)債券信用價(jià)差序列的異方差結(jié)構(gòu)等統(tǒng)計(jì)特性.王安興等[13]通過(guò)Nelson-Siegel方法計(jì)算國(guó)內(nèi)公司債的價(jià)差及稅收溢價(jià)，并通過(guò)時(shí)間序列回歸分析和橫截面回歸分析的方法，研究國(guó)內(nèi)公司債價(jià)差的構(gòu)成以及各種外生的因素對(duì)價(jià)差和價(jià)差變化的影響.針對(duì)我國(guó)債券市場(chǎng)，劉善存等[22]利用遺傳算法計(jì)算信用價(jià)差，并進(jìn)而建立信用價(jià)差的時(shí)間序列模型研究信用價(jià)差的動(dòng)態(tài)過(guò)程.此外，國(guó)內(nèi)對(duì)企業(yè)債券的研究主要集中在收益率上[23-25]，在此不再贅述.

1　一般模型

本文研究無(wú)窮界限(infinite-horizon)的連續(xù)時(shí)間代理問(wèn)題.假定在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中存在3個(gè)參與者：企業(yè)股東、企業(yè)債券持有人及代理人，其中股東與債券持有人是投資者.企業(yè)股東作為委托人雇傭職業(yè)經(jīng)理(即代理人)運(yùn)營(yíng)企業(yè).假設(shè)投資者與代理人均是風(fēng)險(xiǎn)中性的，并且他們的收益貼現(xiàn)率是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r.同時(shí)，代理人具有有限責(zé)任且無(wú)初始現(xiàn)金，股東能夠承擔(dān)所有損失成本并且也是有限責(zé)任.類似于文獻(xiàn)[14-15]等，假設(shè)企業(yè)的基礎(chǔ)價(jià)值{Vt∶0≤t<∞}服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)(Geometric Brownian motion)

(1)其中常值μ是資產(chǎn)的期望收益率；φ是企業(yè)固定的紅利支付比例；σ是資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)率；{Zt∶0≤t<∞}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，代表著企業(yè)資產(chǎn)價(jià)值受到的隨機(jī)沖擊.

與Leland和Toft[15]以及He和Xiong[9]相同，本文假設(shè)企業(yè)具有穩(wěn)定債務(wù)結(jié)構(gòu)(stationary debt structure)，記之為(C,P,m).即在任意時(shí)刻，企業(yè)發(fā)行債券的總本金為P，年化支付的票息(簡(jiǎn)記為票息)為C，每個(gè)債券的債務(wù)期限是m，并且距離債券到期日的時(shí)間均服從一致概率分布.這意味著在時(shí)間區(qū)間(t,t+dt]內(nèi)，有dt/m比例的債券到期并且需要展期.換句話說(shuō)，當(dāng)一個(gè)債券到期時(shí)，企業(yè)將通過(guò)發(fā)行一個(gè)新的債券來(lái)代替它，且新發(fā)行的債券具有與之相同的債券期限、本金和票息.將企業(yè)發(fā)行的債券分為m組，這樣每一組具有本金p=P/m和票息c=C/m，這些債券之間的唯一區(qū)別是距離債券到期日的時(shí)間τ∈[0,m]不相同.將d(Vt,τ)記為其中一組債券的價(jià)值，它是基礎(chǔ)價(jià)值Vt和τ的函數(shù).在本文的分析中，企業(yè)的杠桿(即C與P)和債券期限(即m)作為給定的變量對(duì)待.

對(duì)于債權(quán)人，當(dāng)企業(yè)瀕臨破產(chǎn)時(shí)，假設(shè)他們從破產(chǎn)清算中能夠得到企業(yè)資產(chǎn)的α(<1)部分，損失的企業(yè)資產(chǎn)便是破產(chǎn)成本.此外，記企業(yè)的違約破產(chǎn)時(shí)刻為T(mén)=inf{t≥0∶Vt≤VB}，這里，VB是給定的違約邊界.

