張環(huán)環(huán)

（西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030）

一類奇異二階微分方程的正解

張環(huán)環(huán)

（西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030）

在涉及相應(yīng)線性微分方程第一特征值的條件下，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)姆e分算子和特殊的錐，利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論，研究了一類奇異積分邊值問題，允許非線性項(xiàng)在端點(diǎn)處具有奇性的情況下，得到了其正解的存在性。

正解；奇異邊值問題；錐；不動(dòng)點(diǎn)定理

常微分方程非局部邊值問題的研究是研究微分方程理論及其應(yīng)用的重要方向之一。非局部邊值問題主要包括多點(diǎn)邊值問題和積分邊值問題。帶有積分邊界條件的常微分方程邊值問題起源于對(duì)熱傳導(dǎo)和化學(xué)工程等問題的研究［1-3］。帶有積分邊界條件的邊值問題包括兩點(diǎn)、三點(diǎn)、m-點(diǎn)等非局部邊值問題，關(guān)于這類問題正解的存在性、多解性及唯一性，得到了廣泛的關(guān)注［4-7］。文獻(xiàn)［6］利用錐中嚴(yán)格集壓縮算子的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，研究了Banach空間中一類二階微分方程積分邊值問題正解的存在性。文獻(xiàn)［4-5，7］在相應(yīng)線性方程第一特征值的條件下，利用相關(guān)的不動(dòng)點(diǎn)理論得到了某些微分方程正解存在性的較優(yōu)結(jié)果。

近年來(lái)，對(duì)于奇異多點(diǎn)邊值問題正解的研究引起了人們的廣泛關(guān)注［1-3，6］。但以往所研究的非線性項(xiàng)f（t，x）關(guān)于t在端點(diǎn)0，1處具有奇性的情況，或者對(duì)非線性項(xiàng) f（t，x）添加了較強(qiáng)的條件限制［2-3，8-9］。本文在相應(yīng)線性方程第一特征值的條件下，利用錐拉伸壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理研究非線性奇異微分方程積分邊值問題

正解的存在性，本文允許w（t）在端點(diǎn)t=0，1處具有奇性，f（t，x）在x=0具有奇性。

1　預(yù)備知識(shí)

其中 fr，R（s）=sup｛f（s，x）|s∈I，x∈［rz（t），R］｝。

為了應(yīng)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，令：

則P為X中的錐。

注意到對(duì)?u∈P｛θ｝，有u（t）＞0，t∈（0，1），因此如果u是問題（1）在P｛θ｝中的一個(gè)解，那么稱u是問題（1）的一個(gè)正解。定義算子A:P｛θ｝→X如下：

再定義一個(gè)線性算子T:P→P，

由H（t，s）和G（t，s）的定義知，H（t，s）和G（t，s）有如下性質(zhì):

命題1對(duì)?t，s∈［0，1］，G（t，s）≥0，?t，s∈（0，1），G（t，s）＞0。

命題2?t∈Iδ，s，τ∈I，G（t，s）≥z（t）G（τ，s），其中z（t）=min｛t，1-t｝，t∈Iδ。

證明：首先，z（t）=min｛t，1-t｝＜1，t∈Iδ，對(duì)任意的s，τ∈［0，1］，下面分情況討論：

（Ⅰ）當(dāng)max｛t，τ｝≤s時(shí)，

G（t，s）=1-s≥（1-s）z（t）=G（τ，s）z（t）；

（Ⅱ）當(dāng)min｛t，τ｝≥s時(shí)，

G（t，s）=1-t≥（1-t）（1-τ）≥（1-τ）z（t）= G（τ，s）z（t）；

（Ⅲ）當(dāng)t≤s≤τ時(shí)，

G（t，s）=1-s≥1-τ=G（τ，s）≥G（τ，s）z（t）；

（Ⅳ）當(dāng)τ≤s≤t時(shí)，

G（t，s）=1-t≥（1-t）（1-s）=（1-t）G（τ，s）≥G（τ，s）z（t）。

于是命題成立。

命題4假設(shè)條件（H1）成立，則對(duì)

證明：對(duì)?t∈Iδ，s，τ∈I，由命題2有

即命題4成立。

由條件（H1）（H2）及函數(shù)H（t，s）的性質(zhì)知，由式（3）定義的算子A是有意義的。事實(shí)上對(duì)?u∈P｛θ｝，有‖u‖≠0，且由式（2）知

從而由（H2）知

即由式（3）定義的算子A是有意義的。易知問題（1）在P｛θ｝中有解當(dāng)且僅當(dāng)u（t）=Au（t）在P｛θ｝中有不動(dòng)點(diǎn)，并且問題（1）的正解等價(jià)于A的不動(dòng)點(diǎn)。

其中Pr=｛u∈P|‖u‖＜r｝。

所以A:D→P。

下證A:D→P全連續(xù)。當(dāng)n＞m0時(shí)，取

則wn（t）:［0，1］→［0，+∞）連續(xù)，并且wn（t）≤w（t），t∈（0，1）；再取

則fn（t，x）:［0，1］×［0，+∞）→［0，+∞）連續(xù)，并且fn（t，x）≤f（t，x）。令

易證An:D→P全連續(xù)，于是由式（5），（7）知?ε＞0，?m0，當(dāng)n＞m0時(shí)，

這說(shuō)明A可以由全連續(xù)算子列｛An｝一致逼近，所以P全連續(xù)。證畢。

引理2［8］設(shè)T:X→X是一個(gè)線性全連續(xù)正算子，若存在

滿足λ1Tu0=u0（這里是T的譜半徑），且使得對(duì)任給的u∈Q｛θ｝，都存在自然數(shù)n和實(shí)數(shù)α＞0，β＞0，滿足αu0≤Tnu≤βu0，則對(duì)?u∈Q，若u≠μu0（μ≥0），則必有λ1Tu?u，λ1Tu?u。

