鄧可卉，陳亞君

（東華大學 人文學院，上海 201620）

《測量全義》中的數(shù)學天文學知識及其源流

鄧可卉，陳亞君

（東華大學 人文學院，上海 201620）

《測量全義》被編入明末大型歷算叢書《崇禎歷書》中。以球面天文學在西方的發(fā)展為歷史背景，重點探討了《測量全義》中的有關知識。分析《測量全義》“球上三角形相易之法”中的“元形”“次形”三角形，并和歐洲近代以前的相關知識進行比較，探討《測量全義》中“垂弧法”的來源及其在中國的流傳，以及其中的計算晝夜長度的表格計算法等。認為《測量全義》在由弧角到弦的變換方面繼承了西方古典傳統(tǒng)。清代中算家在《測量全義》理論和概念的基礎上進一步做了會通。

《測量全義》；球面三角法；球面天文；中算家

1　球面天文學的歷史回顧與比較

球面天文學是西方天文學的基礎。球面天文知識在古希臘已經(jīng)產(chǎn)生，建立的基礎是地圓說。由于這一知識體系的系統(tǒng)性和完整性，近代以來逐漸發(fā)展為天文學中的一門學科，一些球面上的點、圈、坐標系等概念在后世基本沒有太大變化。

球面三角學問題的提出與發(fā)展源于球面天文學。在托勒密之前，在球面三角學方面做出成績的首先是天文學家奧托利科斯（Autolycus of Pitane，約300BC），他的著作《關于運動的球》（On the Moving Sphere）和《關于上升和下落》（On Risings and Settings），批評了歐多克斯體系，但是書中內(nèi)容只涉及球面天文，主要是關于平行于赤道的圈上的天球勻速圓周運動以及在地平圈上不同點的運動。此后，有以對比《至大論》而出名的《小天文學》；有歐幾里得的《現(xiàn)象》（Phaenomena），這本書現(xiàn)存有希臘文本；還有德阿多西阿（Theodosius of Bithynia，約100BC）的《球面學》（Sphaerica）。德阿多西阿還有另外的關于球面天文學的書《關于晝夜》（On the Day and Night）和《關于居所》（On Habitation）。德阿多西阿的《圓球原本》旨在補充《幾何原本》第12、13卷，建立在第3卷“關于圓”的基礎上，并且涉及天球上的普通圓，但沒有直接提到在天文學中的應用。這里沒有涉及三角法，只是有一個關于球面三角的一致性法則的新結論。嚴格意義上的球面三角的計算是公元前2世紀由希帕克斯開始的，但是直到梅內(nèi)勞斯（Menelaus，約公元1世紀）的《球面學》才使得球面三角成為數(shù)學的一個特殊分支。梅內(nèi)勞斯的《球面學》后由意大利的毛羅利科（F Maurolico，1494—1575）在1558年印刷出版拉丁文本，此版本是在原始希臘文本散失后，基于阿拉伯文譯本而成［1］。

梅內(nèi)勞斯的《球面學》分3個部分展開。首先給出一系列的定義，球面三角形定義為由球面上的三個大圓弧組成，然后是35個命題，分別是關于這些三角形的一致性特點的調(diào)查，命題11陳述了三角形內(nèi)角和大于180°。第2部分包括在德阿多西阿定則基礎上的擴展，仍然沒有球面三角學內(nèi)容。第3卷系統(tǒng)陳述了球面三角學，第1個命題是梅內(nèi)勞斯定則，有平面形式和球面形式兩種，由托勒密（Ptolemaios，100—165）在《至大論》中給出證明［2］。