代理人是否盡職工作將決定企業(yè)不同程度的風(fēng)險(xiǎn)防范水平，進(jìn)而影響大規(guī)模損失發(fā)生的概率，即代理人盡職工作會(huì)降低大規(guī)模損失在(t,t+dt]內(nèi)的發(fā)生概率Λtdt.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文只考慮兩種工作努力程度：盡職工作與卸責(zé)，它們分別對(duì)應(yīng)Λt=λ和Λt=λ+Δλ，其中λ>0，Δλ>0.如果代理人的工作努力程度不能夠被股東觀察到，便會(huì)導(dǎo)致道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題以及由此產(chǎn)生的代理成本.為了描述不同努力程度產(chǎn)生的成本，本文采用與Holmstrom 和 Tirole[26]相同的方式：若代理人在t時(shí)刻卸責(zé)，即Λt=λ+Δλ，他將得到私人收益VtB，這里B是規(guī)模調(diào)整的私人收益；相反的，若代理人在t時(shí)刻盡職工作，即Λt=λ，他將沒(méi)有私人收益.從現(xiàn)在起，本文考慮代理人是否卸責(zé)不能夠被股東觀察到的情形.這樣，便會(huì)導(dǎo)致道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題的產(chǎn)生，而其涉及的關(guān)鍵參數(shù)是B與Δλ：規(guī)模調(diào)整的私人收益B越大，代理人卸責(zé)的動(dòng)力越大；Δλ越小，辨別代理人是否卸責(zé)的難度越大.

為了降低大規(guī)模損失發(fā)生的概率并且激勵(lì)代理人盡職工作，股東與代理人之間事先簽訂具有激勵(lì)性質(zhì)的長(zhǎng)期合約，并且假定雙方都完全接受.代理人針對(duì)這個(gè)合約將選擇自己的努力程度過(guò)程Λ={Λt}t≥0.假定合約規(guī)定了代理人的收入除了基本收入外還有額外的獎(jiǎng)金Vtδt，這里，δt是t時(shí)刻的規(guī)模調(diào)整獎(jiǎng)金額度*通常情況下，在合約期限內(nèi)基本收入是不變的，不失一般性，為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)基本收入為零..但是只有在t時(shí)刻大規(guī)模損失沒(méi)有發(fā)生的情況下，股東才會(huì)向代理人支付獎(jiǎng)金.因而，在(t,t+dt]時(shí)間內(nèi)代理人的收入為

Vtδt1{dNt=0}dt+VtB1{Λt=λ+Δλ}dt

(2)

其中第1項(xiàng)為股東支付的獎(jiǎng)金，第2項(xiàng)為代理人卸責(zé)時(shí)得到的私人收益.為了敘述方便，記dKt=Vtδt1{dNt=0}dt.這樣，代理人與股東簽訂的就是關(guān)于δt的合約，記為Γ={δt}t≥0.此外，由于代理人是在知道大規(guī)模損失是否發(fā)生之前選擇努力程度的，因此形式上，Λ是-可預(yù)測(cè)的，這里={t}t≥0是由點(diǎn)過(guò)程N(yùn)生成的σ-域流.

為了簡(jiǎn)化分析，假定企業(yè)資產(chǎn)的收益被立刻支付給股東，并且任何的損失都將通過(guò)發(fā)行更多的股票來(lái)彌補(bǔ).因此，當(dāng)大規(guī)模損失發(fā)生時(shí)，企業(yè)將通過(guò)發(fā)行額外的股票來(lái)償清損失，以防止企業(yè)破產(chǎn)，但這會(huì)降低現(xiàn)有股票的價(jià)值.由前面的敘述可知，t時(shí)刻股東將支付給代理人獎(jiǎng)金Vtδt1{dNt=0}.由此，在時(shí)間區(qū)間(t,t+dt]內(nèi)，股東得到的凈現(xiàn)金流為

Vtφdt-C(1-π)dt-

(3)

其中π是企業(yè)稅率.這樣，大規(guī)模損失造成的成本及股東支付給代理人的獎(jiǎng)金都將反饋到股權(quán)價(jià)值中.當(dāng)企業(yè)的資產(chǎn)價(jià)值降到內(nèi)生違約邊界VB時(shí)，股權(quán)價(jià)值降為零，此時(shí)企業(yè)違約，債權(quán)人將得到企業(yè)的清算價(jià)值αVB.