注：若條件（H1）（H2）滿足，利用H（t，s）的性質(zhì)及與引理1完全類似的證法可得由式（4）定義的算子T是一個(gè)全連續(xù)的正線性算子，令，則λ1為線性方程特征值問題

的第一特征值。

引理3［9］設(shè)P是實(shí)Banach空間X中的一個(gè)錐，0＜R1＜R2＜+∞，全連續(xù)，并且滿足下列兩條件之一。

為了方便本文再給出要用到的假設(shè)條件：

下面利用引理3，證明二階奇異微分方程積分邊值問題（1）正解的存在性與多解性。

2　主要結(jié)果及其證明

定理1假設(shè)條件（H1）-（H4）滿足，則問題（1）至少存在一個(gè)正解。

證明：由條件（H3）知?r1＞0和ε（0＜ε＜λ1），使得 f（t，x）≥（λ1+ε）x，?t∈I，0＜x＜r1。驗(yàn)證

事實(shí)上，若存在 u1∈?Pr1，使得 Au1≤u1，則對(duì)?t∈I，有

即u1≥λ1Tu1，注意到u1（t）≥0，t∈I，從而由引理3知，存在μ≥0使得u1=μu0。若μ=0，則u1（t）≡0，這與‖u1‖=r1矛盾；若μ＞0，則

即u0≥（λ1+ε）Tu0，這與u0=λ1Tu0矛盾。從而式（8）成立。

由條件（H4）知 ?R1＞r1和 ε（0＜ε＜λ1），使得f（t，x）≥（λ1-ε）x，?t∈I，x＞R1。

事實(shí)上，若存在u2∈?PR2，使得Au2≥u2，從而對(duì)?t∈I，有

即u2（t）≤λ1Au2（t），t∈I。注意到u2（t）≥0，t∈I。從而由引理2知存在μ≥0，使得u2=μu0。若μ=0，則u2（t）≡0，這與‖u2‖=R2矛盾；若μ＞0，則μu0（t）=u2≤（λ1-ε）Tu2（t）=μ（λ1-ε）Tu0（t），即u0（t）≤（λ1-ε）Tu0（t），t∈I，這與u0（t）=λ1Tu0（t），t∈I矛盾。從而式（10）成立。

由式（8）（10），且根據(jù)引理1知算子A是全連續(xù)的，應(yīng)用引理3可得A在中有不動(dòng)點(diǎn)。證畢。

定理2假設(shè)條件（H1）-（H3）和（H5）（H6）滿足，則問題（1）至少存在兩個(gè)正解。

證明：由（H3）可知存在0＜r1≤Γ，當(dāng)0＜x≤r1時(shí)，f（t，x）≥（λ1+ε）x，t∈I。由（H5）可知存在

與定理1的證法類似可證：

事實(shí)上對(duì)于?u∈?Pr2，，t∈Iδ。于是當(dāng)z（t）r2＜u（t）≤r2≤r0（t∈Iδ）時(shí)，根據(jù)（H6）有

上式是矛盾的，從而Au?u，?u∈?Pr2。

3　結(jié)論

本文在線性微分方程第一特征值的條件下，利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論，研究了一類二階奇異積分邊值問題，允許非線性項(xiàng)在端點(diǎn)處具有奇性的情況下，得到其正解的存在性。由于本文的條件和相應(yīng)線性微分方程的特征值結(jié)合，并且對(duì)非線性項(xiàng)未作過(guò)多的限制，因此使得研究的函數(shù)類具有更廣泛的意義。

［1］趙增勤.一類非線性奇異微分方程正解的存在性定理［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2005，25A（3）：393-403.

［2］康平，劉立山.二階奇異微分方程邊值問題正解的存在性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2008，28A（1）：73-80.

［3］張興秋.奇異二階微分方程積分邊值問題正解的存在唯一性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2010，30（10）：1407-1416.

［4］崔玉軍，孫經(jīng)先.Banach空間中二階微分方程三點(diǎn)邊值問題的正解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，34（4）：743-751.

［5］LI Y X.Positive solutions of second-order boundary value problems with sign-changing nonlinear terms［J］.Journal of MathematicalAnalysisandApplications，2003，282：232-240.

［6］FENG M Q，JI D H，GE W G.Positive solutions for a class of boundary value problem with integral boundary conditions in Banach spaces［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，222：351-363.

［7］LI Y H，LIANG Z P.Two positive solutions to three-point singular boundary value problems［J］.Acta Mathematica Scientia，2011，31B（1）：29-38.

［8］KRASNOSELSKII M A.Positive solutions of operator equations［M］.Groningen:Noordhoff，1964：48-105.

［9］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001：78-151.

Positive Solutions to a Class of Singular Second-order Differential Equations

ZHANG Huanhuan
（College of Mathematics and Computer Science，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730030，Gansu，China）

By constructing an available integral operator and a special cone and using the fixed point theorems of cones，the existence of positive solutions for a class of singular boundary value problems with integral boundary conditions is investigated under some conditions concerning the first eigenvalue corresponding to the relevant linear problems，where the nonlinearity may be singular on boundary.The result presented here improves some recent results.

positive solution；singular boundary value problem；cones；fixed point theorem

O175.8

A

1672-2914（2016）02-0049-04

2015-11-11

數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目（11326100）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目（31920130010）。

張環(huán)環(huán)（1980—），女，甘肅靜寧縣人，西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析及應(yīng)用。