從古代到中世紀，平面和球面三角學的基本方向和所關注的問題沒有變化，三角函數(shù)知識產(chǎn)生于天文學的定量研究，古希臘人最早開始研究三角函數(shù)，托勒密第一個做出了系統(tǒng)的表述。由于數(shù)理天文學的需要，阿拉伯人繼承和發(fā)展了希臘的三角術，許多阿拉伯數(shù)學家參與編制了精度較高的三角函數(shù)表。希臘三角術系統(tǒng)化的工作是9世紀天文學家阿爾巴塔尼（Al-Battani，858？—929）做出的，其《天文論著》（又名《星的科學》）被普拉托譯成拉丁文，對歐洲影響最大，該書中創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學術語，使得作為一門學科的球面三角學，其體系更加完整而嚴密，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了他的成果。

在托勒密《至大論》中大量球面天文學內(nèi)容的基礎上，13世紀英國數(shù)學家、天文學家薩克羅博斯科（Joannes de Sacrobosco，？—1258）根據(jù)拉丁文本的《天文學基礎》，并參考《至大論》等書，寫出歐洲最標準的天文學教科書《天球論》，從中世紀到近代的過渡期中，它廣泛在各大學和一般知識界中普及。

中世紀以后一些學者在這方面做出了努力，三角學在歐洲真正得以確立應首推德國的雷瓊蒙塔努斯（Regiomontanus，原名J Muller，1436—1476）的著作《三角全書》（1533）中所做的工作。

哥白尼在《天體運行論》第1、2卷中，是關于三角學和球面天文學的內(nèi)容。雖然哥白尼在章首說“我在下面嚴格仿照托勒密的辦法，用六條定理和一個問題來說明這一課題”，但是實際上哥白尼的論證方法和順序有所調(diào)整，他對所說的“六條定理和一個問題”給出更加嚴密的邏輯證明和作圖方法。

經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)，《至大論》和《天體運行論》兩部書中求弦長所用的圖形基本一致，內(nèi)容類似?！短祗w運行論》第13章中“平面三角形的邊和角”和第14章中“球面三角形”是《至大論》中沒有的內(nèi)容，顯然在14個世紀以后三角函數(shù)經(jīng)由印度和阿拉伯數(shù)學家的發(fā)展，已經(jīng)大為改觀，哥白尼的學生雷蒂科斯（George Joachim Rheticus，1514—1574）在三角學方面做出了新的工作，在數(shù)學方法上完善了《天體運行論》。《天體運行論》球面三角學內(nèi)容基本上以命題的形式展開，對于每一命題的各種可能性在題目和解的結果方面討論都比較充分，多處引用《原本》的內(nèi)容，在形式方面沿襲了定理的證明程序，并在最后有“證明完畢”。本文以西方數(shù)學天文學知識的產(chǎn)生與發(fā)展為背景，探討《測量全義》知識體系的源流。

2　《測量全義》中的相關內(nèi)容

《測量全義》完成于1631年，作者是耶穌會士羅雅谷（Jacqaes Rho，1593—1638），徐光啟督修，這本書作為“法原”“法器”被編入明末大型天文歷算叢書《崇禎歷書》，系統(tǒng)介紹了西方數(shù)學天文學以及測量儀器和計算工具，繼承了西方古典傳統(tǒng)。

《測量全義》中的內(nèi)容與西方數(shù)學天文學知識一脈相承。下面舉一個例子說明。《測量全義》中的“球上三角形相易之法”中講到的“元形”“次形”三角形等內(nèi)容和《天體運行論》第14章中的類似，在這里哥白尼的“主題三角形”［3］被譯成了“元形”，通過比較發(fā)現(xiàn)所作的圖也一致?？梢?，“元形”“次形”法從梅內(nèi)勞斯球面三角的兩個定理發(fā)展而來。如圖1三角形ABC是哥白尼的主題三角形，圖2說明了梅內(nèi)勞斯定理各弧段的關系。圖3是托勒密在《至大論》中證明梅內(nèi)勞斯定理的圖。其中圖1在梅文鼎的《弧三角舉要》中演變?yōu)椤按涡畏ā保▓D4），可以把不易求解的三角形轉(zhuǎn)化為易解的三角形。