在給定合約Γ={δt}t≥0以及努力過(guò)程Λ的條件下，股東的期望收益是

(4)

同時(shí)代理人的期望效用是

(5)

這里，EΛ是在由努力過(guò)程Λ產(chǎn)生的唯一概率測(cè)度PΛ下的期望算子.一個(gè)努力過(guò)程Λ關(guān)于合約Γ稱為是激勵(lì)相容的，如果在給定Γ的情況下，該努力過(guò)程使得代理人的期望效用式(5)最大化.在動(dòng)態(tài)道德風(fēng)險(xiǎn)存在的情況下，股東面臨的問(wèn)題便是找到一個(gè)合約Γ和激勵(lì)相容努力過(guò)程Λ，并且最大化其期望收益式(4).在連續(xù)時(shí)間合約模型框架下，在下一節(jié)求解出最優(yōu)合約Γ.在此基礎(chǔ)上，將該最優(yōu)合約代入到股權(quán)價(jià)值的定價(jià)中去，從而分析股東與代理人之間存在的道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)企業(yè)信用風(fēng)險(xiǎn)和信用價(jià)差的影響.

2　最優(yōu)激勵(lì)合約

本節(jié)將求解動(dòng)態(tài)道德風(fēng)險(xiǎn)存在下的最優(yōu)激勵(lì)合約，為此需要首先給出激勵(lì)相容條件.

2.1激勵(lì)相容條件

利用鞅(martingale)方法刻畫(huà)激勵(lì)相容條件.在給定合約Γ的情形下，當(dāng)代理人在t時(shí)刻做出工作努力水平的決定時(shí)，他會(huì)考慮該決定將如何影響其自身的連續(xù)效用(continuation utility)

Wt(Γ,Λ)=

(6)

Ut(Γ,Λ)=

e-rtWt(Γ,Λ)

(7)

由式(7)知，U(Γ,Λ)={Ut(Γ,Λ)}t≥0在測(cè)度PΛ下是一個(gè)鞅.因此，利用鞅表示定理，可以給出U(Γ,Λ)的另外一種表達(dá)形式.考慮隨機(jī)過(guò)程

(8)

Ut(Γ,Λ)=U0(Γ,Λ)-

(9)

對(duì)式(7)求全微分，再由式(8)和式(9)得到代理人的連續(xù)效用滿足如下隨機(jī)微分方程

dWt=[rWt-1{Λt=λ+Δλ}VtB]dt+

Ht(Λtdt-dNt)-dKt

(10)

由式(10)可知，Ht(Γ ,Λ)是代理人的連續(xù)效用對(duì)大規(guī)模損失的敏感度，而當(dāng)去掉代理人的私人收益和獎(jiǎng)金時(shí)，其連續(xù)效用的期望變化率就等于其收益貼現(xiàn)率r.基于上述分析，能夠得到和文獻(xiàn)[18]性質(zhì)2相似的激勵(lì)相容條件，即下面的引理1.

引理1給定合約Γ={δt}t≥0，則工作努力過(guò)程Λ是激勵(lì)相容的充分必要條件是：對(duì)于任意時(shí)刻t∈[0,T]，Λt=λ成立當(dāng)且僅當(dāng)

Ht(Γ,Λ)≥Vtb

(11)

引理1的證明與文獻(xiàn)[18]性質(zhì)2的證明相同，詳細(xì)證明過(guò)程請(qǐng)讀者參見(jiàn)文獻(xiàn)[18].

由式(10)可知，如果在t時(shí)刻發(fā)生大規(guī)模損失，那么代理人的連續(xù)效用將減少Ht(Γ ,Λ).引理1表明，為了促使代理人選擇盡職工作提高風(fēng)險(xiǎn)防范水平，以降低大規(guī)模損失發(fā)生的概率，其連續(xù)效用的減少應(yīng)不低于Vtb.這是因?yàn)樾敦?zé)對(duì)代理人的吸引程度可被Vtb體現(xiàn)出來(lái).令ht=Ht/Vt，則在Λt=λ下的激勵(lì)約束條件式(11)可重新寫(xiě)為

ht≥b

(12)

2.2最優(yōu)合約

為了求解出最優(yōu)合約，首先需要給出委托人(股東)在t時(shí)刻的連續(xù)效用

(13)

所滿足的微分方程.