托勒密在他的《至大論》中，為了討論方便，首先把天球分為天極在地平圈上（正球）和天極不在地平圈上（欹球）兩種情形［4］。關于球面天文的一些測算表格，托勒密在其《至大論》中最經(jīng)常用到的就是“赤緯表”“升度表”和“晝夜長短表”。同樣的，哥白尼討論了“赤道、黃道與子午圈相交的弧和角”“測赤經(jīng)、赤緯和過中天時黃道度的方法”“地平圈的交點”和“正午日影的差異”等問題后，給出了“赤緯表”“赤經(jīng)表”和“斜球經(jīng)度差值表”等。之后，他說明：“以上對與黃道有關的角度和交點的論述，是我在校核對球面三角形的一般討論時從托勒密的著作中扼要摘引的。”哥白尼解決的球面天文學的一些問題與托勒密一致，但實際上他的論證更加嚴密而符合學科發(fā)展趨向。例如圖5與圖6分別是哥白尼在《天體運行論》中給出的計算球面三角的例子，而圖6同樣出現(xiàn)在梅文鼎的《弧三角舉要》中，他認為“垂弧法”可以通過作一邊的垂弧，把斜弧三角形化為正弧三角形。

圖1　《天體運行論》中的主題三角形

圖2　梅內(nèi)勞斯定理

圖3　梅內(nèi)勞斯定理的證明

圖4　次形法

圖5　哥白尼的球面三角計算

圖6　垂弧法

羅馬教廷的克拉維斯（Christoph Clavius，1537—1612，德國人）1561年寫出《薩克羅博斯科天球論注釋》，多次修訂出版，是當時的天文學百科全書。利瑪竇作為克拉維斯在羅馬學院的學生，來華后傳授的天文學知識多依據(jù)此書。據(jù)白尚恕研究，羅雅谷等人的《測量全義》譯著的底本吸收了克拉維斯（又稱丁先生）的《實用幾何學》（Geometri Practice，1611），瑪金尼《球面三角學》（Et Trigonometrice Sphericonum，1609）等內(nèi)容［5］。

3　《測量全義》之前介紹的球面天文知識

西方古典球面天文知識在《崇禎歷書》編撰之前就已經(jīng)傳入中國了。相關的比較重要的書籍有利瑪竇、李之藻合譯的《乾坤體義》（1605），這是中國學者了解托勒密天文學的入門書，是克拉維斯傳入中國的《天球論注釋》的知識片段的譯編本［6］。而鄧玉函等人編撰的《測天約說》（1630）是為了修歷而節(jié)取西方學科體系之部分，并集中了與測天有關的內(nèi)容而譯撰的。

《測天約說》首次介紹了球面天文的預備知識，結合天體運動之時度定義了赤道圈、經(jīng)圈、緯圈、經(jīng)度、緯度和地平圈、地平經(jīng)度、地平緯度、頂極、底極；又明確了“地為圓體，故球上之每一點各有一地平圈，從人所居，目所四望者即是，其多無數(shù)”；接著給出了正球、欹球、平球的圖示和定義，分別是：“正球者，天元赤道之二極在地平，則天元赤道與地平為直角，而左右各緯圈各半在地平上，半在地平下?！薄办デ蛘?，天元赤道之二極一在地平上，一在地平下。赤道與地平為斜角，而赤道與地平之各經(jīng)緯圈，伏見多寡各不等。其極出地之度，為用甚大。測候者所必須也?！薄捌角蛘?，一極在頂，天元赤道與地平為一線，各距等圈皆與地平平行也。”另外，書中特別指出，黃赤道相距是用赤道緯度進行度量的，這應該和古代希臘沒有黃道極，所以一直以赤道緯度測量的傳統(tǒng)有關［7］。關于天球運動的一些實際問題，給出了距度（天球上兩點之間的距離）、升度（在赤道上度量的黃道的上升度）、日距圈（周日平行圈）、地平上點的出和入，又分別結合定義和平面圖示舉例說明了正球、欹球上不同的運動情況。

《測天約說》中首次引進了“正球”“欹球”“升度差”等概念，在羅雅谷、徐光啟等人完成的《測量全義》中也有類似的內(nèi)容，這是繼承了古希臘天文學的內(nèi)容。

4　《測量全義》中球面三角學及其應用

《測量全義》第7卷第3題有：“球上斜角形，全數(shù)上方形與兩腰之正弦矩內(nèi)形若兩腰間角之矢與兩矢之較。兩矢者，其一為底?。唇侵畬叄┲?，其一為兩腰較弧之矢?！贝诵g文的對應公式如下：

12：sin b sin c=versA:［vers a-vers（c-b）］①這里的vers表示“矢”，是中世紀三角學中的一種表示方法。

對以上命題的證明如下：

如圖7，“論曰，丁甲酉、寅巳庚兩形相似”，

圖7　《測量全義》中的球面三角法

又乙巳辰、壬子酉兩直角形相似，則

式（1）（2）相乘

即 12：sin b sin c=versA:［vers a-vers（c-b）］。

對于這一題除了“論曰”，又給出“圖說”“解曰”“系”“二系”“解法”，其中“系”和“二系”是這個定理的兩個推論。在《測量全義》卷7最后總結說：“球上三角形比類法，見宗動天諸問。向上諸篇皆先言其理（諸問見本篇八卷）。上法之外，尚多別法?；蛴脤嵡颍瑥那蛎娼绠嬛T圈測之，或用平立環(huán)渾儀測之，或用平渾儀測之，或用比例規(guī)，或用宗動天之象限，或用規(guī)于平面畫圖，以綴術算之，或先算成各度分之數(shù)，而列為立成表。俱有本書、本論、本捷法，然方之前法則竦而不密，故近來歷家舍而不用也。古法用弦數(shù)推步七政，必須勾股、開平、立、三乘方等術，至繁而易紊，用力多而見功少，今悉置不用?！?/p>

以上對測量術進行了總結，給出大約7種測天方法，而最后一種所謂古法，應是指“弧矢割圓術”，因為繁雜，也棄之不用了。這些測天方法基本上涵蓋了中古時期不同的數(shù)學家創(chuàng)造的方法。從卷7的內(nèi)容來看，沒有出歐洲中世紀之前的水平，大多把球面三角轉(zhuǎn)換為平面三角，通過相似勾股形、《幾何》比例諸法、割圓八線等解決，解決的途徑是作平面投影圖。這些內(nèi)容和方法正好符合中算家的專長，傳統(tǒng)勾股術、比例法，加上傳入的割圓八線內(nèi)容即可，所以清代許多中算家有的從西學角度，有的從傳統(tǒng)中算角度，另有的人“會通中西”角度對三角學進行解釋。

《測量全義》卷8“測球上大圈”，是關于球面三角在天文學中的應用，是在《測天約說》的基礎上展開，可以計算兩道各度分相距之緯度表；可計算每度之同直升表；還可藉此計算每度與過極圈之交角表［1］；以上內(nèi)容都為計算日食之根本，為后面交食歷奠定了基礎，即可以據(jù)此確定月或者五星距離黃道的度數(shù)?！稖y量全義》卷8前面的內(nèi)容都是作為后面的鋪墊，第8、9卷在《崇禎歷書》的其他書中運用和援引的最多，說明《測量全義》是《崇禎歷書》天體測量的理論基礎。

在《測量全義》卷8有最常用的一種計算晝夜長度的表格計算法，在《測量全義》卷8第3題有“有北極出地度及黃道之某點，求晝夜長短”。對于“晝夜長短”用小字解釋為“即各欹球黃赤道同升之點”，并且用圖8解釋如下：從北極過日體作過極圈之弧癸丙甲，甲為赤道之一點，庚也是，辛為黃道上一點，它們同過子午圈，那么辛丙的2倍即為晝長。辛丙與庚甲等長，庚甲的余弧為甲乙，所以最終歸結為求甲乙。利用前面的定理解球面三角形甲乙丙，即可計算甲乙。