由于委托人的收益貼現(xiàn)率是r，因此在t時(shí)刻，其連續(xù)效用在t+dt時(shí)刻的期望值是rF(Vt,Wt-)dt,在無(wú)套利均衡狀態(tài)下，這個(gè)值一定等于期望現(xiàn)金流和其連續(xù)效用的期望變化率之和.前者等于委托人在區(qū)間[t,t+dt]上的期望現(xiàn)金收益減去期望代理成本，即

(14)

而委托人連續(xù)效用的期望變化率是E[dF(Vt,Wt-)].為了計(jì)算式期望變化率，利用代理人連續(xù)效用滿足的隨機(jī)微分方程式(10)，并令其中的Λt=λ，應(yīng)用關(guān)于Levy過(guò)程的Ito公式得到

E[dF(Vt,Wt-)]=FVVt(μ-φ)dt+

FW[rWt+λHt-Vtδt(1-λdt)]dt+

λ[F(Vt,Wt-Ht)-F(Vt,Wt-)]dt

(15)

這樣，根據(jù)連續(xù)效用在t+dt時(shí)刻的期望值等于式(14)與式(15)之和，再令dt→0，可得到委托人的連續(xù)效用函數(shù)滿足如下的HJB方程

λ[F(Vt,Wt-Ht)-F(Vt,Wt-)]}

(16)

式中所要求解的最優(yōu)控制變量ht和δt需要滿足條件式(12)和δt≥0.

為了更深入地了解方程(16)解的結(jié)構(gòu)，求解出最優(yōu)合約{δt}t≥0，需要對(duì)函數(shù)F(V,W)做出進(jìn)一步的限制：F(V,W)是關(guān)于代理人的連續(xù)效用W的凹函數(shù)*Sannikov[28]和 Biais等[18]分別對(duì)于連續(xù)情形和跳躍情形嚴(yán)格證明了委托人的連續(xù)效用函數(shù)F關(guān)于代理人的連續(xù)效用W是凹函數(shù).本文建立的模型是文獻(xiàn)[18]討論情形的一種特殊情況，故在此省略證明，詳細(xì)證明可參見(jiàn)該文獻(xiàn)性質(zhì)2的證明過(guò)程..這就表明，在HJB方程(16)中，最優(yōu)的ht(或Ht)應(yīng)盡量小，再由激勵(lì)相容條件式(12)(或式(11))可知最優(yōu)的ht是

(17)

在得到最優(yōu)的ht后，下面開(kāi)始求解最優(yōu)合約.對(duì)于代理人，若其在任意時(shí)刻t∈[0,T]盡職工作，則沒(méi)有私人收益VtB.在這種情況下，由于已經(jīng)假設(shè)企業(yè)不會(huì)推遲發(fā)放獎(jiǎng)金，因而無(wú)論代理人的連續(xù)效用Wt多大，當(dāng)沒(méi)有大規(guī)模損失發(fā)生(即dNt=0)時(shí)，代理人會(huì)立刻獲得獎(jiǎng)金，即其得到的現(xiàn)金流大于零，否則代理人得到的現(xiàn)金流為零.因此，利用前面推導(dǎo)方程(16)的方法，可得到代理人連續(xù)效用的期望變化率不大于其收益貼現(xiàn)率r，即

EΛ[dWt]≤rWtdt

(18)

這樣，當(dāng)大規(guī)模損失沒(méi)有發(fā)生時(shí)，由方程式(10)和式(18)便可得到

λhtVt-δtVt≤0

(19)

由方程(16)及F關(guān)于W的凹性可知最優(yōu)的δ應(yīng)盡量小，再由條件式(19)得到最優(yōu)合約δt滿足

通過(guò)上面的分析，可得到下面的引理.

引理2對(duì)于任意的時(shí)刻t∈[0,T]，在沒(méi)有大規(guī)模損失發(fā)生的情況下，委托人與代理人簽訂的最優(yōu)合約是

(20)

式(20)表明，代理人得到的獎(jiǎng)金與規(guī)模調(diào)整的私人收益B和大規(guī)模損失發(fā)生的概率λ成正比，與Δλ成反比.事實(shí)上，Δλ越小表明委托人發(fā)現(xiàn)代理人卸責(zé)的難度越大，因而，為了鼓勵(lì)代理人盡職工作，當(dāng)Δλ越小時(shí)，委托人必須用較多的獎(jiǎng)金才能夠激勵(lì)代理人盡職工作.而私人收益的多少將決定委托人給予代理人的獎(jiǎng)金多少，如果獎(jiǎng)金不如私人收益更有吸引力，則代理人將很有可能在工作時(shí)卸責(zé).此外，Poisson風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率越大，代理人自然需要得到更多的獎(jiǎng)金以被激勵(lì)盡職工作，從而提高其風(fēng)險(xiǎn)防范水平.

3　定價(jià)與內(nèi)生違約邊界

在考慮道德風(fēng)險(xiǎn)存在的情形下，得到了股東與代理人的最優(yōu)合約*嚴(yán)格地講，第2部分得到的合約式(20)需要驗(yàn)證性定理(verification theorem)以證明其是最優(yōu)合約.但利用文獻(xiàn)[18]性質(zhì)3的證明方法可以證明該驗(yàn)證性定理，由于證明過(guò)程大致相同，在此省略證明..下面將研究道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于企業(yè)債券的信用價(jià)差是否產(chǎn)生影響，若有影響，道德風(fēng)險(xiǎn)將如何影響信用價(jià)差.在此之前，為了方便下面的分析，需要對(duì)基礎(chǔ)價(jià)值Vt滿足的隨機(jī)微分方程(1)進(jìn)行一個(gè)技術(shù)上的處理.根據(jù)Girsanov定理*參見(jiàn)文獻(xiàn)[29]第5章定理5.2.3.，可知Vt在風(fēng)險(xiǎn)中性(risk-neutral)概率測(cè)度P下滿足如下的隨機(jī)微分方程

(21)

3.1債券價(jià)值

首先在假定違約邊界VB給定的情況下，對(duì)企業(yè)債券進(jìn)行定價(jià).正如在第1部分中所述，d(Vt,τ;VB)是距離到期日的時(shí)間為τ

(22)

式中等號(hào)左側(cè)的rd(Vt,τ)是持有債券的期望收益；而等號(hào)右端的第1項(xiàng)是持有債券的期望現(xiàn)金流；最后3項(xiàng)表示債券價(jià)格隨著基礎(chǔ)價(jià)值Vt的波動(dòng)而出現(xiàn)的預(yù)期變化.

為了求解出方程(22)，需要兩個(gè)邊界條件.如前所述，當(dāng)基礎(chǔ)價(jià)值Vt處于違約邊界VB時(shí)，債券持有者將獲得企業(yè)清算后的資產(chǎn)價(jià)值αVB.這樣，每一組債券在清算時(shí)的價(jià)值為

(23)

當(dāng)τ=0時(shí)，債券到期，且若企業(yè)沒(méi)有破產(chǎn)，那么債券持有者將得到本金p，即

d(Vt,0;VB)=p, ?Vt>VB

(24)

由邊界條件(23)和(24)，可以解析求得方程(22)的解

(25)

其中

(26)

在連續(xù)支付票息的情形下，給定由微分方程(22)得到的債券價(jià)格，債券的收益率可以從如下方程中求得

(27)

式中右端是基于到期日之前沒(méi)有違約或者沒(méi)有交易發(fā)生的條件下，本金為p且票息為c的債券價(jià)格.債券收益率Y與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r之間的價(jià)差Y-r即為債券的信用價(jià)差.由于債券價(jià)格受違約邊界VB的影響，且通過(guò)下面的分析可知，VB會(huì)受到道德風(fēng)險(xiǎn)的影響，因而道德風(fēng)險(xiǎn)將影響信用價(jià)差.下面關(guān)注道德風(fēng)險(xiǎn)是如何影響企業(yè)債券的信用價(jià)差.

3.2股權(quán)價(jià)值與內(nèi)生違約邊界

為了求得信用價(jià)差，必須得到違約邊界VB，而VB是由股權(quán)價(jià)值f(V)內(nèi)生決定的.在以往文獻(xiàn)中， Leland和Toft[15]及Chen和Kou[30]等都是間接地通過(guò)將企業(yè)總價(jià)值減去債券價(jià)值得到股權(quán)價(jià)值.企業(yè)總價(jià)值是企業(yè)的資產(chǎn)價(jià)值加上稅盾收益，再減去企業(yè)的破產(chǎn)成本后得到的.然而在本文中，通過(guò)這個(gè)等式不能得到股權(quán)價(jià)值.這是因?yàn)椋髽I(yè)的價(jià)值被未來(lái)的損失成本和支付給代理人的獎(jiǎng)金消費(fèi)掉.這樣，需要通過(guò)微分方程來(lái)直接求得股權(quán)價(jià)值.在最優(yōu)合約得到的基礎(chǔ)上，可得到股權(quán)價(jià)值f(Vt)滿足如下的微分方程