《測量全義》指出，甲乙又為正球與欹球兩升之差，是各不同地方晝夜長短之根。按照這個思路進一步分析得到，對于不同地方，只要按照相同的計算程序和方法計算不同的甲乙長度，即可得到不同的晝夜長短。最后，計算并列出諸方半晝分立成表。

《測量全義》的晝夜長度理論還強調(diào)了赤道、地平闊度（經(jīng)度）為各種日晷之宗法。西式日晷的制造和使用在清代較為普遍的重要原因就是，西方三角學和球面天文學的傳入更加明確了它的理論意義。

圖8　計算晝夜長度

《測量全義》中球面三角學的引入，避免了中國傳統(tǒng)歷算中利用弧矢割圓術的明顯缺陷，即計算的有限適用范圍和近似計算公式，在由弧角到弦的變換方面繼承了西方古典傳統(tǒng)，引進了新型學科，消除了數(shù)學計算本身的誤差，而且大大擴充了解題范圍。不僅如此，建立在球面三角學基礎上的球面天文也開始引進，內(nèi)容包括，一系列球面天文弧、點、圈的概念和各個坐標量值等名詞術語的建立，幾個重要的球面天文坐標系的建立，各個坐標系量值之間的轉(zhuǎn)換等等，在近代天文學傳入之前，使得中國天文學傳統(tǒng)受到?jīng)_擊而進一步更新和發(fā)展。

5　清代學者對《測量全義》的研究

清代學者梅文鼎、戴震、焦循等人在羅雅谷《測量全義》的基礎上進一步闡發(fā)，他們不但吸收了其中的投影法，把球面三角形轉(zhuǎn)換為平面三角形，而且結合了中算傳統(tǒng)。下面舉例說明。

《測量全義》卷7第6節(jié)有“球上直角形各邊角正弦等線之比例”，第1題的內(nèi)容簡要摘錄如下：

欲明此論，宜以渾體解之。今權設渾象，以堅厚堵，作一圓形，中心折作直角，半平者，其弧如赤道之半周也。半立者，其弧如極分交圈之半周也?！缟蠄D，乙丁圈為赤道，乙丙癸為黃道，乙寅為春秋分，癸為夏至，午辰為南北極，午癸丁為極至交圈，午丙為過極經(jīng)圈，以限黃道之經(jīng)度，容黃赤二道之距度?！瓌t圖中有直線直角形四，一癸巳卯，二戊丁卯，三丙辛壬，四子甲丑，因卯、壬、丑三角等，故三形俱相似。①據(jù)筆者考察，這幅圖中有的點沒有標出，因此有與述文不符之處，且這種現(xiàn)象在《測量全義》中其他地方還存在。

《測量全義》給出了以上文字的對應圖，如圖9。梅氏在《弧三角舉要》中對此圖形進行討論時又在原圖的基礎上補充兩條切線AP、AQ，從而增加了一個平面直角三角形APQ。他不僅給出若干新的三角函數(shù)關系，而且對《測量全義》中的公式進行了證明［8］。

圖9　《測量全義》中的球面三角投影圖

焦循在其《釋弧》中對圖10中的許多弧弦通過引入距等圈、經(jīng)緯圈的概念而進行定義，考慮到弧三角形各個量的天文含義，并給出兩個比例關系，即所謂“以正弦合經(jīng)切，為半徑與角切之比例；以黃弦合經(jīng)弦，為半徑與角弦之比例”。［9］

圖10　梅文鼎《弧三角舉要》中的解構

如圖10，正弦=HC，經(jīng)切=GC，半徑=OM=OD，經(jīng)弦=NM，黃弦=BR，角弦=DE，用公式表示，有

焦循指出，在應用上述公式時，只需清楚其中的兩個量，就可求出第三個量；這些量之間的轉(zhuǎn)換可以靈活應用。他將其應用于解三角形。他認為圖11中庚丙寅經(jīng)線可以在1～90度之間移動，不論移到何處，乙丙甲三弧都與乙癸辰三弧相似，且弧角互成比例。