(28)

對(duì)于方程(28)的求解，需要兩個(gè)邊界條件.由于股東具有有限責(zé)任，因此能夠得到第1個(gè)邊界條件f(VB)=0；再由平滑黏性條件(smooth-pasting condition)，可得到第2個(gè)邊界條件fV(VB)=0，其中VB是待求解的內(nèi)生違約邊界*對(duì)于包括有限債務(wù)期限和企業(yè)的資產(chǎn)價(jià)值服從跳躍-擴(kuò)散過(guò)程在內(nèi)的一般條件，Chen和Kou[30]在內(nèi)生違約模型下嚴(yán)格證明了平滑過(guò)渡條件是成立的..本文將利用拉普拉斯變化求解方程(28)，詳細(xì)求解過(guò)程參見(jiàn)附錄.

下面的性質(zhì)1給出了關(guān)于股權(quán)價(jià)值和內(nèi)生違約邊界的解析表達(dá)式.

性質(zhì)1股權(quán)價(jià)值f(Vt)由下式給出

(29)

內(nèi)生違約邊界VB是

(30)

如前訴述，B/Δλ表示對(duì)代理人選擇卸責(zé)的吸引程度，λdt是在[t,t+dt]區(qū)間內(nèi)大規(guī)模損失發(fā)生的概率.因此，根據(jù)性質(zhì)1的結(jié)論，在其它參數(shù)固定不變的情況下，當(dāng)因卸責(zé)而得到的私人收益B提高時(shí)，企業(yè)的違約邊界

后面的數(shù)值分析表明，通常情況下，違約邊界VB越大(但不超出一定的數(shù)值范圍)，則企業(yè)的違約概率越高，企業(yè)債券的信用價(jià)差也就因此越大.對(duì)于不同行業(yè)的企業(yè)，其自身所在行業(yè)的特征決定了B、λ及Δλ不盡相同，而這些都是道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題涉及的關(guān)鍵參數(shù).因此，道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題不僅對(duì)企業(yè)債券的信用價(jià)差產(chǎn)生了影響，而且不同領(lǐng)域的企業(yè)中存在的道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題對(duì)各自發(fā)行債券的信用價(jià)差的影響程度也各不相同.這對(duì)于理解不同行業(yè)的企業(yè)債券的價(jià)格差異是有幫助的.同時(shí)，對(duì)于企業(yè)債券發(fā)行和交易時(shí)的價(jià)格合理制定也具有重要的指導(dǎo)意義.

4　道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)信用價(jià)差的影響

在對(duì)模型進(jìn)行系統(tǒng)的理論分析之后，本節(jié)將通過(guò)數(shù)值計(jì)算量化分析道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)信用價(jià)差產(chǎn)生的影響，從而從道德風(fēng)險(xiǎn)的角度解釋“信用價(jià)差之謎”.

4.1模型參數(shù)設(shè)置

表1　基本參數(shù)設(shè)置

4.2信用價(jià)差

為了分析道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)是否有影響，首先分別計(jì)算代理成本存在與不存在時(shí)的信用價(jià)差.采用表1中的基本參數(shù)值，并令規(guī)模調(diào)整的私人收益B取值為0～8‰，對(duì)于同一債券，圖1展示了代理成本(私人收益)存在時(shí)的信用價(jià)差(記為CS*)和不存在時(shí)的信用價(jià)差(記為CS)的差別.具體的，如果私人收益B從0.1%增加到0.8%，對(duì)于債務(wù)期限為1年的債券，本文得到的信用價(jià)差大于Leland和Toft[15]模型得到的信用價(jià)差，且增幅從33個(gè)基點(diǎn)增加到465個(gè)基點(diǎn).因而，在考慮道德風(fēng)險(xiǎn)的情形下，信用價(jià)差明顯大于不考慮道德風(fēng)險(xiǎn)的情形，且隨著代理成本的增加，兩種情形下的信用價(jià)差的差距不斷擴(kuò)大.