圖11　焦循以天文量定義三角形弧

焦循以傳統(tǒng)數(shù)學角度重新認識三角學，試圖將西方數(shù)學融入傳統(tǒng)中算之中。他說：“《九章算術》方田章有圓田、弧田之術，圓為弧之合，弧為圓之分，于此可見。其術有周徑，有半周半徑，有矢、有弦，為割圓弧矢之術所從出，亦即三角八線之理所不能外也?！保?］

梅文鼎在《環(huán)中黍尺》中，再次應用平行投影法，把球面三角形投影到平面上，利用平面關系來解球面三角形和證明球面三角公式。他的問題是：如圖12，在三角形丙乙丁中，已知丙乙、丁乙兩弧及夾角乙角，求丙丁弧。

設有三角形乙丙丁，三個角分別為A、B、C，它們的對邊分別為a、b、c。由投影關系進一步證明得到：

12：sinbsinc=vers A:［versa-vers（c-b）］（令半徑=1）

證明過程如下：

由投影關系可知

寅辛=VersA，甲壬=sin b，丙辰=sin c。

根據(jù)距等圈原理和△壬丁子∽△丙己辰，有

丁壬∶甲壬=寅辛∶己辛

丙己∶丙辰=丁壬∶丁子

所以

圖12　《環(huán)中黍尺》中的“先數(shù)后數(shù)法”法

梅文鼎分別稱上述兩式中的丁壬、丁子為“先數(shù)”“后數(shù)”。進一步可得：

令半徑=1，則有

丁子∶VersA=（sin b·sin c）∶1

由圖可知

丁子=午卯=午丙-卯丙=Vers a-Vers（b-c）=己卯-己午=cos（b-c）-cos a

即有［Vers a-Vers（b-c）］:VersA=（sin b·sin c）:1

所以1:（sin b·sin c）=VersA:［cos a-cos（b-c）］。

梅文鼎“先數(shù)后數(shù)法”等價于現(xiàn)代的余弦公式。

在焦循看來，梅文鼎的這些證明思路是不清晰的。在焦循的“初數(shù)后數(shù)法”中，他先給出“初數(shù)”“后數(shù)”的定義，接著又分別列出各種情形下的公式，給出證明，最后是公式的應用?？梢?，他繼承了《測量全義》的寫作體例，運用了西學演繹推理的方法。

焦循《釋弧·卷下》提到“矢較之法”，包含“初數(shù)后數(shù)法”和“總弧存弧法”兩種情況。［10］主要是利用投影原理證明球面三角公式。他說：“大弧小弧之和曰總弧，其較曰存弧。截總弧之所至而畫之，為總弧之弦；以弦截矢，為總弧之矢。截存弧之所至而畫之，為存弧之弦；以弦截矢為存弧之矢?！偦≈笢p存弧之矢曰兩矢較。中兩矢較而半之曰半矢較?！保?］按照他的定義作圖13，乙丙丁三角形，B、C、A分別對應于乙、丙、丁三個頂點，b、c、a分別為對應三邊。丙丁為大弧，乙丁為小??；乙己=b+c為總弧，乙戊=b-c為存??；己寅=sin（b+c），戊癸=sin（b-c），乙寅=Ver（b+c），乙癸=Ver（b-c）；寅癸為兩矢較，癸卯=寅卯為半矢較。他先給出基本概念，再結合圖形對各個基本概念進行分析，然后總結出一些類似于性質(zhì)定理的公式并結合圖形給出嚴密的推理論證，最后結合應用實例加以說明。

圖13　焦循的“總弧存弧法”

焦循的天算研究成果主要有《釋弧》《釋輪》《釋橢》，其書名說明他主要是對西方數(shù)學、天文學進行詮釋。相較于梅文鼎，焦循在方法上更多地移植了西學的邏輯演繹方法，而在原理上則會通了中國傳統(tǒng)數(shù)學，真正達到了貫通并闡釋發(fā)揮西學的目的。

在解球面三角形時，梅文鼎和焦循都用到了“垂弧法”和“次形法”，這兩種方法是中世紀發(fā)展起來的，通過《測量全義》介紹到了中國。所謂“垂弧法”是利用作斜弧三角形一邊的垂弧，使之分為兩個正弧三角形再進行求解。梅文鼎在《弧三角舉要》中討論了形內(nèi)垂弧，而焦循在《釋弧》中將垂弧分為形內(nèi)垂弧和形外垂弧，對于不能用垂弧法解的，可以用“次形法”解之。梅文鼎總結道：“同類之說，只可施于兩銳；異類之說，只可施于一鈍兩銳?！保?1］

在焦循看來，“次形法”的原理是利用弧與角的對稱、互余、互補情況，把原來不容易求解的三角形轉(zhuǎn)化為比較容易求解的三角形。利用次形法可以避免對大于九十度的弧、角作三角函數(shù)的代數(shù)運算，使得全部三角函數(shù)定理都可以通過幾何線段間的相互關系而獲得。梅文鼎、焦循等人總結了作“次形”的基本方法有：取余邊法、取對極法，根據(jù)不同的情況，有的取兩邊的余邊或補邊，有的取三邊的余邊或補邊，還有的取次形的次形。

戴震在《勾股割圜記》中定義三角八線時，用到了一些古奧的術語，如本弧正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別被他稱為“內(nèi)矩分”“次內(nèi)矩分”“矩分”“次矩分”“徑引數(shù)”“次徑引數(shù)”；他對弧三角八線的定義，則在本弧的對應三角八線名稱前加一“即”字。由于他沒有使用通用的術語，這讓人很難掌握他的思想方法。

［1］OLAF PEDERSEN.A survey of the almagest odense［M］. Odense University，1976.

［2］鄧可卉.希臘數(shù)理天文學溯源——托勒密《至大論》比較研究［M］.濟南：山東教育出版社，2009.

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［8］李迪，郭世榮.清代著名天文數(shù)學家梅文鼎［M］.上海：上海科學技術文獻出版社，1988：172-188.

［9］焦循.釋弧［M］//焦氏叢書.清光緒二年刻本（1876）.

［10］王君，鄧可卉.試論焦循對“總弧存弧法”的研究［J］.內(nèi)蒙古師范大學學報（自然科學版），2009，38（4）：544-549.

［11］梅文鼎.弧三角舉要［M］//郭書春.中國科學技術典籍通匯·數(shù)學卷.鄭州：河南教育出版社，1993.

Mathematics andAstronomy in Celiangquanyi

DENG Kehui，CHEN Yajun
（College of Humanities and Social Sciences，Donghua University，Shanghai 201620，China）

Celiangquanyi was firstly edited in Chongzhen Lishu.With spherical astronomy developing in Europe as the background，this paper studies the knowledge in it.It analyses Yuanxing“元形”and Cixing“次形”triangle in Celiangquanyi and compares them with related knowledge in modern Europe.It analyses the origin of Chuihufa“垂弧法”in Celiangquanyi and its spreading.It is thought that the transformation method from arc angle to chord in Celiangquanyi inherited the western classical tradition.The paper analyses the Chinese mathematician’s researches after their understanding thoroughly at last.

Celiangquanyi；method of spherical trangle；spherical astronomy；Chinese mathematician

N09

A

1672-2914（2016）02-0001-07

2015-12-10

國家自然科學基金項目（11373016）。

鄧可卉（1966—），女，內(nèi)蒙古呼和浩特市人，東華大學人文學院教授，博士生導師，研究方向為天文學史、中西天文學比較與交流等。