再將表1中的基本參數(shù)值代入到式(25)、式(27)和式(30)中，可以量化分析道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)信用價(jià)差的影響程度.圖2展示了在其它參數(shù)不變的情況下，私人收益B的增長(zhǎng)對(duì)內(nèi)生違約邊界和信用價(jià)差的影響.由圖2a)可知，當(dāng)私人收益B增加時(shí)，違約邊界會(huì)隨之提高，說(shuō)明企業(yè)內(nèi)生違約邊界VB與B是正相關(guān)關(guān)系；圖2b)則展示了當(dāng)私人收益B增加時(shí)， 債券的信用價(jià)差隨之非線性增加，且增加幅度逐步提升.更進(jìn)一步，從 B組可知，當(dāng)B從0.1%增加到0.8%時(shí)，信用價(jià)差從120個(gè)基點(diǎn)增加到552個(gè)基點(diǎn).

從圖1和圖2可以知道，在考慮代理問(wèn)題的情況下，債券的信用價(jià)差相對(duì)于不考慮道德風(fēng)險(xiǎn)的情形會(huì)有明顯的提高，且隨著代理成本(如私人收益B或卸責(zé)吸引程度B/Δλ)的增加，信用價(jià)差增加的幅度不斷擴(kuò)大.而對(duì)于研究信用價(jià)差的已有相關(guān)文獻(xiàn)，都沒(méi)有考慮道德風(fēng)險(xiǎn)這個(gè)因素.這樣，從代理人和股東之間存在道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題(更廣泛的是代理問(wèn)題)這個(gè)角度，本文對(duì)“信用價(jià)差之謎”給出了合理解釋.

圖1　道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)信用價(jià)差的影響

a)

b)

對(duì)于不同的行業(yè)，大規(guī)模損失發(fā)生的概率λ、辨別卸責(zé)的難度Δλ以及損失的成本都不盡相同.例如，對(duì)于制造業(yè)和金融業(yè)，由于金融業(yè)的隨機(jī)性和金融資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)較大，而制造業(yè)的生產(chǎn)相對(duì)平穩(wěn)，因而在兩個(gè)行業(yè)的企業(yè)中，代理人卸責(zé)對(duì)大規(guī)模損失發(fā)生概率的影響程度明顯不同.考慮跳躍(即Poisson風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生)次數(shù)適度和很少兩種情形，令跳躍強(qiáng)度分別為λ=1和λ=0.5.圖3表明λ和Δλ的取值不同，產(chǎn)生的信用價(jià)差也不相同.具體的，a)圖取λ=1，Δλ=1表示大規(guī)模損失發(fā)生次數(shù)適度；b)圖取λ=0.5，Δλ=0.33；c)圖取λ=0.5，Δλ=0.6，后兩者表示大規(guī)模損失發(fā)生次數(shù)很少.在其它參數(shù)不變時(shí)，由圖2b)和圖3可知，當(dāng)私人收益B的取值不是很大時(shí)，λ較小則信用價(jià)差較小，Δλ較小則信用價(jià)差較大，即信用價(jià)差與λ成正比，與Δλ成反比.直觀的看，λ較大時(shí)，表明企業(yè)發(fā)生大規(guī)模損失的概率較高，因而企業(yè)違約的概率也較大；Δλ較小時(shí)，表明代理人卸責(zé)被辨別出的難度較大，這樣代理人更傾向卸責(zé)，因而企業(yè)出現(xiàn)大規(guī)模損失的概率相比于較大的Δλ會(huì)更高，從而企業(yè)發(fā)生違約的可能性更大，導(dǎo)致信用價(jià)差增加.

a)

b)

c)

5　結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)將代理人與股東之間的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)合約模型嵌入到內(nèi)生違約結(jié)構(gòu)化框架中，本文建立了可以量化分析的理論模型，研究道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)和信用價(jià)差的影響.該模型表明，考慮道德風(fēng)險(xiǎn)得到的信用價(jià)差顯著大于不考慮道德風(fēng)險(xiǎn)的情形.理論和數(shù)值分析表明，刻畫(huà)道德風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)參數(shù)，包括規(guī)模調(diào)整的私人收益、辨別代理人卸責(zé)的難度以及大規(guī)模損失發(fā)生的概率，都對(duì)信用價(jià)差產(chǎn)生不同程度的影響.因此，考慮代理成本，本文的模型對(duì)“信用價(jià)差之謎”提供了一個(gè)合理解釋.進(jìn)一步，論文的相關(guān)量化結(jié)果可用于信用衍生品的定價(jià)研究中，拓展了信用風(fēng)險(xiǎn)的研究?jī)?nèi)容.同時(shí)，通過(guò)本文的研究，認(rèn)識(shí)到管理道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于企業(yè)運(yùn)營(yíng)的重要性，更重要的是使企業(yè)能夠找到具體的參數(shù)目標(biāo)來(lái)管理道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題.此外，本文的模型還能夠分析考慮道德風(fēng)險(xiǎn)時(shí)企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)，幫助企業(yè)做出融資決策，提高企業(yè)經(jīng)營(yíng)效率與企業(yè)價(jià)值，在以后的研究中將在這方面繼續(xù)探討.

本文建立的理論模型相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)于分析一般的代理問(wèn)題對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)的影響僅僅是開(kāi)始，仍有許多方向值得深入研究.例如，本文僅討論了特殊的代理問(wèn)題，即道德風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，但對(duì)于一般的代理問(wèn)題，尚無(wú)法解決；對(duì)于本文的理論結(jié)果，今后還需要進(jìn)行深入地實(shí)證研究.這些都是今后需要研究的內(nèi)容.

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附錄：

性質(zhì)1的證明

證明股權(quán)價(jià)值滿足如下微分方程

(A1)

為了應(yīng)用拉普拉斯變化方法求解方程(A1)，首先做如下的變換v=ln(V/VB)，則股權(quán)價(jià)值f滿足

將上述等式代入到方程(A1)中，便得到如下方程

(A2)

且滿足邊界條件f(0)=0和fv(0)=l.這里，參數(shù)l由邊界條件，即當(dāng)v→∞時(shí)f(v)關(guān)于v是線性的所決定.

由拉普拉斯變換的定義可知L[fv]=sF(s)-f(0)=sF(s)及L[fvv]=s2F(s)-l.這樣，可得到

即

(A3)

(A4)

由式(A3)和式(A4)可得到

(A5)

對(duì)方程(A5)做拉普拉斯逆變換可以得到

(A6)

對(duì)于f(v)，需要考慮當(dāng)v→∞時(shí)，股權(quán)價(jià)值關(guān)于v將是線性增長(zhǎng)的.因?yàn)棣?1且eηv=(V/VB)η，為了避免股權(quán)價(jià)值超線性增長(zhǎng)，式(A6)中所有含eηv項(xiàng)的系數(shù)之和須為零.這樣便有

即

(A7)

通過(guò)方程(A7)便可以解得參數(shù)l.

(A8)

最后，由平滑條件fV(VB)=0，或者fV(0)=l=0，利用式(A8)求得內(nèi)生違約邊界

即式(30)，結(jié)論得證.

Agency costs and credit spread puzzle

NIU Hua-wei1, 2

1. School of Finance, Nanjing Audit University, Nanjing 211815, China;2. Jiangsu Key Laboratory of Financial Engineering, Nanjing Audit University, Nanjing 211800, China

As an endogenous factor, the agency problem may deteriorate the firm’s credit risk. In this paper, the optimal contracting between the agent and equity holders is embed into the Leland-Toft endogenous default model to study the impact of moral hazard on credit risk and credit spreads. Our model shows that the agency cost induced by moral hazard can have significant impacts on credit spreads. The credit spreads are obviously larger when the moral hazard problem is considered, and our model highlights the role of the key parameters of the moral hazard in affecting the credit spreads. Thus the moral hazard could be used to explain the credit spread puzzle. The explicit formulae of the equity value and the endogenous bankruptcy barrier are also given.

credit spreads; principal-agent; moral hazard; credit risk; Poisson risk

2014-03-05；

2014-12-09.

國(guó)家自然科學(xué)青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71501099)； 江蘇省自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(BK20150725)； 江蘇省高校自然科學(xué)研究資助面上資助項(xiàng)目(15KJB110011)； 江蘇省金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題資助項(xiàng)目(NSK2015-01)； 江蘇高校品牌專業(yè)建設(shè)工程一期項(xiàng)目金融學(xué)資助項(xiàng)目(蘇教高[2015]11).

牛華偉(1980—)， 男， 江蘇徐州人， 博士， 副教授， Email: niuhuawei@gmail.com

F830.91； F224

A

1007-9807(2016)08-0054-13